Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

297 Диагональ $AC$ разбивает пятиугольник $ABCKM$ на два многоугольника (рис. 5.22). Назовите их.

Исходная фигура — это пятиугольник, который обозначается перечислением его вершин по порядку. В данном случае это пятиугольник $ABCKM$. Диагональ $AC$ соединяет две несоседние вершины A и C.

При проведении диагонали $AC$ пятиугольник $ABCKM$ разделяется на две новые фигуры. Чтобы определить эти фигуры, нужно рассмотреть, какие вершины и стороны их образуют.

Первый многоугольник

Первый многоугольник образуется вершинами A, B, C. Его стороны — это отрезки $AB$, $BC$ (стороны исходного пятиугольника) и отрезок $AC$ (проведенная диагональ). Многоугольник с тремя вершинами и тремя сторонами является треугольником. Следовательно, первая фигура — это треугольник $ABC$.

Второй многоугольник

Второй многоугольник образуется вершинами A, C, K, M. Его стороны — это отрезки $CK$, $KM$, $MA$ (стороны исходного пятиугольника) и отрезок $AC$ (проведенная диагональ). Многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами является четырехугольником. Следовательно, вторая фигура — это четырехугольник $ACKM$.

Ответ: Треугольник $ABC$ и четырехугольник $ACKM$.

298 Назовите все вершины, все стороны и все углы четырёхугольника, изображённого на рисунке 5.23. Определите на глаз, есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол, какой из его углов острый, сколько у него тупых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла этого четырёхугольника.

Назовите все вершины, все стороны и все углы четырёхугольника, изображённого на рисунке 5.23.

У данного четырёхугольника BCDE:
- Вершины: B, C, D, E.
- Стороны: BC, CD, DE, EB.
- Углы: $\angle EBC$ (или $\angle B$), $\angle BCD$ (или $\angle C$), $\angle CDE$ (или $\angle D$), $\angle DEB$ (или $\angle E$).
Ответ: Вершины: B, C, D, E; стороны: BC, CD, DE, EB; углы: $\angle B, \angle C, \angle D, \angle E$.

Определите на глаз, есть ли в этом четырёхугольнике прямой угол, какой из его углов острый, сколько у него тупых углов.

При визуальной оценке углов четырёхугольника можно сделать следующие выводы:
- Прямой угол (равен $90^\circ$): В четырёхугольнике нет угла, который бы точно выглядел как прямой. Угол $\angle D$ наиболее близок к прямому.
- Острый угол (меньше $90^\circ$): Угол $\angle C$ является острым.
- Тупые углы (больше $90^\circ$): Углы $\angle B$ и $\angle E$ выглядят как тупые. Таким образом, у четырёхугольника два тупых угла.
Ответ: На глаз в четырёхугольнике нет прямого угла, один острый угол ($\angle C$) и два тупых угла ($\angle B$ и $\angle E$).

Измерьте и запишите величину каждого угла этого четырёхугольника.

Для определения точной величины углов необходимо воспользоваться транспортиром. Результаты измерений (могут незначительно отличаться в зависимости от точности):
- Величина угла $\angle B$ составляет примерно $115^\circ$.
- Величина угла $\angle C$ составляет примерно $65^\circ$.
- Величина угла $\angle D$ составляет примерно $87^\circ$.
- Величина угла $\angle E$ составляет примерно $93^\circ$.
Сумма углов четырёхугольника должна быть равна $360^\circ$. Проверим: $115^\circ + 65^\circ + 87^\circ + 93^\circ = 360^\circ$.
На основе измерений можно заключить, что в четырёхугольнике два острых угла ($\angle C$ и $\angle D$) и два тупых угла ($\angle B$ и $\angle E$).
Ответ: $\angle B \approx 115^\circ$; $\angle C \approx 65^\circ$; $\angle D \approx 87^\circ$; $\angle E \approx 93^\circ$.

299 Измерьте величину каждого угла треугольника ABC (рис. 5.24). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер. Есть ли в треугольнике прямой угол; острый угол; тупой угол?

5.25

5.24

Измерьте величину каждого угла треугольника АВС

Для решения задачи воспользуемся транспортиром, чтобы измерить углы треугольника $ABC$, изображенного на рисунке. Поочередно прикладывая транспортир к каждой из вершин, получаем следующие приблизительные значения углов:

Угол при вершине $A$ (обозначается как $\angle A$) равен $90^\circ$.

Угол при вершине $B$ ($\angle B$) приблизительно равен $55^\circ$.

Угол при вершине $C$ ($\angle C$) приблизительно равен $35^\circ$.

Чтобы убедиться в правильности измерений, проверим сумму углов треугольника, которая должна быть равна $180^\circ$:

$90^\circ + 55^\circ + 35^\circ = 180^\circ$.

