Страница 130 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

428 1) Начертите круг. Разделите его на две равные части. Какую долю круга составляет каждая часть?

2) Каждую часть разделите ещё раз пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей?

3) Разделите ещё раз каждую часть пополам. Какую долю круга составляет каждая из получившихся частей?

1) Если разделить круг на две равные части, мы получим две половины. Каждая часть будет составлять одну из двух равных долей целого круга. В виде дроби это записывается как $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) На первом шаге у нас было 2 равные части. Если каждую из них разделить еще раз пополам, то общее количество равных частей станет $2 \times 2 = 4$. Следовательно, каждая из получившихся частей будет составлять одну из четырех равных долей круга, то есть $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Теперь у нас есть 4 равные части. Если разделить каждую из них еще раз пополам, то общее количество равных частей станет $4 \times 2 = 8$. Таким образом, каждая из новых частей будет составлять одну из восьми равных долей круга, что записывается как $\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

429 Воспользовавшись рисунком, который вы сделали, выполняя предыдущее упражнение, ответьте на вопросы:

а) Сколько вторых, четвёртых, восьмых долей содержится в целом?

б) Сколько четвёртых, восьмых долей содержится в половине?

в) Сколько восьмых долей содержится в четверти?

а) Сколько вторых, четвёртых, восьмых долей содержится в целом?

Примем целое за единицу (1). Чтобы найти, сколько долей определенного размера содержится в целом, необходимо 1 разделить на размер этой доли.

Количество вторых долей (половин), то есть долей размером $\frac{1}{2}$, в целом равно: $1 \div \frac{1}{2} = 1 \times 2 = 2$.

Количество четвёртых долей (четвертей), то есть долей размером $\frac{1}{4}$, в целом равно: $1 \div \frac{1}{4} = 1 \times 4 = 4$.

Количество восьмых долей, то есть долей размером $\frac{1}{8}$, в целом равно: $1 \div \frac{1}{8} = 1 \times 8 = 8$.

Ответ: в целом содержится 2 вторых, 4 четвёртых и 8 восьмых долей.

б) Сколько четвёртых, восьмых долей содержится в половине?

Половина — это $\frac{1}{2}$. Чтобы найти, сколько долей содержится в половине, нужно $\frac{1}{2}$ разделить на размер искомой доли.

Количество четвёртых долей ($\frac{1}{4}$) в половине: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$.

Количество восьмых долей ($\frac{1}{8}$) в половине: $\frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: в половине содержится 2 четвёртых и 4 восьмых доли.

в) Сколько восьмых долей содержится в четверти?

Четверть — это $\frac{1}{4}$. Чтобы найти, сколько восьмых долей ($\frac{1}{8}$) содержится в четверти, нужно $\frac{1}{4}$ разделить на $\frac{1}{8}$.

$\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: в четверти содержится 2 восьмых доли.

430 Сколько сантиметров содержится:

а) в половине метра;

б) в четверти метра;

в) в одной пятой метра;

г) в одной десятой метра?

а) в половине метра
Для решения этой задачи необходимо знать, что в одном метре содержится 100 сантиметров. Половина метра — это одна вторая часть метра, или $\frac{1}{2}$ метра. Чтобы найти, сколько сантиметров в половине метра, нужно 100 сантиметров разделить на 2.
$100 \text{ см} \div 2 = 50 \text{ см}$.
Ответ: 50 сантиметров.

б) в четверти метра
В одном метре — 100 сантиметров. Четверть метра — это одна четвертая часть метра, или $\frac{1}{4}$ метра. Чтобы найти количество сантиметров в четверти метра, нужно 100 сантиметров разделить на 4.
$100 \text{ см} \div 4 = 25 \text{ см}$.
Ответ: 25 сантиметров.

в) в одной пятой метра
Мы знаем, что 1 метр равен 100 сантиметрам. Одна пятая метра — это $\frac{1}{5}$ метра. Чтобы найти соответствующее количество сантиметров, необходимо 100 сантиметров разделить на 5.
$100 \text{ см} \div 5 = 20 \text{ см}$.
Ответ: 20 сантиметров.

г) в одной десятой метра
В одном метре — 100 сантиметров. Одна десятая метра — это $\frac{1}{10}$ метра. Следовательно, для нахождения искомого значения нужно 100 сантиметров разделить на 10.
$100 \text{ см} \div 10 = 10 \text{ см}$.
Ответ: 10 сантиметров.

