Номер 373, страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

373 На клетчатой бумаге отмечены шесть точек (рис. 7.7).

а) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так, чтобы одной из вершин была точка A?

Подсказка. Всегда начинайте с известной вершины — точки A, две другие подбирайте так, чтобы получился равнобедренный треугольник.

б) Назовите точки, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника. Сколько таких треугольников можно построить?

а) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так, чтобы одной из вершин была точка А?

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одной клетки за единицу длины. Поместим точку D в начало координат D(0, 0). Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты: E(2, 0), K(4, 0), B(1, 2), C(3, 2) и A(2, 4).

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Мы ищем треугольники, у которых одна из вершин — точка А. Такой треугольник будет равнобедренным, если либо две стороны, выходящие из вершины А, равны (А — вершина, противолежащая основанию), либо одна из сторон, выходящих из А, равна третьей стороне (А — вершина при основании).

Найдем квадраты расстояний от точки A до всех остальных точек по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

• $AB^2 = (1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
• $AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
• $AD^2 = (0 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$
• $AE^2 = (2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$
• $AK^2 = (4 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$

Теперь найдем все возможные равнобедренные треугольники с вершиной A:

1. Треугольники, где A — вершина, противолежащая основанию. Для этого нужно, чтобы две стороны, выходящие из A, были равны.
   • $AB^2 = AC^2 = 5$, следовательно $AB = AC$. Треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный.
   • $AD^2 = AK^2 = 20$, следовательно $AD = AK$. Треугольник $\triangle ADK$ — равнобедренный.
2. Треугольники, где A — вершина при основании. Для этого нужно, чтобы сторона, выходящая из А, была равна основанию.
   • Рассмотрим сторону AB ($AB^2=5$). Найдем точку P, такую что $BP^2 = 5$. Расстояние $BE^2 = (2-1)^2 + (0-2)^2 = 1+4=5$. Значит, $AB = BE$, и треугольник $\triangle ABE$ — равнобедренный.
   • Рассмотрим сторону AC ($AC^2=5$). Найдем точку P, такую что $CP^2 = 5$. Расстояние $CE^2 = (2-3)^2 + (0-2)^2 = 1+4=5$. Значит, $AC = CE$, и треугольник $\triangle ACE$ — равнобедренный.

Необходимо также проверить, не лежат ли вершины каких-либо из найденных "треугольников" на одной прямой. Например, точки A(2,4), B(1,2), D(0,0) лежат на одной прямой $y=2x$, поэтому они не образуют треугольник. Точно так же точки A(2,4), C(3,2), K(4,0) лежат на одной прямой $y=-2x+8$ и не образуют треугольник. Другие комбинации (ABC, ADK, ABE, ACE) образуют действительные треугольники.

Таким образом, мы нашли 4 равнобедренных треугольника с вершиной A: $\triangle ABC$, $\triangle ADK$, $\triangle ABE$, $\triangle ACE$.

Ответ: Можно построить 4 таких треугольника.

б) Назовите точки, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника. Сколько таких треугольников можно построить?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой ($90^\circ$). Такой треугольник можно найти, используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) или проверяя перпендикулярность сторон.

Используем координаты точек из пункта а): A(2, 4), B(1, 2), C(3, 2), D(0, 0), E(2, 0), K(4, 0).

Проверим, есть ли среди отрезков, соединяющих точки, вертикальные и горизонтальные.

• Отрезок AE соединяет точки A(2, 4) и E(2, 0). Так как у них одинаковая координата x=2, отрезок AE является вертикальным.
• Точки D(0, 0), E(2, 0) и K(4, 0) лежат на оси X, поэтому отрезки DE и EK являются горизонтальными.

Прямой угол образуется на пересечении вертикального и горизонтального отрезков.

• Треугольник $\triangle ADE$ имеет вертикальную сторону AE и горизонтальную сторону DE, которые пересекаются в точке E. Следовательно, $\angle AED = 90^\circ$, и $\triangle ADE$ — прямоугольный.
• Треугольник $\triangle AEK$ имеет вертикальную сторону AE и горизонтальную сторону EK, которые также пересекаются в точке E. Следовательно, $\angle AEK = 90^\circ$, и $\triangle AEK$ — прямоугольный.

Проверим эти выводы с помощью теоремы Пифагора, используя квадраты длин из пункта а) и рассчитав недостающие:

• Для $\triangle ADE$: $AE^2 = 16$, $DE^2 = (2-0)^2 + (0-0)^2 = 4$, $AD^2 = 20$. Верно, что $AE^2 + DE^2 = 16 + 4 = 20 = AD^2$.
• Для $\triangle AEK$: $AE^2 = 16$, $EK^2 = (4-2)^2 + (0-0)^2 = 4$, $AK^2 = 20$. Верно, что $AE^2 + EK^2 = 16 + 4 = 20 = AK^2$.

Других пар перпендикулярных отрезков среди данных точек нет.

Ответ: Вершинами прямоугольного треугольника являются точки A, D, E, а также точки A, E, K. Всего можно построить 2 таких треугольника.