Номер 425, страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

425 Начертите в тетради круг радиусом 3 см. Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах. С помощью квадратной сетки попытайтесь оценить эту площадь более точно.

Для решения задачи сначала нужно выполнить построение, а затем провести оценку площади двумя способами.

1. Построение

Возьмите тетрадь в клетку, линейку и циркуль. Стандартный размер клетки в тетради — 0,5 см × 0,5 см. Таким образом, радиус круга в 3 см будет равен 6 клеткам. Установите раствор циркуля на 6 клеток (3 см), поставьте острие в точку пересечения линий сетки и начертите круг.

Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах

Для грубой оценки площади сравним ее с площадями описанного и вписанного квадратов.

• Радиус круга $r = 3$ см, значит, его диаметр $d = 2r = 6$ см.
• Круг можно поместить внутрь квадрата со стороной, равной диаметру, то есть 6 см. Площадь этого описанного квадрата равна: $S_{описанного} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.
• Внутрь круга можно вписать квадрат, диагональ которого будет равна диаметру круга (6 см). Площадь вписанного квадрата равна половине произведения его диагоналей: $S_{вписанного} = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \times 6^2 = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь круга $S_{круга}$ находится между площадями этих двух квадратов.

$18 \text{ см}^2 < S_{круга} < 36 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь круга больше 18 см² и меньше 36 см².

С помощью квадратной сетки попытайтесь оценить эту площадь более точно

Для более точного расчета воспользуемся начерченным на сетке кругом. Площадь одной клетки составляет $0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2$.

Метод оценки заключается в подсчете клеток:

1. Подсчитайте количество клеток, которые находятся полностью внутри круга. Обозначим это число $N_{полных}$. При аккуратном подсчете на вашем чертеже это число будет около 96.
2. Подсчитайте количество клеток, через которые проходит линия окружности (частично заполненные клетки). Обозначим их число $N_{частичных}$. Их будет примерно 32.

Принято считать, что частично заполненные клетки в среднем заполнены наполовину. Тогда общую площадь можно оценить по формуле:

$S_{круга} \approx (N_{полных} + \frac{1}{2} N_{частичных}) \times S_{клетки}$

Подставим наши значения:

$S_{круга} \approx (96 + \frac{1}{2} \times 32) \times 0,25 = (96 + 16) \times 0,25 = 112 \times 0,25 = 28 \text{ см}^2$.

Для справки: точная площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Для радиуса 3 см, точная площадь равна $S = \pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28,27 \text{ см}^2$. Как видим, наша оценка в 28 см² очень близка к точному значению. Ваши числа при подсчете могут немного отличаться, но итоговый результат должен быть близок к этому значению.

Ответ: Более точная оценка площади круга составляет примерно 28 см².