Номер 306, страница 93 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

306 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника; десятиугольника; стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?

Объясните почему (нужно разделить результат на 2)
Алгоритм предлагает сначала умножить число диагоналей, выходящих из одной вершины ($n-3$), на общее число вершин ($n$). Давайте разберемся, что мы считаем таким образом. Когда мы проводим диагональ из вершины A в вершину C, мы считаем ее один раз. Но когда мы будем считать диагонали, выходящие из вершины C, мы снова посчитаем ту же самую диагональ, но уже как идущую из C в A. Таким образом, каждая диагональ (которая соединяет две вершины) будет посчитана ровно дважды: по одному разу для каждой из её конечных вершин. Чтобы получить истинное число уникальных диагоналей, необходимо результат этого умножения разделить на 2.
Ответ: Результат нужно разделить на 2, потому что при умножении числа диагоналей из одной вершины на общее число вершин каждая диагональ учитывается дважды.

Сколько диагоналей у семиугольника; десятиугольника; стоугольника?
Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой для нахождения числа диагоналей ($d$) в $n$-угольнике, которая выводится из предложенного в задаче алгоритма:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число вершин многоугольника.

1. Для семиугольника:
$n=7$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

2. Для десятиугольника:
$n=10$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

3. Для стоугольника:
$n=100$. Подставляем в формулу:
$d = \frac{100(100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = 50 \times 97 = 4850$

Ответ: у семиугольника 14 диагоналей, у десятиугольника 35 диагоналей, а у стоугольника 4850 диагоналей.

У какого многоугольника 9 диагоналей?
В этой задаче нам известно число диагоналей ($d=9$), и нужно найти число вершин ($n$). Используем ту же формулу:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$
Подставим известное значение $d$:
$9 = \frac{n(n-3)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$18 = n(n-3)$
Раскроем скобки:
$18 = n^2 - 3n$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 - 3n - 18 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. Подберем корни: нам нужны два числа, произведение которых равно -18, а сумма равна 3. Это числа 6 и -3.
Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 6$ и $n_2 = -3$.
Поскольку число вершин многоугольника не может быть отрицательным, корень $n = -3$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственный подходящий ответ — $n = 6$. Это шестиугольник.
Проверим: $d = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Верно.

Ответ: 9 диагоналей у шестиугольника.