Страница 93 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

305 а) Сколько треугольников на рисунке 5.27?

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.28?

в) Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.29.

а) Сколько треугольников на рисунке 5.27?

Для подсчета треугольников на рисунке 5.27, мы можем классифицировать их по размеру или по составным частям. Давайте обозначим вершины и точки пересечения для удобства, но проще всего вести подсчет, основываясь на общих сторонах или вершинах.

1. Самые маленькие треугольники: В верхней части рисунка есть два маленьких треугольника, разделенных вертикальной линией. (2 треугольника)

2. Треугольники среднего размера:

• Треугольник, состоящий из двух самых маленьких треугольников (весь верхний треугольник над горизонтальной линией). (1 треугольник)
• Треугольник, занимающий всю левую часть от вертикальной линии. (1 треугольник)
• Треугольник, занимающий всю правую часть от вертикальной линии. (1 треугольник)

Итого 3 треугольника среднего размера.

3. Самый большой треугольник: Вся фигура целиком. (1 треугольник)

Сложим количество треугольников из всех групп: $2 + 3 + 1 = 6$.

Ответ: 6

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.28?

Фигура на рисунке 5.28 разделена на 4 меньших четырёхугольника. Мы можем найти общее количество, подсчитывая фигуры разных размеров.

1. Маленькие четырёхугольники (состоящие из одной части):

• Верхний левый
• Верхний правый
• Нижний левый
• Нижний правый

Итого 4 маленьких четырёхугольника.

2. Средние четырёхугольники (состоящие из двух частей):

• Два верхних, образующие верхний прямоугольник.
• Два нижних, образующие нижний прямоугольник.
• Два левых, образующие левую трапецию.
• Два правых, образующие правую трапецию.

Итого 4 средних четырёхугольника.

3. Большой четырёхугольник (состоящий из четырех частей):

• Вся фигура целиком.

Итого 1 большой четырёхугольник.

Общее количество четырёхугольников: $4 + 4 + 1 = 9$.

Ответ: 9

в) Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.29.

Рисунок 5.29 изображает пентаграмму, вписанную в пятиугольник. В такой фигуре действительно 35 треугольников. Чтобы найти их все, разделим их на группы по типу вершин, которые их образуют. Внешние вершины обозначены как A, B, C, D, E. Внутренние вершины (точки пересечения диагоналей) — O, F, G, H, K.

Группа 1: Треугольники с тремя внешними вершинами (10 треугольников).

• 5 треугольников, использующих одну из сторон пятиугольника: ΔABC, ΔBCD, ΔCDE, ΔDEA, ΔEAB.
• 5 треугольников, образующих "лучи" большой звезды: ΔACD, ΔBDE, ΔCEA, ΔDAB, ΔEBC.

Группа 2: Треугольники с двумя смежными внешними вершинами и одной внутренней (10 треугольников).

• Со стороной AB: ΔABO, ΔABF.
• Со стороной BC: ΔBCF, ΔBCG.
• Со стороной CD: ΔCDG, ΔCDH.
• Со стороной DE: ΔDEH, ΔDEK.
• Со стороной EA: ΔEAK, ΔEAO.

Группа 3: Треугольники с одной внешней и двумя внутренними вершинами (5 треугольников).

Это 5 маленьких "острых" треугольников на концах лучей пентаграммы.

• ΔAOK, ΔBFG, ΔCGH, ΔDHK, ΔEKO.

Группа 4: Треугольники с двумя несмежными внешними вершинами и одной внутренней (10 треугольников).

Эти треугольники состоят из одной внутренней вершины и двух внешних, не соединенных стороной пятиугольника.

• ΔAKC, ΔBOD, ΔCFE, ΔDGA, ΔEHB.
• ΔAFD, ΔBGE, ΔCHA, ΔDKB, ΔEOC.

Суммируя все группы, получаем общее количество треугольников: $10 + 10 + 5 + 10 = 35$.

Ответ: 35 треугольников, сгруппированных выше.

306 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника; десятиугольника; стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?

