Номер 380, страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

380 Вырежьте из листа бумаги (кальки) равнобедренный треугольник $ABC$, $AC$ — основание (рис. 7.8). Проведите в нём биссектрису $BO$. Перегибая треугольник по этой биссектрисе, убедитесь в справедливости следующих утверждений:

1) точка $O$ — середина основания $AC$;

2) $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$.

Попробуйте объяснить, почему это так.

ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА

7.8

Практическое действие (перегибание) показывает, что при наложении одной части треугольника на другую по линии биссектрисы $BO$, сторона $AB$ совпадает со стороной $BC$, а сторона $AO$ — со стороной $OC$. Вершина $A$ совпадает с вершиной $C$. Это наглядно демонстрирует справедливость утверждений.

Теоретическое объяснение основано на свойстве равнобедренного треугольника, которое мы докажем через равенство треугольников.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведена биссектриса $BO$ угла $\angle ABC$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle ABO = \angle CBO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. Сравним их:

• $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
• $\angle ABO = \angle CBO$ (поскольку $BO$ — биссектриса).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников вытекает равенство всех их соответствующих элементов.

1) точка O — середина основания AC

Так как $\triangle ABO = \triangle CBO$, то их соответствующие стороны $AO$ и $CO$ равны. То есть, $AO = CO$. Это означает, что точка $O$ делит основание $AC$ на два равных отрезка, а значит, является его серединой. Таким образом, биссектриса $BO$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой.

Ответ: Утверждение верно, так как из равенства треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ следует равенство их соответствующих сторон $AO$ и $CO$.

2) ∠AOB = ∠BOC = 90°

Так как $\triangle ABO = \triangle CBO$, то их соответствующие углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ равны. Эти углы являются смежными, поскольку вместе они составляют развернутый угол $\angle AOC$, равный $180^\circ$.

Мы имеем: $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$.

Поскольку $\angle AOB = \angle BOC$, то можем записать: $2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle AOB = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Значит, и $\angle BOC = 90^\circ$. Это означает, что биссектриса $BO$ перпендикулярна основанию $AC$ и является высотой треугольника.

Ответ: Утверждение верно, так как из равенства треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ следует равенство смежных углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Их сумма равна $180^\circ$, поэтому каждый из них равен $90^\circ$.