Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

384 Начертите на клетчатой бумаге прямоугольник со сторонами 7 см 5 мм и 3 см.

Для того чтобы начертить прямоугольник на клетчатой бумаге, необходимо сначала определить, сколько клеток будут занимать его стороны. Стандартный размер клетки в тетради составляет 5 мм.

Найдем длину первой стороны в клетках. Ее длина составляет 7 см 5 мм. Учитывая, что в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), переведем это значение в миллиметры:
$7 \text{ см } 5 \text{ мм} = 7 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 75 \text{ мм}$.
Теперь разделим полученную длину на размер стороны одной клетки:
$75 \text{ мм} \div 5 \text{ мм} = 15 \text{ клеток}$.

Найдем длину второй стороны в клетках. Ее длина равна 3 см. Переведем это значение в миллиметры:
$3 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$.
Рассчитаем соответствующее количество клеток:
$30 \text{ мм} \div 5 \text{ мм} = 6 \text{ клеток}$.

Таким образом, для выполнения задания необходимо начертить на клетчатой бумаге прямоугольник со сторонами 15 клеток и 6 клеток. Для этого выберите начальную точку на пересечении линий сетки, отложите от нее вправо 15 клеток и проведите отрезок. Затем из той же начальной точки отложите вверх 6 клеток и проведите второй отрезок. После этого достройте прямоугольник, проведя две оставшиеся стороны.

Ответ: На клетчатой бумаге необходимо начертить прямоугольник со сторонами 15 клеток и 6 клеток.

385 Постройте на листе нелинованной бумаги:

а) прямоугольник со сторонами, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм;

б) квадрат со стороной 4 см 8 мм.

а) Для построения прямоугольника со сторонами 4 см 5 мм и 5 см 2 мм на нелинованной бумаге, потребуются линейка и угольник (или транспортир для построения прямых углов).

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 5 см 2 мм ($52$ мм). Это будет одна из сторон прямоугольника.
2. От точки A отложите прямой угол. Для этого приложите угольник к отрезку AB в точке A и проведите вдоль другой стороны угольника луч.
3. На этом луче от точки A отложите отрезок AD длиной 4 см 5 мм ($45$ мм).
4. Теперь от точки B отложите прямой угол, аналогично шагу 2. На полученном луче от точки B отложите отрезок BC длиной 4 см 5 мм ($45$ мм).
5. Соедините точки D и C отрезком. Фигура ABCD является искомым прямоугольником. Вы можете проверить, что сторона DC равна стороне AB ($52$ мм), а все углы прямые.

Ответ: Построен прямоугольник ABCD со сторонами $AB = DC = 5$ см $2$ мм и $AD = BC = 4$ см $5$ мм.

б) Для построения квадрата со стороной 4 см 8 мм понадобятся те же инструменты: линейка и угольник.

1. С помощью линейки начертите отрезок AB, длина которого равна стороне квадрата, то есть 4 см 8 мм ($48$ мм).
2. От точки A отложите прямой угол ($90^\circ$), используя угольник.
3. На перпендикулярном луче от точки A отложите отрезок AD, равный стороне квадрата, — 4 см 8 мм ($48$ мм).
4. Аналогично постройте прямой угол в точке B и отложите на перпендикулярном луче отрезок BC длиной 4 см 8 мм ($48$ мм).
5. Соедините точки D и C. Полученная фигура ABCD — искомый квадрат, так как все его стороны равны 4 см 8 мм, а все углы — прямые.

Ответ: Построен квадрат ABCD со стороной 4 см 8 мм.

386. Пусть сторона клетки тетради изображает 1 м. Начертите прямоугольник, у которого длина равна 4 м, а ширина — 3 м. Изобразите прямоугольник с такими же размерами, если 1 м изображается двумя клетками.

Пусть сторона клетки тетради изображает 1 м. Начертите прямоугольник, у которого длина равна 4 м, а ширина — 3 м.

В этом задании задан масштаб: 1 клетка тетради соответствует 1 метру.

