Номер 405, страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

405 Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его:

а) на две равные части прямой линией;

б) на четыре равные части двумя прямыми линиями.

Указание. Предложите несколько разных способов.

7.22

а) Чтобы разрезать прямоугольник на две равные (то есть имеющие одинаковую площадь) части одной прямой линией, необходимо, чтобы эта линия проходила через центр симметрии прямоугольника. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Любая такая прямая разделит площадь прямоугольника пополам.

Рассмотрим несколько самых простых способов:

1. Провести среднюю линию. Средняя линия прямоугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его противоположных сторон. Если провести такую линию, она разделит исходный прямоугольник на два абсолютно одинаковых (конгруэнтных) прямоугольника меньшего размера. Площадь каждого из них будет ровно в два раза меньше площади исходного.

2. Провести диагональ. Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. Если провести диагональ, она разделит прямоугольник на два равных (конгруэнтных) прямоугольных треугольника. Площадь каждого из этих треугольников будет равна половине площади исходного прямоугольника.

Ответ: Чтобы разрезать прямоугольник на две равные части одной прямой, можно провести линию, соединяющую середины противоположных сторон (среднюю линию), или провести диагональ. В общем виде, любая прямая, проходящая через центр прямоугольника, разделит его на две равные по площади части.

б) Чтобы разрезать прямоугольник на четыре равные части двумя прямыми линиями, также существует несколько способов. Площадь каждой из четырех частей должна быть равна четверти площади исходного прямоугольника $S$, то есть $S/4$.

1. Провести две средние линии. Одна средняя линия соединяет середины одной пары противоположных сторон, а вторая — середины другой пары. Эти две линии взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре прямоугольника. Они разделят исходный прямоугольник на четыре равных (конгруэнтных) прямоугольника, площадь каждого из которых будет равна $S/4$.

2. Провести две диагонали. Две диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и делят его на четыре треугольника. Все четыре треугольника имеют равную площадь $S/4$. Треугольники, расположенные напротив друг друга (через центр), будут попарно конгруэнтны.

3. Провести две любые перпендикулярные прямые через центр. Если через центр симметрии прямоугольника провести две любые взаимно перпендикулярные прямые, они разделят прямоугольник на четыре равные (конгруэнтные) фигуры. Способ с двумя средними линиями является частным случаем этого метода, когда проведенные прямые параллельны сторонам прямоугольника.

Ответ: Чтобы разрезать прямоугольник на четыре равные части двумя прямыми линиями, можно: 1) провести две его средние линии; 2) провести обе его диагонали; 3) провести через его центр две любые взаимно перпендикулярные прямые.