Страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

376 Начертите на нелинованной бумаге:

а) равнобедренный остроугольный треугольник;

б) равнобедренный прямоугольный треугольник;

в) равнобедренный тупоугольный треугольник.

а) равнобедренный остроугольный треугольник

Равнобедренный треугольник является остроугольным, если все его углы меньше $90^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их как $\alpha$. Тогда угол при вершине будет равен $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Чтобы треугольник был остроугольным, должны выполняться условия: $\alpha < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$. Условие $\gamma < 90^\circ$ означает, что $180^\circ - 2\alpha < 90^\circ$, откуда $2\alpha > 90^\circ$, то есть $\alpha > 45^\circ$. Таким образом, углы при основании должны быть больше $45^\circ$, но меньше $90^\circ$. Например, можно взять углы $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.

Для построения такого треугольника нужно выполнить следующие шаги: 1. Начертить отрезок $BC$, который будет основанием. 2. Построить его серединный перпендикуляр. 3. На перпендикуляре выбрать точку $A$ так, чтобы расстояние от нее до основания (высота $AM$) было больше половины длины самого основания ($AM > \frac{1}{2}BC$). 4. Соединить точку $A$ с точками $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет искомым.

Ответ: Построенный по указанным шагам треугольник является равнобедренным и остроугольным.

б) равнобедренный прямоугольный треугольник

Это треугольник, у которого две стороны равны (катеты), а угол между ними прямой ($90^\circ$). Два других угла равны по $45^\circ$ каждый, так как $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Для построения такого треугольника нужно выполнить следующие шаги: 1. Построить прямой угол с вершиной в точке $C$. 2. На сторонах угла отложить от вершины $C$ два равных отрезка $CA$ и $CB$. 3. Соединить точки $A$ и $B$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: Построенный по указанным шагам треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

в) равнобедренный тупоугольный треугольник

Это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) тупой, то есть больше $90^\circ$. Углы при основании такого треугольника, соответственно, будут острыми и меньше $45^\circ$. Например, треугольник с углами $110^\circ, 35^\circ$ и $35^\circ$ является равнобедренным и тупоугольным.

Для построения такого треугольника нужно выполнить следующие шаги: 1. Начертить отрезок $BC$, который будет основанием. 2. Построить его серединный перпендикуляр. 3. На перпендикуляре выбрать точку $A$ так, чтобы расстояние от нее до основания (высота $AM$) было меньше половины длины самого основания ($AM < \frac{1}{2}BC$). 4. Соединить точку $A$ с точками $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет искомым.

Ответ: Построенный по указанным шагам треугольник является равнобедренным и тупоугольным.

377 Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно 5 см, а углы при основании равны $75^\circ$.

Начинайте построение с основания треугольника.

Для построения равнобедренного треугольника с заданными параметрами, воспользуемся линейкой и транспортиром. Построение будем выполнять пошагово, следуя подсказке из условия.

1. Построение основания. С помощью линейки чертим на плоскости горизонтальный отрезок. Обозначим его концы буквами А и С. Длина этого отрезка $AC$ должна быть равна 5 см. Этот отрезок является основанием нашего треугольника.

2. Построение углов при основании. По условию, треугольник является равнобедренным, а углы при основании равны $75^\circ$. Это значит, что $\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ$.

   • Прикладываем транспортир к точке А так, чтобы его центр совпал с точкой А, а его прямое основание — с отрезком АС. На шкале транспортира находим отметку $75^\circ$ и ставим в этом месте точку. Проводим из точки А луч через эту поставленную точку.

   • Теперь прикладываем транспортир к точке С так, чтобы его центр совпал с точкой С, а основание — с отрезком АС. Аналогично отмеряем угол в $75^\circ$ и проводим из точки С второй луч.

3. Нахождение третьей вершины. Два луча, построенные на предыдущем шаге из точек А и С, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения буквой В. Эта точка и будет третьей вершиной нашего треугольника (вершиной, противолежащей основанию).

4. Завершение построения. Соединяем точки А, В и С отрезками. Полученный треугольник АВС является искомым.

Проверим правильность построения. В полученном треугольнике АВС сторона $AC = 5$ см, а углы $\angle BAC = 75^\circ$ и $\angle BCA = 75^\circ$ по построению. Так как два угла треугольника равны, то он является равнобедренным с основанием АС. Также можно найти угол при вершине В: $\angle ABC = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Ответ: Треугольник, построенный согласно вышеописанному алгоритму, является искомым равнобедренным треугольником с основанием 5 см и углами при основании $75^\circ$.

378 Постройте равнобедренный треугольник, если:

а) боковые стороны треугольника равны 4 см, а угол между ними — $40^\circ$;

б) боковые стороны равны 4 см 5 мм, а угол между ними — $120^\circ$.

