Номер 296, страница 89 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

296 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с соседями стороны, можно построить?

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Полный угол вокруг одной точки составляет $360^\circ$. Если мы строим углы по $60^\circ$ с общей вершиной так, чтобы они примыкали друг к другу (имели общие стороны с соседями), то их общее количество будет равно полному углу, деленному на величину одного угла.
Вычислим максимальное количество таких углов: $N = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$.
Таким образом, можно построить 6 углов по $60^\circ$, которые полностью, без зазоров и наложений, заполнят пространство вокруг общей вершины.
Ответ: 6 углов.

2) Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Сумма всех углов вокруг одной точки всегда равна $360^\circ$. Пусть $n$ — это количество лучей, проведенных из точки, а следовательно, и количество углов между соседними лучами.
Если все $n$ углов тупые, то каждый из них больше $90^\circ$. Тогда их сумма будет больше, чем $n \cdot 90^\circ$.
Из этого следует, что $360^\circ$ (точная сумма) должна быть больше, чем $n \cdot 90^\circ$: $360^\circ > n \cdot 90^\circ$.
Разделив обе части неравенства на $90^\circ$, получим: $4 > n$.
Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, оно может быть равно 1, 2 или 3.
- При $n=1$ угол не образуется.
- При $n=2$ образуется два угла, сумма которых равна $360^\circ$. Если один угол будет тупым (например, $110^\circ$), то второй будет равен $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$, что является рефлексным углом (больше $180^\circ$), а не тупым.
- При $n=3$ можно образовать три угла, сумма которых равна $360^\circ$. Например, если взять три равных угла, то каждый из них будет равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, то все три угла являются тупыми.
Следовательно, для выполнения условия необходимо и достаточно провести 3 луча.
Ответ: Нужно отметить точку и провести из неё 3 луча. Например, можно провести их так, чтобы углы между соседними лучами были равны по $120^\circ$.

3) Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Пусть из одной точки проведено $n$ лучей, которые образуют $n$ углов между соседними лучами. Сумма этих углов равна $360^\circ$.
Если все $n$ углов острые, то каждый из них меньше $90^\circ$. Тогда их сумма будет меньше, чем $n \cdot 90^\circ$.
Следовательно, должно выполняться неравенство: $360^\circ < n \cdot 90^\circ$.
Разделив обе части на $90^\circ$, получим: $4 < n$.
Поскольку $n$ (число лучей) должно быть целым числом и быть строго больше 4, наименьшее возможное значение для $n$ — это 5.
Проверим, возможно ли это. Если провести 5 лучей, образовав 5 равных углов, то каждый угол будет равен $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.
Так как $0^\circ < 72^\circ < 90^\circ$, то угол $72^\circ$ является острым. Значит, можно провести 5 лучей так, чтобы все углы между ними были острыми.
Ответ: 5 лучей.