Страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Известно, что число $a$ делится на число $b$. Какими ещё словами можно описать взаимосвязь между этими числами? Приведите примеры.

Если число a делится нацело на число b, это означает, что результат деления a на b является целым числом, то есть частное не имеет дробной части (остаток равен нулю). Математически это можно записать как $a = b \cdot k$, где k — некоторое целое число.

Эту взаимосвязь можно описать несколькими другими способами:

• Число b является делителем числа a

  Это означает, что при делении числа a на число b получается целое число.
  Пример: Известно, что 24 делится на 8. Следовательно, можно сказать, что число 8 является делителем числа 24.

• Число a кратно числу b

  Это означает, что число a можно получить, умножив число b на некоторое целое число. Иными словами, a содержится в ряду чисел, которые получаются при умножении b на 1, 2, 3 и так далее.
  Пример: Известно, что 50 делится на 10. Следовательно, можно сказать, что число 50 кратно числу 10, так как $50 = 10 \cdot 5$.

• Число b делит число a

  Это более краткая и строгая математическая формулировка, которая означает то же самое, что и "b является делителем a".
  Пример: Известно, что 63 делится на 7. Следовательно, можно сказать, что 7 делит 63.

Ответ: Взаимосвязь, при которой число a делится на число b, можно также описать следующими фразами: "число b является делителем числа a", "число a кратно числу b" или "число b делит число a".

2 Какие из чисел 2, 6, 12, 15, 24 являются делителями числа 84?

Чтобы определить, какие из чисел 2, 6, 12, 15, 24 являются делителями числа 84, необходимо проверить, делится ли число 84 на каждое из них без остатка. Если в результате деления получается целое число (деление нацело), то проверяемое число является делителем.

Проверка числа 2:
Число 84 является чётным, так как оно оканчивается на чётную цифру 4. Любое чётное число делится на 2 без остатка.
$84 \div 2 = 42$
Результат — целое число, следовательно, 2 является делителем числа 84.

Проверка числа 6:
Согласно признаку делимости, число делится на 6, если оно одновременно делится и на 2, и на 3. Мы уже установили, что 84 делится на 2. Проверим делимость на 3: сумма цифр числа 84 равна $8 + 4 = 12$. Поскольку 12 делится на 3, то и 84 делится на 3. Так как 84 делится и на 2, и на 3, оно делится и на 6.
$84 \div 6 = 14$
Результат — целое число, следовательно, 6 является делителем числа 84.

Проверка числа 12:
Выполним деление 84 на 12.
$84 \div 12 = 7$
Результат — целое число, следовательно, 12 является делителем числа 84.

Проверка числа 15:
При делении 84 на 15 получаем:
$84 \div 15 = 5$ (остаток 9), так как $15 \times 5 = 75$, а $84 - 75 = 9$.
Так как деление происходит с остатком, 15 не является делителем числа 84.

Проверка числа 24:
При делении 84 на 24 получаем:
$84 \div 24 = 3$ (остаток 12), так как $24 \times 3 = 72$, а $84 - 72 = 12$.
Так как деление происходит с остатком, 24 не является делителем числа 84.

Ответ: 2, 6, 12.

3 Выпишите все делители числа 40.

Делителем числа называется натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Для нахождения всех делителей числа 40 будем последовательно проверять деление на натуральные числа, начиная с 1. Удобно находить делители парами: если мы находим один делитель, то частное от деления исходного числа на этот делитель также будет являться делителем.

1. Делим 40 на 1:
$40 \div 1 = 40$. Получаем два делителя: 1 и 40.

2. Делим 40 на 2:
$40 \div 2 = 20$. Получаем еще два делителя: 2 и 20.

3. Проверяем 3:
40 не делится на 3 без остатка ($4+0=4$, не делится на 3), поэтому 3 не является делителем.

4. Делим 40 на 4:
$40 \div 4 = 10$. Получаем делители: 4 и 10.

5. Делим 40 на 5:
$40 \div 5 = 8$. Получаем делители: 5 и 8.

6. Проверяем 6 и 7:
Число 40 не делится на 6 и 7 без остатка.

Следующее число для проверки — 8, но мы его уже нашли в паре с 5. Это означает, что мы нашли все возможные пары делителей.

Теперь запишем все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

4 Запишите по порядку, начиная с наименьшего, несколько чисел, кратных 7.

Число, кратное 7, — это натуральное число, которое делится на 7 нацело (без остатка). Чтобы найти такие числа в порядке возрастания, необходимо последовательно умножать число 7 на ряд натуральных чисел (1, 2, 3, 4 и так далее).

1. Найдём наименьшее число, кратное 7. Для этого умножим 7 на наименьшее натуральное число, то есть на 1:
$7 \times 1 = 7$

2. Найдём следующие несколько чисел, кратных 7, продолжая умножать на 2, 3, 4 и так далее:
$7 \times 2 = 14$
$7 \times 3 = 21$
$7 \times 4 = 28$
$7 \times 5 = 35$
$7 \times 6 = 42$

Таким образом, мы получаем ряд чисел, кратных 7, записанных по порядку, начиная с наименьшего. В задании требуется указать "несколько" таких чисел, поэтому приведем найденные в качестве примера.

