Номер 340, страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

340 1) Найдите с помощью перебора всех возможных вариантов все делители числа 6, числа 10 и числа 35. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа? Перечислите их все.

1) Найдем все делители для каждого числа с помощью перебора и используя подсказку о разложении на простые множители.

Для числа 6:

Подсказка: $6 = 2 \cdot 3$. Делителями будут 1, само число 6, и его простые множители 2 и 3.

Проверим перебором:

• $6 : 1 = 6$
• $6 : 2 = 3$
• $6 : 3 = 2$
• $6 : 6 = 1$

Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Всего 4 делителя.

Для числа 10:

Подсказка: $10 = 2 \cdot 5$. Делителями будут 1, само число 10, и его простые множители 2 и 5.

Проверим перебором:

• $10 : 1 = 10$
• $10 : 2 = 5$
• $10 : 5 = 2$
• $10 : 10 = 1$

Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Всего 4 делителя.

Для числа 35:

Подсказка: $35 = 5 \cdot 7$. Делителями будут 1, само число 35, и его простые множители 5 и 7.

Проверим перебором:

• $35 : 1 = 35$
• $35 : 5 = 7$
• $35 : 7 = 5$
• $35 : 35 = 1$

Делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Всего 4 делителя.

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 (всего 4 делителя). Делители числа 10: 1, 2, 5, 10 (всего 4 делителя). Делители числа 35: 1, 5, 7, 35 (всего 4 делителя).

2) Общим свойством этих чисел (6, 10, 35) является то, что каждое из них представляет собой произведение двух различных простых чисел. Следствием этого является то, что у каждого из них ровно 4 делителя.

Укажем еще одно число с таким же свойством. Возьмем два различных простых числа, например, 3 и 5. Их произведение: $3 \cdot 5 = 15$.

Найдем делители числа 15:

• $15 : 1 = 15$
• $15 : 3 = 5$
• $15 : 5 = 3$
• $15 : 15 = 1$

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. У него, как и у чисел из первого пункта, 4 делителя.

Ответ: Общее свойство — каждое из этих чисел является произведением двух различных простых чисел. Пример другого числа с таким свойством — 15. У него 4 делителя.

3) Пусть число $N$ равно произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа.

Чтобы найти все делители числа $N$, нужно рассмотреть все возможные комбинации его простых множителей ($a$ и $b$).

Делителями числа $N = a \cdot b$ будут:

• 1 (единица является делителем любого числа).
• Простой множитель $a$.
• Простой множитель $b$.
• Само число $a \cdot b$.

Так как $a$ и $b$ — простые и различные числа, других делителей у числа $N$ быть не может. Следовательно, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$ (где $a$ и $b$ — различные простые числа), имеет 4 делителя. Это числа: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.