а)

Для построения равнобедренного треугольника по двум боковым сторонам и углу между ними, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок, например AB, длиной 4 см. Этот отрезок будет одной из боковых сторон треугольника.
2. От одного из концов отрезка, например от точки A, с помощью транспортира отложить угол, равный 40°.
3. На луче, который образует построенный угол, отложить от точки A второй отрезок AC, равный 4 см. Это будет вторая боковая сторона.
4. Соединить точки B и C отрезком. Этот отрезок (BC) будет основанием треугольника.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как по построению он равнобедренный ($AB = AC = 4$ см), а угол между боковыми сторонами $\angle BAC$ равен 40°. Углы при основании этого треугольника будут равны: $ \angle ABC = \angle ACB = (180° - 40°) / 2 = 70° $.

Ответ: Построен равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 4 см и углом 40° между ними.

б)

Построение аналогично предыдущему пункту. Длина боковых сторон равна 4 см 5 мм, что составляет 4,5 см.

1. С помощью линейки начертить отрезок, например DE, длиной 4,5 см.
2. От точки D с помощью транспортира отложить угол, равный 120°.
3. На луче, образующем построенный угол, отложить от точки D отрезок DF, равный 4,5 см.
4. Соединить точки E и F отрезком.

Полученный треугольник DEF является искомым, так как по построению он равнобедренный ($DE = DF = 4,5$ см), а угол между боковыми сторонами $\angle EDF$ равен 120°. Углы при основании этого треугольника будут равны: $ \angle DEF = \angle DFE = (180° - 120°) / 2 = 30° $.

Ответ: Построен равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 4,5 см и углом 120° между ними.

379 Постройте треугольник $ABC$, где угол $A$ равен $135^\circ$, сторона $AB$ имеет длину $3 \text{ см}$, а сторона $BC$ – $7 \text{ см}$. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей?

Сначала выполним построение треугольника ABC по заданным параметрам: $\angle A = 135^\circ$, сторона $AB = 3$ см, сторона $BC = 7$ см.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке A.
2. С помощью транспортира построим от этого луча угол, равный $135^\circ$. Получим второй луч, также исходящий из точки A.
3. На втором луче отложим от точки А отрезок $AB$ длиной $3$ см.
4. Из точки B, как из центра, проведем дугу окружности радиусом $7$ см (равным длине стороны $BC$).
5. Точка пересечения этой дуги с первым построенным лучом будет вершиной C нашего треугольника.
6. Соединив точки B и C отрезком, получим искомый треугольник ABC.

Далее определим, какая из сторон этого треугольника является наибольшей. Для этого воспользуемся теоремой о соотношении сторон и углов треугольника: против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию, $\angle A = 135^\circ$. Поскольку этот угол больше $90^\circ$, он является тупым. В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол, следовательно, два других угла, $\angle B$ и $\angle C$, являются острыми (то есть их градусная мера меньше $90^\circ$).

Таким образом, $\angle A$ является наибольшим углом в треугольнике ABC. Согласно теореме, сторона, лежащая напротив наибольшего угла, является наибольшей стороной. В нашем треугольнике напротив угла A лежит сторона BC.

Следовательно, сторона BC является наибольшей. Сравнивая известные длины, мы видим, что $BC = 7$ см, а $AB = 3$ см, что согласуется с нашим выводом, так как напротив стороны AB лежит угол C, который является острым и точно меньше угла A.

Ответ: Наибольшей стороной этого треугольника является сторона BC.

380 Вырежьте из листа бумаги (кальки) равнобедренный треугольник $ABC$, $AC$ — основание (рис. 7.8). Проведите в нём биссектрису $BO$. Перегибая треугольник по этой биссектрисе, убедитесь в справедливости следующих утверждений:

1) точка $O$ — середина основания $AC$;

2) $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$.

Попробуйте объяснить, почему это так.

ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА

7.8

Практическое действие (перегибание) показывает, что при наложении одной части треугольника на другую по линии биссектрисы $BO$, сторона $AB$ совпадает со стороной $BC$, а сторона $AO$ — со стороной $OC$. Вершина $A$ совпадает с вершиной $C$. Это наглядно демонстрирует справедливость утверждений.

Теоретическое объяснение основано на свойстве равнобедренного треугольника, которое мы докажем через равенство треугольников.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведена биссектриса $BO$ угла $\angle ABC$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle ABO = \angle CBO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. Сравним их:

• $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
• $\angle ABO = \angle CBO$ (поскольку $BO$ — биссектриса).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников вытекает равенство всех их соответствующих элементов.

1) точка O — середина основания AC

Так как $\triangle ABO = \triangle CBO$, то их соответствующие стороны $AO$ и $CO$ равны. То есть, $AO = CO$. Это означает, что точка $O$ делит основание $AC$ на два равных отрезка, а значит, является его серединой. Таким образом, биссектриса $BO$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой.