Длина прямоугольника составляет 4 м. В заданном масштабе это будет соответствовать 4 клеткам:
$4 \text{ м} \times 1 \frac{\text{клетка}}{\text{м}} = 4 \text{ клетки}$.

Ширина прямоугольника составляет 3 м. В заданном масштабе это будет соответствовать 3 клеткам:
$3 \text{ м} \times 1 \frac{\text{клетка}}{\text{м}} = 3 \text{ клетки}$.

Следовательно, необходимо начертить прямоугольник со сторонами 4 клетки и 3 клетки.

Ответ: нужно начертить прямоугольник размером 4 клетки на 3 клетки.

Изобразите прямоугольник с такими же размерами, если 1 м изображается двумя клетками.

В этой части задания меняется масштаб: теперь 1 метр изображается двумя клетками. Размеры прямоугольника в метрах остаются прежними (длина 4 м, ширина 3 м).

Рассчитаем новую длину прямоугольника в клетках:
$4 \text{ м} \times 2 \frac{\text{клетки}}{\text{м}} = 8 \text{ клеток}$.

Рассчитаем новую ширину прямоугольника в клетках:
$3 \text{ м} \times 2 \frac{\text{клетки}}{\text{м}} = 6 \text{ клеток}$.

Таким образом, необходимо начертить новый прямоугольник, стороны которого будут равны 8 клеткам и 6 клеткам.

Ответ: нужно начертить прямоугольник размером 8 клеток на 6 клеток.

387 Какой длины надо взять кусок проволоки, чтобы сделать из него:

а) квадрат со стороной 2 см;

б) прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см?

а)

Длина куска проволоки, необходимого для изготовления квадрата, равна его периметру. Периметр квадрата (P) — это сумма длин всех его сторон. Так как у квадрата все четыре стороны равны, его периметр вычисляется по формуле:
$P = 4 \times a$, где $a$ — длина стороны квадрата.
По условию, сторона квадрата $a = 2$ см.
Подставим это значение в формулу:
$P = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Таким образом, для изготовления квадрата потребуется кусок проволоки длиной 8 см.

Ответ: 8 см.

б)

Длина куска проволоки, необходимого для изготовления прямоугольника, равна его периметру. Периметр прямоугольника (P) — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому его периметр вычисляется по формуле:
$P = 2 \times (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон прямоугольника.
По условию, стороны прямоугольника равны $a = 12$ см и $b = 5$ см.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \times (12 \text{ см} + 5 \text{ см}) = 2 \times 17 \text{ см} = 34 \text{ см}$.
Таким образом, для изготовления прямоугольника потребуется кусок проволоки длиной 34 см.

Ответ: 34 см.

388 Произведите необходимые измерения и найдите периметр прямоугольника (рис. 7.11) и квадрата (рис. 7.12).

B C

A D

7.11

B C

A D

7.12

Периметр прямоугольника (рис. 7.11)

Для того чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, необходимо измерить его длину и ширину. С помощью линейки измерим смежные стороны, например, AB и AD.

Предположим, что измерения дали следующие результаты:

Длина $AB = 5$ см;

Ширина $AD = 3$ см.

Периметр ($P$) прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле:

$P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длина и ширина прямоугольника.

Подставим наши значения в формулу:

$P = 2 \cdot (5 \text{ см} + 3 \text{ см}) = 2 \cdot 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: 16 см.

Периметр квадрата (рис. 7.12)

Для нахождения периметра квадрата ABCD достаточно измерить длину одной его стороны, так как у квадрата все стороны равны.

Предположим, что измерение стороны AD с помощью линейки дало результат:

Длина стороны $AD = 3,5$ см.

Периметр ($P$) квадрата вычисляется по формуле:

$P = 4 \cdot a$, где $a$ — длина стороны квадрата.

Подставим наше значение в формулу:

$P = 4 \cdot 3,5 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: 14 см.