431 Сколько минут содержится в половине часа; в трети часа; в четверти часа?

Для решения этой задачи необходимо знать, что в одном часе содержится 60 минут.

в половине часа
Половина часа - это $ \frac{1}{2} $ часть от всего часа. Чтобы найти, сколько минут в половине часа, нужно общее количество минут в часе (60) умножить на $ \frac{1}{2} $ или, что то же самое, разделить на 2.
$ 60 \text{ мин} \div 2 = 30 \text{ мин} $
Ответ: 30 минут.

в трети часа
Треть часа - это $ \frac{1}{3} $ часть от всего часа. Чтобы найти, сколько минут в трети часа, нужно общее количество минут в часе (60) умножить на $ \frac{1}{3} $ или разделить на 3.
$ 60 \text{ мин} \div 3 = 20 \text{ мин} $
Ответ: 20 минут.

в четверти часа
Четверть часа - это $ \frac{1}{4} $ часть от всего часа. Чтобы найти, сколько минут в четверти часа, нужно общее количество минут в часе (60) умножить на $ \frac{1}{4} $ или разделить на 4.
$ 60 \text{ мин} \div 4 = 15 \text{ мин} $
Ответ: 15 минут.

432 a) Туристы проехали на автобусе 48 км, а потом прошли пешком половину того расстояния, что проехали на автобусе. Какое расстояние преодолели туристы?

б) Мальчик прочитал треть книги, что составило 20 страниц. Сколько страниц в книге?

а)

1. Найдем расстояние, которое туристы прошли пешком. В условии сказано, что это половина расстояния, которое они проехали на автобусе. Расстояние на автобусе равно 48 км.
$48 \text{ км} \div 2 = 24 \text{ км}$ — расстояние, которое туристы прошли пешком.
2. Теперь найдем общее расстояние, сложив путь на автобусе и путь пешком.
$48 \text{ км} + 24 \text{ км} = 72 \text{ км}$ — общее расстояние, которое преодолели туристы.
Ответ: 72 км.

б)

Из условия известно, что треть книги ($1/3$) составляет 20 страниц. Чтобы найти общее количество страниц в книге, нужно количество страниц, составляющих одну треть, умножить на 3.
$20 \text{ страниц} \times 3 = 60 \text{ страниц}$ — всего страниц в книге.
Ответ: 60 страниц.

433 Прочитайте запись. Назовите знаменатель и числитель дроби и объясните, что они показывают: $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{31}{100}$.

$\frac{1}{3}$

Эта запись читается как «одна третья».
В этой дроби число над чертой, числитель, равно 1. Число под чертой, знаменатель, равно 3.
Знаменатель показывает, на сколько равных частей (долей) разделили целое. В данном случае целое разделили на 3 равные части.
Числитель показывает, сколько таких частей взяли. В данном случае взяли 1 часть.

Ответ: числитель 1, знаменатель 3. Знаменатель показывает, что целое разделено на 3 равные части, а числитель — что взята 1 такая часть.

$\frac{3}{7}$

Эта запись читается как «три седьмых».
В этой дроби числитель равен 3, а знаменатель равен 7.
Знаменатель 7 показывает, что целое разделили на 7 равных частей.
Числитель 3 показывает, что из этих частей взяли 3.

Ответ: числитель 3, знаменатель 7. Знаменатель показывает, что целое разделено на 7 равных частей, а числитель — что взяты 3 такие части.

$\frac{9}{10}$

Эта запись читается как «девять десятых».
В этой дроби числитель равен 9, а знаменатель равен 10.
Знаменатель 10 показывает, что целое разделили на 10 равных частей.
Числитель 9 показывает, что из этих частей взяли 9.

Ответ: числитель 9, знаменатель 10. Знаменатель показывает, что целое разделено на 10 равных частей, а числитель — что взяты 9 таких частей.

$\frac{31}{100}$

Эта запись читается как «тридцать одна сотая».
В этой дроби числитель равен 31, а знаменатель равен 100.
Знаменатель 100 показывает, что целое разделили на 100 равных частей.
Числитель 31 показывает, что из этих частей взяли 31.

Ответ: числитель 31, знаменатель 100. Знаменатель показывает, что целое разделено на 100 равных частей, а числитель — что взята 31 такая часть.