Объясните почему (нужно разделить результат на 2)
Алгоритм предлагает сначала умножить число диагоналей, выходящих из одной вершины ($n-3$), на общее число вершин ($n$). Давайте разберемся, что мы считаем таким образом. Когда мы проводим диагональ из вершины A в вершину C, мы считаем ее один раз. Но когда мы будем считать диагонали, выходящие из вершины C, мы снова посчитаем ту же самую диагональ, но уже как идущую из C в A. Таким образом, каждая диагональ (которая соединяет две вершины) будет посчитана ровно дважды: по одному разу для каждой из её конечных вершин. Чтобы получить истинное число уникальных диагоналей, необходимо результат этого умножения разделить на 2.
Ответ: Результат нужно разделить на 2, потому что при умножении числа диагоналей из одной вершины на общее число вершин каждая диагональ учитывается дважды.

Сколько диагоналей у семиугольника; десятиугольника; стоугольника?
Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой для нахождения числа диагоналей ($d$) в $n$-угольнике, которая выводится из предложенного в задаче алгоритма:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число вершин многоугольника.

1. Для семиугольника:
$n=7$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

2. Для десятиугольника:
$n=10$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

3. Для стоугольника:
$n=100$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{100(100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = 50 \times 97 = 4850$

Ответ: у семиугольника 14 диагоналей, у десятиугольника 35 диагоналей, а у стоугольника 4850 диагоналей.

У какого многоугольника 9 диагоналей?
В этой задаче нам известно число диагоналей ($d=9$), и нужно найти число вершин ($n$). Используем ту же формулу:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$
Подставим известное значение $d$:
$9 = \frac{n(n-3)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$18 = n(n-3)$
Раскроем скобки:
$18 = n^2 - 3n$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 - 3n - 18 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. Подберем корни: нам нужны два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 3. Это числа 6 и -3.
Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 6$ и $n_2 = -3$.
Поскольку число вершин многоугольника не может быть отрицательным, корень $n = -3$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственный подходящий ответ — $n = 6$. Это шестиугольник.
Проверим: $d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Верно.

Ответ: 9 диагоналей у шестиугольника.

307. Найдите периметр треугольника, изображённого на рисунке 5.30.

5.30

4 см

3 см

5 см

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для того чтобы найти периметр треугольника, изображенного на рисунке, необходимо сложить длины всех трех его сторон.

Длины сторон треугольника равны 4 см, 3 см и 5 см.

Найдем периметр $P$, сложив эти значения:

$P = 4 + 3 + 5 = 12$ (см)

Ответ: 12 см

308 Чему равен периметр треугольника $ABC$ со сторонами:

а) $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $AC = 5 \text{ см } 3 \text{ мм}$;

б) $AB = BC = 4 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см } 3 \text{ мм}$;

в) $AB = BC = AC = 9 \text{ см}$?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для нахождения периметра $P$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ выглядит так:

$P = AB + BC + AC$

а)

Даны стороны треугольника: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см $5$ мм, $AC = 5$ см $3$ мм.

Для удобства сложения переведем все длины в одну единицу измерения, например, в миллиметры. Мы знаем, что в $1$ сантиметре $10$ миллиметров.

$AB = 3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$

$BC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм} = 40 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 45 \text{ мм}$

$AC = 5 \text{ см } 3 \text{ мм} = 50 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 53 \text{ мм}$

Теперь найдем периметр, сложив длины всех сторон:

$P = 30 \text{ мм} + 45 \text{ мм} + 53 \text{ мм} = 128 \text{ мм}$

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:

$128 \text{ мм} = 120 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 12 \text{ см } 8 \text{ мм}$

Ответ: $12$ см $8$ мм.

б)

Даны стороны треугольника: $AB = BC = 4$ см, $AC = 7$ см $3$ мм.

Переведем все длины в миллиметры:

$AB = 4 \text{ см} = 40 \text{ мм}$

$BC = 4 \text{ см} = 40 \text{ мм}$

$AC = 7 \text{ см } 3 \text{ мм} = 70 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 73 \text{ мм}$

Найдем периметр:

$P = 40 \text{ мм} + 40 \text{ мм} + 73 \text{ мм} = 153 \text{ мм}$

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:

$153 \text{ мм} = 150 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 15 \text{ см } 3 \text{ мм}$

Ответ: $15$ см $3$ мм.

