Номер 394, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

394 Начертите в тетради квадрат и проведите одну его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?
Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ равна $d$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны квадрата являются катетами, а диагональ – гипотенузой.
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Из этого уравнения находим длину диагонали:
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Поскольку значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.414$, что больше $1$, то и длина диагонали $d$ будет больше длины стороны $a$.
Другое объяснение заключается в том, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной, то есть она больше любого из катетов.
Ответ: Диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?
Каждый угол в квадрате равен $90^\circ$. Диагональ квадрата является биссектрисой его углов, то есть она делит угол, из которого выходит, на два равных угла.
Следовательно, угол между диагональю и стороной квадрата равен половине прямого угла:
$90^\circ / 2 = 45^\circ$
Ответ: Диагональ образует со сторонами квадрата углы, равные $45^\circ$.

Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?
Диагонали квадрата обладают следующими свойствами: они равны, в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны.
Докажем, что угол пересечения равен $90^\circ$. Две диагонали делят квадрат на четыре треугольника. Рассмотрим один из них, например, тот, который прилегает к одной из сторон квадрата. Пусть точка пересечения диагоналей - $O$, а две смежные вершины квадрата - $A$ и $B$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как половины диагоналей квадрата равны ($AO = BO$).
Углы при основании этого треугольника ($\angle OAB$ и $\angle OBA$) равны, и, как мы выяснили в предыдущем пункте, каждый из них равен $45^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$, который и является углом пересечения диагоналей:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, диагонали пересекаются под прямым углом.
Ответ: Диагонали квадрата пересекаются под углом $90^\circ$.