Ответ: Утверждение верно, так как из равенства треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ следует равенство их соответствующих сторон $AO$ и $CO$.

2) ∠AOB = ∠BOC = 90°

Так как $\triangle ABO = \triangle CBO$, то их соответствующие углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ равны. Эти углы являются смежными, поскольку вместе они составляют развернутый угол $\angle AOC$, равный $180^\circ$.

Мы имеем: $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$.

Поскольку $\angle AOB = \angle BOC$, то можем записать: $2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle AOB = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Значит, и $\angle BOC = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $BO$ перпендикулярна основанию $AC$ и является высотой треугольника.

Ответ: Утверждение верно, так как из равенства треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ следует равенство смежных углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Их сумма равна $180^\circ$, поэтому каждый из них равен $90^\circ$.

381 a) Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился равносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника? Чему равна его сторона?

б) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё согнули треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Что вы можете сказать об этом треугольнике?

а)

Периметр фигуры, сделанной из проволоки, равен длине этой проволоки. Следовательно, периметр треугольника равен 15 см.

Равносторонний треугольник имеет три одинаковые по длине стороны. Пусть длина одной стороны равна $a$. Тогда периметр $P$ такого треугольника вычисляется по формуле:

$P = a + a + a = 3a$

Зная, что периметр равен 15 см, мы можем найти длину стороны:

$3a = 15$

$a = 15 / 3$

$a = 5$ см

Ответ: Периметр этого треугольника равен 15 см. Его сторона равна 5 см.

б)

Длина проволоки определяет периметр треугольника, поэтому периметр $P$ равен 17 см.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон ($a$, $b$, $c$). Нам известны две стороны: $a = 5$ см и $b = 6$ см. Найдем третью сторону $c$:

$P = a + b + c$

$17 = 5 + 6 + c$

$17 = 11 + c$

$c = 17 - 11$

$c = 6$ см

Мы получили треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 6 см. Так как две его стороны равны ($b = c = 6$ см), то по определению этот треугольник является равнобедренным.

Также необходимо проверить, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

$5 + 6 > 6$, что верно ($11 > 6$).

$6 + 6 > 5$, что верно ($12 > 5$).

Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: Этот треугольник является равнобедренным со сторонами 5 см, 6 см и 6 см.

382 Вычислите периметр:

a) равностороннего треугольника со стороной 8 см;

б) равнобедренного треугольника с основанием 25 мм и боковыми сторонами, равными 45 мм.

а) Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. Обозначим длину стороны как $a$. Тогда формула для вычисления периметра $P$ будет:

$P = 3 \times a$

Согласно условию, сторона треугольника равна 8 см. Подставим это значение в формулу и выполним вычисление:

$P = 3 \times 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: 24 см.

б) Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$. Периметр $P$ такого треугольника — это сумма длин всех его сторон, которая вычисляется по формуле:

$P = 2 \times a + b$

По условию, основание $b = 25$ мм, а боковые стороны $a = 45$ мм. Подставим эти значения в формулу и выполним вычисление:

$P = 2 \times 45 \text{ мм} + 25 \text{ мм} = 90 \text{ мм} + 25 \text{ мм} = 115 \text{ мм}$

Ответ: 115 мм.

383 а) В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см, а основание равно 10 см. Найдите длину боковой стороны.

б) В равнобедренном треугольнике периметр равен 21 см, а боковая сторона равна 6 см. Найдите длину основания.

а)

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин его основания и двух равных боковых сторон. Формула для периметра $P$ выглядит так: $P = a + 2b$, где $a$ — длина основания, а $b$ — длина боковой стороны.
По условию задачи, периметр $P = 36$ см, а длина основания $a = 10$ см. Нам нужно найти длину боковой стороны $b$.
Подставим известные значения в формулу:
$36 = 10 + 2b$
Чтобы найти сумму длин двух боковых сторон, вычтем из периметра длину основания:
$2b = 36 - 10$
$2b = 26$
Теперь, чтобы найти длину одной боковой стороны, разделим полученное значение на 2:
$b = \frac{26}{2}$
$b = 13$ см.
Ответ: 13 см.

б)

Воспользуемся той же формулой для периметра равнобедренного треугольника: $P = a + 2b$, где $a$ — длина основания, а $b$ — длина боковой стороны.
По условию, периметр $P = 21$ см, а длина боковой стороны $b = 6$ см. Нам нужно найти длину основания $a$.
Подставим известные значения в формулу:
$21 = a + 2 \cdot 6$
Сначала вычислим сумму длин двух боковых сторон:
$21 = a + 12$
Теперь, чтобы найти длину основания, вычтем из периметра сумму длин боковых сторон:
$a = 21 - 12$
$a = 9$ см.
Ответ: 9 см.