в)

Даны стороны треугольника: $AB = BC = AC = 9$ см. Этот треугольник является равносторонним.

Периметр можно найти, умножив длину одной стороны на 3, так как все стороны равны:

$P = 3 \times AB = 3 \times 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Или сложив длины всех сторон:

$P = 9 \text{ см} + 9 \text{ см} + 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Ответ: $27$ см.

309 Выполнив необходимые измерения, найдите периметр многоугольников, изображённых на рисунках 5.25, 5.26.

5.26

Рисунок 5.25

Периметр четырехугольника DEHF равен сумме длин его сторон: $P_{DEHF} = DE + EF + FH + HD$. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 условную единицу. Все стороны данной фигуры равны, так как каждая из них является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 2. Найдем длину одной стороны, например DE, по теореме Пифагора:

$DE = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ условных единиц.

Поскольку все четыре стороны равны, периметр равен произведению длины одной стороны на четыре:

$P_{DEHF} = 4 \cdot DE = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ условных единиц.

Ответ: $8\sqrt{2}$.

Рисунок 5.26

Периметр пятиугольника KMNPT равен сумме длин его сторон: $P_{KMNPT} = KM + MN + NP + PT + TK$. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 условную единицу. Найдем длину каждой стороны, используя теорему Пифагора для наклонных сторон и подсчет клеток для горизонтальных и вертикальных сторон.

1. Сторона KM является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2. Ее длина: $KM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
2. Сторона MN является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1. Ее длина: $MN = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
3. Сторона NP — это вертикальный отрезок длиной 2 клетки. Ее длина: $NP = 2$.
4. Сторона PT — это горизонтальный отрезок длиной 2 клетки. Ее длина: $PT = 2$.
5. Сторона TK является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Ее длина: $TK = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр:

$P_{KMNPT} = KM + MN + NP + PT + TK = \sqrt{5} + \sqrt{5} + 2 + 2 + \sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{5} + \sqrt{2}$ условных единиц.

Ответ: $4 + 2\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

310 Выполнив необходимые измерения, найдите периметр четырёхугольника, изображённого на рисунке 5.31.

5.31

Для того чтобы найти периметр четырёхугольника, необходимо измерить длину каждой его стороны и сложить полученные значения. Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон фигуры: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA$.

Так как точный масштаб изображения в задаче не указан, мы выполним измерения по предоставленному рисунку. Следует учесть, что результаты могут незначительно отличаться в зависимости от размера, в котором изображение было напечатано или отображено. Проведя измерения с помощью линейки и сохраняя пропорции сторон, получаем следующие приближённые значения:
Длина стороны AB ≈ 4,0 см;
Длина стороны BC ≈ 3,0 см;
Длина стороны CD ≈ 4,6 см;
Длина стороны DA ≈ 4,3 см.

Теперь вычислим периметр, подставив измеренные значения в формулу:

$P = 4,0 \text{ см} + 3,0 \text{ см} + 4,6 \text{ см} + 4,3 \text{ см}$

$P = 15,9 \text{ см}$

Ответ: 15,9 см.

311 Периметр четырёхугольника $KOPT$ равен 17 см, $KO = 5$ см, $OP = 6$ см, $PT = KT$. Найдите сто-рону $KT$.

Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон. Для четырёхугольника KOPT формула периметра $P$ выглядит следующим образом:

$P = KO + OP + PT + KT$

По условию задачи нам даны следующие значения:

Периметр $P = 17$ см.

Длина стороны $KO = 5$ см.

Длина стороны $OP = 6$ см.

Стороны $PT$ и $KT$ равны, то есть $PT = KT$.

Подставим известные длины сторон в формулу периметра:

$17 = 5 + 6 + PT + KT$

Сначала сложим известные стороны:

$17 = 11 + PT + KT$

Теперь найдем сумму длин двух неизвестных сторон, вычитая сумму известных сторон из периметра:

$PT + KT = 17 - 11$

$PT + KT = 6$ см

Так как по условию стороны $PT$ и $KT$ равны, мы можем найти длину каждой из них, разделив их общую сумму на 2:

$KT = (PT + KT) / 2$

$KT = 6 / 2$

$KT = 3$ см

Ответ: 3 см.