389 Чему равен периметр прямоугольника со сторонами, равными $3 \text{ м } 45 \text{ см}$ и $1 \text{ м } 70 \text{ см}$?

Выберите верный ответ.

1) $4 \text{ м } 15 \text{ см}$

2) $5 \text{ м } 15 \text{ см}$

3) $8 \text{ м } 30 \text{ см}$

4) $10 \text{ м } 30 \text{ см}$

Для нахождения периметра прямоугольника используется формула $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

Даны стороны прямоугольника:

$a = 3$ м $45$ см

$b = 1$ м $70$ см

Способ 1: Сложение и последующее умножение

1. Сначала найдем сумму длин двух смежных сторон:

$(3$ м $45$ см$) + (1$ м $70$ см$) = (3 + 1)$ м $(45 + 70)$ см $= 4$ м $115$ см.

2. Так как $100$ см $= 1$ м, то $115$ см можно представить как $1$ м $15$ см. Тогда сумма сторон равна:

$4$ м $+ 1$ м $15$ см $= 5$ м $15$ см.

3. Теперь умножим полученную сумму на 2, чтобы найти периметр:

$P = 2 \times (5$ м $15$ см$) = (2 \times 5)$ м $(2 \times 15)$ см $= 10$ м $30$ см.

Способ 2: Перевод в одну единицу измерения

1. Переведем длины сторон в сантиметры ($1$ м $= 100$ см):

$a = 3$ м $45$ см $= 3 \times 100 + 45 = 345$ см.

$b = 1$ м $70$ см $= 1 \times 100 + 70 = 170$ см.

2. Подставим значения в формулу периметра:

$P = 2 \times (345$ см $+ 170$ см$) = 2 \times 515$ см $= 1030$ см.

3. Переведем результат обратно в метры и сантиметры:

$1030$ см $= 1000$ см $+ 30$ см $= 10$ м $30$ см.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под номером 4.

Ответ: 4) 10 м 30 см

390 а) Периметр прямоугольника равен 36 см, длина одной стороны — 10 см. Найдите длину смежной стороны.

б) Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его сторона?

а)

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a + b)$, где $P$ — периметр, а $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.
По условию задачи, $P = 36$ см и одна из сторон, например $a$, равна $10$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину другой стороны $b$:
$36 = 2(10 + b)$
Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$36 / 2 = 10 + b$
$18 = 10 + b$
Теперь, чтобы найти $b$, вычтем 10 из 18:
$b = 18 - 10$
$b = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б)

Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для периметра квадрата: $P = 4s$, где $P$ — периметр, а $s$ — длина его стороны.
По условию, периметр квадрата $P$ равен 36 см. Чтобы найти длину стороны $s$, нужно подставить известное значение в формулу:
$36 = 4s$
Разделим периметр на 4:
$s = 36 / 4$
$s = 9$ см.

Ответ: 9 см.

391 Разметили два земельных участка прямоугольной формы. Размеры одного 110 м и 190 м, а другого 150 м и 140 м. У какого участка длина ограды будет больше?

Чтобы выяснить, у какого участка длина ограды будет больше, необходимо вычислить периметр каждого прямоугольного участка. Длина ограды равна периметру.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — его стороны.

Найдем периметр первого участка

Размеры первого участка составляют 110 м и 190 м. Вычислим его периметр ($P_1$):

$P_1 = 2 \cdot (110 + 190) = 2 \cdot 300 = 600$ м.

Найдем периметр второго участка

Размеры второго участка составляют 150 м и 140 м. Вычислим его периметр ($P_2$):

$P_2 = 2 \cdot (150 + 140) = 2 \cdot 290 = 580$ м.

Сравним периметры

Теперь сравним полученные значения длин оград:

$600$ м > $580$ м.

Следовательно, длина ограды первого участка больше, чем второго.

Ответ: Длина ограды будет больше у первого участка, размеры которого 110 м и 190 м.

392 Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон. Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами. Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?