Ответ: 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...

5 С конечной остановки одновременно выезжают по двум маршрутам автобусы. Первый возвращается каждые 45 мин, второй — каждые 60 мин. Через какое наименьшее время они снова окажутся на конечной остановке вместе?

Чтобы найти наименьшее время, через которое автобусы снова окажутся на конечной остановке вместе, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) интервалов их движения.

Интервал движения первого автобуса составляет $45$ минут, а второго — $60$ минут.

Для нахождения НОК($45, 60$) разложим оба числа на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Чтобы вычислить НОК, нужно выписать все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и взять каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается. Затем эти множители перемножаются.
$НОК(45, 60) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Таким образом, наименьшее время, через которое автобусы снова встретятся на конечной остановке, составляет $180$ минут, что равно $3$ часам.

Ответ: 180 мин.

6 Какое число называется простым и какое — составным?

Назовите простые числа:

a) из первого десятка;

б) расположенные между числами 100 и 110.

Простое число — это натуральное число (целое положительное число), большее $1$, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Составное число — это натуральное число, большее $1$, которое не является простым. Составное число имеет больше двух делителей.

Число $1$ не является ни простым, ни составным, так как у него только один делитель.

а) из первого десятка

Чтобы найти простые числа в первом десятке, нужно проверить каждое число от $1$ до $10$ на наличие делителей, кроме $1$ и самого себя.

• $1$ — не является ни простым, ни составным.
• $2$ — делится только на $1$ и $2$. Простое.
• $3$ — делится только на $1$ и $3$. Простое.
• $4$ — делится на $1, 2, 4$. Составное.
• $5$ — делится только на $1$ и $5$. Простое.
• $6$ — делится на $1, 2, 3, 6$. Составное.
• $7$ — делится только на $1$ и $7$. Простое.
• $8$ — делится на $1, 2, 4, 8$. Составное.
• $9$ — делится на $1, 3, 9$. Составное.
• $10$ — делится на $1, 2, 5, 10$. Составное.

Простыми числами в первом десятке являются $2, 3, 5, 7$.
Ответ: $2, 3, 5, 7$.

б) расположенные между числами 100 и 110

Рассмотрим все целые числа в этом промежутке: $101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109$. Проверим каждое из них:

• Все четные числа ($102, 104, 106, 108$) являются составными, так как делятся на $2$.
• Число $105$ оканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$ и является составным.
• Проверим оставшиеся числа: $101, 103, 107, 109$.
  • $101$: не делится на $2, 3, 5, 7$. Простое.
  • $103$: не делится на $2, 3, 5, 7$. Простое.
  • $107$: не делится на $2, 3, 5, 7$. Простое.
  • $109$: не делится на $2, 3, 5, 7$. Простое.

Простыми числами между $100$ и $110$ являются $101, 103, 107, 109$.
Ответ: $101, 103, 107, 109$.

7 С помощью таблицы простых чисел определите, простым или составным является число:

а) $197$;

б) $389$;

в) $637$;

г) $853$.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно проверить, имеет ли оно делители, кроме 1 и самого себя. Для этого достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие квадратный корень из данного числа. Список простых чисел можно взять из соответствующей таблицы.

Найдем квадратный корень из 197: $\sqrt{197} \approx 14.03$.

Простые числа, на которые нужно проверить делимость, это все простые числа, меньшие или равные 14: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

• 197 не делится на 2, так как это нечетное число.
• 197 не делится на 3, так как сумма его цифр ($1+9+7=17$) не делится на 3.
• 197 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
• $197 \div 7 = 28$ (остаток 1).
• $197 \div 11 = 17$ (остаток 10).
• $197 \div 13 = 15$ (остаток 2).

Так как 197 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{197}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Найдем квадратный корень из 389: $\sqrt{389} \approx 19.72$.

Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• 389 не делится на 2 (нечетное).
• 389 не делится на 3 (сумма цифр $3+8+9=20$, не делится на 3).
• 389 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
• $389 \div 7 = 55$ (остаток 4).
• $389 \div 11 = 35$ (остаток 4).
• $389 \div 13 = 29$ (остаток 12).
• $389 \div 17 = 22$ (остаток 15).
• $389 \div 19 = 20$ (остаток 9).

Так как 389 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{389}$, оно является простым.

Ответ: простое.

Найдем квадратный корень из 637: $\sqrt{637} \approx 25.23$.

Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

• 637 не делится на 2 (нечетное).
• 637 не делится на 3 (сумма цифр $6+3+7=16$, не делится на 3).
• 637 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
• $637 \div 7 = 91$. Делится без остатка.