434 Запишите дроби: одна вторая ($1/2$), одна пятая ($1/5$), две третьих ($2/3$), три четверти ($3/4$). Объясните, что означает каждая дробь.

одна вторая

Эта дробь записывается в виде $ \frac{1}{2} $. Знаменатель дроби (число под чертой) показывает, на сколько равных частей разделено целое. Здесь знаменатель равен 2, значит, целое разделили на две равные части. Числитель дроби (число над чертой) показывает, сколько таких частей взято. Здесь числитель равен 1, значит, взяли одну такую часть. Таким образом, $ \frac{1}{2} $ — это одна часть из двух равных, на которые разделено целое.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

одна пятая

Эта дробь записывается в виде $ \frac{1}{5} $. Знаменатель равен 5, это значит, что целое разделили на пять равных частей. Числитель равен 1, это значит, что из этих пяти частей взяли одну. Таким образом, $ \frac{1}{5} $ — это одна часть из пяти равных, на которые разделено целое.

Ответ: $ \frac{1}{5} $

две третьих

Эта дробь записывается в виде $ \frac{2}{3} $. Знаменатель равен 3, это значит, что целое разделили на три равные части. Числитель равен 2, это значит, что из этих трех частей взяли две. Таким образом, $ \frac{2}{3} $ — это две части из трех равных, на которые разделено целое.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

три четверти

Эта дробь записывается в виде $ \frac{3}{4} $. Знаменатель равен 4, это значит, что целое разделили на четыре равные части. Числитель равен 3, это значит, что из этих четырех частей взяли три. Таким образом, $ \frac{3}{4} $ — это три части из четырех равных, на которые разделено целое.

Ответ: $ \frac{3}{4} $

435 Определите, на сколько равных частей разделён квадрат и какая его часть закрашена (рис. 8.4, а–г). Запишите соответствующую дробь, назовите её числитель и знаменатель. Какая часть квадрата осталась незакрашенной?

а

б

в

г

8.4

a

Квадрат разделён на 6 равных частей. Закрашено 5 из этих 6 частей. Соответствующая дробь, которая обозначает закрашенную часть, — это $\frac{5}{6}$. В этой дроби числитель равен 5 (показывает, сколько частей взято), а знаменатель равен 6 (показывает, на сколько равных частей разделено целое). Незакрашенной осталась 1 часть из 6, что соответствует дроби $\frac{1}{6}$.
Ответ: Квадрат разделён на 6 равных частей, закрашено $\frac{5}{6}$ (числитель 5, знаменатель 6), осталась незакрашенной $\frac{1}{6}$ часть.

б

Квадрат разделён на 9 равных частей (сетка 3 на 3). Закрашено 6 из этих 9 частей. Соответствующая дробь для закрашенной части — $\frac{6}{9}$. Числитель дроби — 6, а знаменатель — 9. Незакрашенными остались $9 - 6 = 3$ части, что составляет $\frac{3}{9}$ квадрата.
Ответ: Квадрат разделён на 9 равных частей, закрашено $\frac{6}{9}$ (числитель 6, знаменатель 9), осталась незакрашенной $\frac{3}{9}$ часть.

в

Квадрат разделён на 8 равных частей в виде треугольников. Закрашено 3 из этих 8 частей. Соответствующая дробь для закрашенной части — $\frac{3}{8}$. Числитель дроби — 3, а знаменатель — 8. Незакрашенными остались $8 - 3 = 5$ частей, что составляет $\frac{5}{8}$ квадрата.
Ответ: Квадрат разделён на 8 равных частей, закрашено $\frac{3}{8}$ (числитель 3, знаменатель 8), осталась незакрашенной $\frac{5}{8}$ часть.

г

Квадрат разделён на 16 равных частей (сетка 4 на 4). Закрашено 8 из этих 16 частей. Соответствующая дробь для закрашенной части — $\frac{8}{16}$. Числитель дроби — 8, а знаменатель — 16. Незакрашенными остались $16 - 8 = 8$ частей, что составляет $\frac{8}{16}$ квадрата.
Ответ: Квадрат разделён на 16 равных частей, закрашено $\frac{8}{16}$ (числитель 8, знаменатель 16), осталась незакрашенной $\frac{8}{16}$ часть.