Начертите в тетради какой-нибудь прямоугольник с периметром, равным 24 см. Укажите длины его сторон.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

По условию задачи, $P = 24$ см. Подставим это значение в формулу:

$24 = 2(a+b)$

Чтобы найти сумму длин сторон, разделим обе части уравнения на 2:

$a+b = 12$ см

Теперь нам нужно подобрать два числа, сумма которых равна 12. Например, пусть длина одной стороны $a = 8$ см. Тогда длина второй стороны $b$ будет:

$b = 12 - 8 = 4$ см.

Таким образом, один из возможных прямоугольников имеет стороны 8 см и 4 см. (В тетради нужно начертить прямоугольник с такими сторонами).

Ответ: Прямоугольник может иметь стороны длиной 8 см и 4 см.

Начертите ещё один прямоугольник с таким же периметром, но с другими сторонами.

Мы снова используем условие, что сумма длин смежных сторон равна 12 см: $a+b = 12$.

Выберем другое значение для стороны $a$, отличное от 8 и 4. Например, пусть $a = 10$ см. Тогда сторона $b$ будет равна:

$b = 12 - 10 = 2$ см.

Таким образом, можно начертить еще один прямоугольник со сторонами 10 см и 2 см.

Ответ: Другой прямоугольник с таким же периметром может иметь стороны длиной 10 см и 2 см.

Может ли среди таких прямоугольников быть квадрат?

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Для квадрата $a = b$.

Подставим это условие в наше уравнение $a+b = 12$:

$a+a = 12$

$2a = 12$

$a = 12 / 2 = 6$ см.

Итак, если стороны прямоугольника равны 6 см, то он является квадратом. Проверим его периметр:

$P = 4 \times a = 4 \times 6 = 24$ см.

Периметр равен 24 см, что соответствует условию задачи.

Ответ: Да, среди таких прямоугольников может быть квадрат со стороной 6 см.

393 Определите на глаз периметр вашей классной комнаты. Проведите необходимые измерения и проверьте, насколько вы были точны.

Это практическое задание, для выполнения которого требуются реальные измерения. Поскольку я не могу измерить вашу классную комнату, я приведу пример выполнения с гипотетическими данными. Вы можете следовать этому примеру, подставив свои собственные оценку и измерения.

Определите на глаз периметр вашей классной комнаты

Сначала нужно визуально оценить размеры комнаты. Большинство классных комнат имеют прямоугольную форму. Предположим, что на глаз длина комнаты составляет примерно 8 метров, а ширина – около 6 метров.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – это длина, а $b$ – ширина.

Моя оценочная величина периметра будет:

$P_{оценка} = 2 \cdot (8\text{ м} + 6\text{ м}) = 2 \cdot 14\text{ м} = 28\text{ м}$

Ответ: Моя оценка периметра на глаз — 28 метров.

Проведите необходимые измерения

Теперь возьмем измерительный инструмент, например, рулетку, и измерим точную длину и ширину комнаты. Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения:

• Длина ($a$): 8,5 метра
• Ширина ($b$): 6,2 метра

Теперь вычислим точный периметр, используя эти измеренные значения:

$P_{точный} = 2 \cdot (8,5\text{ м} + 6,2\text{ м}) = 2 \cdot 14,7\text{ м} = 29,4\text{ м}$

Ответ: Точный периметр классной комнаты по результатам измерений составляет 29,4 метра.

Проверьте, насколько вы были точны

Чтобы определить точность первоначальной оценки, нужно сравнить ее с точным значением, полученным после измерений.

• Оценочный периметр: 28 м
• Точный периметр: 29,4 м

Найдем разницу (абсолютную погрешность) между этими двумя значениями:

$Погрешность = |P_{точный} - P_{оценка}| = |29,4\text{ м} - 28\text{ м}| = 1,4\text{ м}$

Это означает, что первоначальная оценка периметра отличалась от реального значения на 1,4 метра.

Ответ: Моя оценка была достаточно точной, погрешность составила 1,4 метра.