Страница 89 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

290 a) На рисунке 5.12 угол $BAC$ равен $28^\circ$, а угол $CAD$ равен $56^\circ$. Чему равен угол $BAD$?

б) Угол $BAC$ равен $136^\circ$ (рис. 5.13), а угол $BAD$ равен $56^\circ$. Чему равен угол $CAD$?

а)

На рисунке 5.12 луч AC делит угол BAD на два угла: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Чтобы найти величину угла BAD, необходимо сложить величины этих двух углов. Это следует из аксиомы об измерении углов.

Дано: $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle CAD = 56^\circ$.

Выполним сложение:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 28^\circ + 56^\circ = 84^\circ$.

Ответ: $84^\circ$.

б)

На рисунке 5.13 луч AD проходит внутри угла BAC, разделяя его на два угла: $\angle BAD$ и $\angle CAD$. Таким образом, величина угла BAC равна сумме величин углов BAD и CAD. Чтобы найти величину угла CAD, нужно из величины всего угла BAC вычесть величину его известной части, угла BAD.

Дано: $\angle BAC = 136^\circ$, $\angle BAD = 56^\circ$.

Выполним вычитание:
$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 136^\circ - 56^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.

291 а) Угол $68^\circ$ разделён биссектрисой на два угла. Найдите их величины.

б) Угол, который образует биссектриса с одной стороной данного угла, равен $16^\circ$. Чему равен данный угол?

а)

По определению, биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Данный в задаче угол равен $68°$. Чтобы найти величины углов, на которые его делит биссектриса, нужно разделить величину исходного угла на 2.

$68° \div 2 = 34°$

Следовательно, биссектриса разделила исходный угол на два угла, величина каждого из которых равна $34°$.

Ответ: $34°$ и $34°$.

б)

Угол, который образует биссектриса с одной из сторон данного угла, — это половина данного угла. По условию, величина этого угла составляет $16°$. Чтобы найти величину всего данного угла, нужно величину угла между биссектрисой и стороной умножить на 2.

$16° \times 2 = 32°$

Таким образом, данный угол равен $32°$.

Ответ: $32°$.

292 Угол $AOC$ равен $139^\circ$ (рис. 5.14). Найдите величину угла $COB$.

5.14

Углы $AOC$ и $COB$ являются смежными, так как они имеют общую вершину $O$, общую сторону $OC$, а две другие стороны ($OA$ и $OB$) лежат на одной прямой $AB$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем составить уравнение:
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

По условию задачи известно, что $\angle AOC = 139^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$139^\circ + \angle COB = 180^\circ$

Чтобы найти величину угла $COB$, вычтем $139^\circ$ из $180^\circ$:
$\angle COB = 180^\circ - 139^\circ$
$\angle COB = 41^\circ$

Ответ: $41^\circ$

293 На рисунке 5.15 угол $COD$ прямой, а $\angle AOC = \angle BOD$. Найдите величину угла $AOC$.

5.15

Угол $ \angle AOB $ является развернутым, так как точки A, O и B лежат на одной прямой. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Этот угол состоит из трех углов: $ \angle AOC $, $ \angle COD $ и $ \angle BOD $. Таким образом, их сумма равна $180^\circ$:
$ \angle AOC + \angle COD + \angle BOD = 180^\circ $

Согласно условию задачи, угол $ \angle COD $ — прямой, следовательно, его величина составляет $90^\circ$. Также дано, что $ \angle AOC = \angle BOD $.

Обозначим величину искомого угла $ \angle AOC $ через $x$. Тогда и $ \angle BOD = x $.

Подставим известные значения в уравнение:

$ x + 90^\circ + x = 180^\circ $

Теперь решим полученное уравнение:

$ 2x + 90^\circ = 180^\circ $

$ 2x = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2x = 90^\circ $

$ x = \frac{90^\circ}{2} $

$ x = 45^\circ $

Следовательно, величина угла $ \angle AOC $ равна $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

294 Угол $AOB$ равен $48^\circ$. Луч $OC$ – биссектриса угла $AOB$, луч $OM$ – биссектриса угла $AOC$. Найдите величину угла $AOM$.

Указание. Сделайте схематический рисунок.

B| /M 5.16

Для решения задачи воспользуемся определением биссектрисы угла. Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла.

1. Согласно условию, луч OC является биссектрисой угла AOB. Величина угла AOB равна $48^\circ$. Найдем величину угла AOC, разделив угол AOB на 2:
$\angle AOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$

2. Далее, по условию, луч OM является биссектрисой угла AOC. Следовательно, он делит угол AOC на два равных угла. Найдем искомый угол AOM, разделив угол AOC на 2:
$\angle AOM = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$

Ответ: $12^\circ$.