Поскольку мы нашли делитель (7), отличный от 1 и 637, число 637 является составным. Разложение на простые множители: $637 = 7 \times 91 = 7 \times 7 \times 13 = 7^2 \times 13$.

Ответ: составное.

Найдем квадратный корень из 853: $\sqrt{853} \approx 29.2$.

Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

• 853 не делится на 2 (нечетное).
• 853 не делится на 3 (сумма цифр $8+5+3=16$, не делится на 3).
• 853 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
• $853 \div 7 = 121$ (остаток 6).
• $853 \div 11 = 77$ (остаток 6).
• $853 \div 13 = 65$ (остаток 8).
• $853 \div 17 = 50$ (остаток 3).
• $853 \div 19 = 44$ (остаток 17).
• $853 \div 23 = 37$ (остаток 2).
• $853 \div 29 = 29$ (остаток 12).

Так как 853 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{853}$, оно является простым.

Ответ: простое.

8. Какие из чисел 272, 312, 405, 512 делятся:

а) на $3$;

б) на $9$?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Аналогично, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сначала найдем сумму цифр для каждого из данных чисел:

• 272: $2 + 7 + 2 = 11$
• 312: $3 + 1 + 2 = 6$
• 405: $4 + 0 + 5 = 9$
• 512: $5 + 1 + 2 = 8$

Теперь проверим делимость для каждого случая.

а) на 3

Проверим, какие из найденных сумм делятся на 3:

• Сумма цифр числа 272 равна 11. Так как 11 не делится на 3, то и 272 не делится на 3.
• Сумма цифр числа 312 равна 6. Так как $6 : 3 = 2$, то 312 делится на 3.
• Сумма цифр числа 405 равна 9. Так как $9 : 3 = 3$, то 405 делится на 3.
• Сумма цифр числа 512 равна 8. Так как 8 не делится на 3, то и 512 не делится на 3.

Ответ: 312, 405.

б) на 9

Проверим, какие из найденных сумм делятся на 9:

• Сумма цифр числа 272 равна 11. Так как 11 не делится на 9, то и 272 не делится на 9.
• Сумма цифр числа 312 равна 6. Так как 6 не делится на 9, то и 312 не делится на 9.
• Сумма цифр числа 405 равна 9. Так как $9 : 9 = 1$, то 405 делится на 9.
• Сумма цифр числа 512 равна 8. Так как 8 не делится на 9, то и 512 не делится на 9.

Ответ: 405.

9 Какие из чисел 115, 120, 142, 170, 186:

а) делятся на $2$ и не делятся на $5$;

б) делятся на $2$ и на $5$?

Для решения этой задачи необходимо использовать признаки делимости чисел.

Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6 или 8).

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра 0 или 5.

а) делятся на 2 и не делятся на 5;

Сначала выберем из предложенного списка {115, 120, 142, 170, 186} числа, которые делятся на 2. Это все числа, оканчивающиеся на четную цифру: 120, 142, 170, 186.

Теперь из этого списка {120, 142, 170, 186} нужно исключить те числа, которые делятся на 5, то есть оканчиваются на 0 или 5. Это числа 120 и 170.

В результате остаются числа, которые удовлетворяют условию: они делятся на 2, но не делятся на 5. Это 142 и 186.

Проверка:
$142 \div 2 = 71$. Последняя цифра 2, не 0 и не 5, значит на 5 не делится. Подходит.
$186 \div 2 = 93$. Последняя цифра 6, не 0 и не 5, значит на 5 не делится. Подходит.

Ответ: 142, 186.

б) делятся на 2 и на 5?

Если число делится и на 2, и на 5, то оно должно делиться на их произведение, то есть на $2 \times 5 = 10$. Признак делимости на 10: число должно оканчиваться на 0.

Из исходного списка {115, 120, 142, 170, 186} выберем числа, которые оканчиваются на 0. Это числа 120 и 170.

Проверка:
$120 \div 10 = 12$. Подходит.
$170 \div 10 = 17$. Подходит.

Ответ: 120, 170.

10 Сто яиц для транспортировки нужно уложить в коробки. В наличии имеются коробки для 6 яиц. Сколько таких коробок потребуется?

Для того чтобы определить, сколько коробок потребуется для упаковки 100 яиц, необходимо разделить общее количество яиц на количество яиц, которое вмещает одна коробка.

Общее количество яиц — 100.
Вместимость одной коробки — 6 яиц.

Разделим общее количество яиц на вместимость одной коробки, чтобы найти количество полных коробок и остаток:
$100 \div 6 = 16$ (остаток 4)

Результат деления показывает, что мы можем полностью заполнить 16 коробок. В этих коробках будет уложено:
$16 \times 6 = 96$ яиц.

После заполнения 16 коробок останутся неупакованными:
$100 - 96 = 4$ яйца.

Для этих 4 оставшихся яиц потребуется еще одна коробка. Таким образом, общее количество необходимых коробок равно сумме полностью заполненных коробок и одной дополнительной коробки для остатка.
$16 + 1 = 17$ коробок.

Ответ: 17.