Номер 300, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

300. Назовите равные стороны и равные углы каждого многоугольника (рис. 5.25, 5.26). Скопируйте эти многоугольники в тетрадь.

Для рис. 5.25:

Равные стороны: $DE = EF = FH = HD$

Равные углы: $\angle D = \angle E = \angle F = \angle H = 90^\circ$

Для рис. 5.26:

Равные стороны: $KM = MN$, $NP = TK$

Равные углы: $\angle M = 90^\circ$, $\angle K = \angle N$, $\angle T = \angle P$

Левый многоугольник (четырехугольник DEHF)

Для нахождения равных сторон и углов четырехугольника DEHF, воспользуемся сеткой, на которой он изображен. Примем сторону одной клетки за 1 единицу.

Равные стороны:

Длину каждой стороны найдем по теореме Пифагора, рассматривая стороны как гипотенузы прямоугольных треугольников, катеты которых проходят по линиям сетки.

• Сторона DE является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Ее длина: $DE = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Сторона EF является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Ее длина: $EF = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Сторона FH является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3. Ее длина: $FH = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
• Сторона HD является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 3. Ее длина: $HD = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Сравнивая длины сторон, мы видим, что $DE = EF = \sqrt{8}$. Остальные стороны имеют другую длину.

Равные углы:

Чтобы определить углы, можно найти угловые коэффициенты (наклоны) сторон. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, равен отношению изменения координаты y к изменению координаты x.

• Наклон стороны DE равен $2/2 = 1$.
• Наклон стороны EF равен $-2/2 = -1$.
• Наклон стороны FH равен $3/3 = 1$.

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1.

• Для сторон DE и EF: $1 \cdot (-1) = -1$. Следовательно, эти стороны перпендикулярны, и $\angle E = 90^\circ$.
• Для сторон EF и FH: $(-1) \cdot 1 = -1$. Следовательно, эти стороны перпендикулярны, и $\angle F = 90^\circ$.

Таким образом, углы $\angle E$ и $\angle F$ равны.

Ответ: Равные стороны: $DE = EF$. Равные углы: $\angle E = \angle F$.

Правый многоугольник (пятиугольник KMNPT)

Пятиугольник KMNPT обладает осью симметрии. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину M и середину стороны TP. Наличие симметрии позволяет легко определить равные стороны и углы.

Равные стороны:

В силу симметрии относительно вертикальной оси, проходящей через M:

• Сторона MK является зеркальным отражением стороны MN, следовательно, их длины равны: $MK = MN$.
• Сторона KT является зеркальным отражением стороны NP, следовательно, их длины равны: $KT = NP$.

Проверим это вычислением, используя теорему Пифагора:

• $MK = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$.
• $MN = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$.
• $KT = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
• $NP = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.

Вычисления подтверждают, что $MK = MN$ и $KT = NP$.

Равные углы:

Из-за той же симметрии равны углы, расположенные симметрично относительно оси:

• Угол при вершине K ($\angle TKM$) симметричен углу при вершине N ($\angle MNP$), поэтому $\angle K = \angle N$.
• Угол при вершине T ($\angle KTP$) симметричен углу при вершине P ($\angle NPT$), поэтому $\angle T = \angle P$.

Угол M находится на оси симметрии и не имеет симметричной ему пары.

Ответ: Равные стороны: $MK = MN$, $KT = NP$. Равные углы: $\angle K = \angle N$, $\angle T = \angle P$.