295 1) На рисунке 5.16 $\angle AOB = 90^\circ$. Лучи $OM$ и $OK$ — биссектрисы углов $\angle COB$ и $\angle COA$. Найдите угол $\angle MOK$.

2) Решите задачу при условии, что $\angle AOB = 40^\circ$.

5.16

По условию задачи, луч OM является биссектрисой угла COB, а луч OK — биссектрисой угла COA. Это означает, что они делят соответствующие углы пополам:

$∠MOC = \frac{1}{2} ∠COB$

$∠COK = \frac{1}{2} ∠COA$

Угол MOK состоит из двух углов: MOC и COK. Таким образом, его величина равна их сумме:

$∠MOK = ∠MOC + ∠COK$

Подставим в это равенство выражения для углов MOC и COK:

$∠MOK = \frac{1}{2} ∠COB + \frac{1}{2} ∠COA$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$∠MOK = \frac{1}{2} (∠COB + ∠COA)$

Так как луч OC проходит внутри угла AOB, то сумма углов COB и COA равна углу AOB:

$∠COB + ∠COA = ∠AOB$

Следовательно, мы можем записать:

$∠MOK = \frac{1}{2} ∠AOB$

По условию дано, что $∠AOB = 90°$. Найдем величину угла MOK:

$∠MOK = \frac{1}{2} \times 90° = 45°$

Ответ: $45°$

Решение аналогично пункту 1. Используем выведенную зависимость, согласно которой угол MOK равен половине угла AOB:

$∠MOK = \frac{1}{2} ∠AOB$

По условию для этого пункта $∠AOB = 40°$.

Подставим это значение в формулу:

$∠MOK = \frac{1}{2} \times 40° = 20°$

Ответ: $20°$

296 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с соседями стороны, можно построить?

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Полный угол вокруг одной точки составляет $360^\circ$. Если мы строим углы по $60^\circ$ с общей вершиной так, чтобы они примыкали друг к другу (имели общие стороны с соседями), то их общее количество будет равно полному углу, деленному на величину одного угла.
Вычислим максимальное количество таких углов: $N = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$.
Таким образом, можно построить 6 углов по $60^\circ$, которые полностью, без зазоров и наложений, заполнят пространство вокруг общей вершины.
Ответ: 6 углов.

2) Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Сумма всех углов вокруг одной точки всегда равна $360^\circ$. Пусть $n$ — это количество лучей, проведенных из точки, а следовательно, и количество углов между соседними лучами.
Если все $n$ углов тупые, то каждый из них больше $90^\circ$. Тогда их сумма будет больше, чем $n \cdot 90^\circ$.
Из этого следует, что $360^\circ$ (точная сумма) должна быть больше, чем $n \cdot 90^\circ$: $360^\circ > n \cdot 90^\circ$.
Разделив обе части неравенства на $90^\circ$, получим: $4 > n$.
Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, оно может быть равно 1, 2 или 3.
- При $n=1$ угол не образуется.
- При $n=2$ образуется два угла, сумма которых равна $360^\circ$. Если один угол будет тупым (например, $110^\circ$), то второй будет равен $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$, что является рефлексным углом (больше $180^\circ$), а не тупым.
- При $n=3$ можно образовать три угла, сумма которых равна $360^\circ$. Например, если взять три равных угла, то каждый из них будет равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, то все три угла являются тупыми.
Следовательно, для выполнения условия необходимо и достаточно провести 3 луча.
Ответ: Нужно отметить точку и провести из неё 3 луча. Например, можно провести их так, чтобы углы между соседними лучами были равны по $120^\circ$.

3) Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Пусть из одной точки проведено $n$ лучей, которые образуют $n$ углов между соседними лучами. Сумма этих углов равна $360^\circ$.
Если все $n$ углов острые, то каждый из них меньше $90^\circ$. Тогда их сумма будет меньше, чем $n \cdot 90^\circ$.
Следовательно, должно выполняться неравенство: $360^\circ < n \cdot 90^\circ$.
Разделив обе части на $90^\circ$, получим: $4 < n$.
Поскольку $n$ (число лучей) должно быть целым числом и быть строго больше 4, наименьшее возможное значение для $n$ — это 5.
Проверим, возможно ли это. Если провести 5 лучей, образовав 5 равных углов, то каждый угол будет равен $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.
Так как $0^\circ < 72^\circ < 90^\circ$, то угол $72^\circ$ является острым. Значит, можно провести 5 лучей так, чтобы все углы между ними были острыми.
Ответ: 5 лучей.