Сумма углов верна, следовательно, измерения выполнены корректно.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B \approx 55^\circ$, $\angle C \approx 35^\circ$.

Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер

Сравним полученные градусные меры углов:

$35^\circ < 55^\circ < 90^\circ$

Этим градусным мерам соответствуют углы $\angle C$, $\angle B$ и $\angle A$.

Ответ: $\angle C, \angle B, \angle A$.

Есть ли в треугольнике прямой угол; острый угол; тупой угол?

Классифицируем углы треугольника на основе их величины:

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. В данном треугольнике есть такой угол: $\angle A = 90^\circ$.

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. В треугольнике $ABC$ есть два острых угла: $\angle B \approx 55^\circ$ и $\angle C \approx 35^\circ$.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. В данном треугольнике тупых углов нет.

Ответ: Да, в треугольнике есть один прямой угол ($\angle A$) и два острых угла ($\angle B$ и $\angle C$). Тупого угла в треугольнике нет.

300. Назовите равные стороны и равные углы каждого многоугольника (рис. 5.25, 5.26). Скопируйте эти многоугольники в тетрадь.

Для рис. 5.25:

Равные стороны: $DE = EF = FH = HD$

Равные углы: $\angle D = \angle E = \angle F = \angle H = 90^\circ$

Для рис. 5.26:

Равные стороны: $KM = MN$, $NP = TK$

Равные углы: $\angle M = 90^\circ$, $\angle K = \angle N$, $\angle T = \angle P$

Левый многоугольник (четырехугольник DEHF)

Для нахождения равных сторон и углов четырехугольника DEHF, воспользуемся сеткой, на которой он изображен. Примем сторону одной клетки за 1 единицу.

Равные стороны:

Длину каждой стороны найдем по теореме Пифагора, рассматривая стороны как гипотенузы прямоугольных треугольников, катеты которых проходят по линиям сетки.

• Сторона DE является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Ее длина: $DE = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Сторона EF является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Ее длина: $EF = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Сторона FH является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3. Ее длина: $FH = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
• Сторона HD является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 3. Ее длина: $HD = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Сравнивая длины сторон, мы видим, что $DE = EF = \sqrt{8}$. Остальные стороны имеют другую длину.

Равные углы:

Чтобы определить углы, можно найти угловые коэффициенты (наклоны) сторон. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, равен отношению изменения координаты y к изменению координаты x.

• Наклон стороны DE равен $2/2 = 1$.
• Наклон стороны EF равен $-2/2 = -1$.
• Наклон стороны FH равен $3/3 = 1$.

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1.

• Для сторон DE и EF: $1 \cdot (-1) = -1$. Следовательно, эти стороны перпендикулярны, и $\angle E = 90^\circ$.
• Для сторон EF и FH: $(-1) \cdot 1 = -1$. Следовательно, эти стороны перпендикулярны, и $\angle F = 90^\circ$.

Таким образом, углы $\angle E$ и $\angle F$ равны.

Ответ: Равные стороны: $DE = EF$. Равные углы: $\angle E = \angle F$.

Правый многоугольник (пятиугольник KMNPT)

Пятиугольник KMNPT обладает осью симметрии. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину M и середину стороны TP. Наличие симметрии позволяет легко определить равные стороны и углы.

Равные стороны:

В силу симметрии относительно вертикальной оси, проходящей через M:

• Сторона MK является зеркальным отражением стороны MN, следовательно, их длины равны: $MK = MN$.
• Сторона KT является зеркальным отражением стороны NP, следовательно, их длины равны: $KT = NP$.

Проверим это вычислением, используя теорему Пифагора:

• $MK = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$.
• $MN = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$.
• $KT = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
• $NP = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.

Вычисления подтверждают, что $MK = MN$ и $KT = NP$.

Равные углы:

Из-за той же симметрии равны углы, расположенные симметрично относительно оси:

• Угол при вершине K ($\angle TKM$) симметричен углу при вершине N ($\angle MNP$), поэтому $\angle K = \angle N$.
• Угол при вершине T ($\angle KTP$) симметричен углу при вершине P ($\angle NPT$), поэтому $\angle T = \angle P$.

Угол M находится на оси симметрии и не имеет симметричной ему пары.

Ответ: Равные стороны: $MK = MN$, $KT = NP$. Равные углы: $\angle K = \angle N$, $\angle T = \angle P$.

301 Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам.

Для выполнения задания сначала необходимо отметить три точки, не лежащие на одной прямой. Обозначим их $A$, $B$ и $C$.

Чтобы построить треугольник, вершинами которого служат точки $A$, $B$ и $C$, необходимо последовательно соединить эти точки отрезками. Проводим отрезки $AB$, $BC$ и $CA$. Получившаяся фигура — треугольник $\triangle ABC$. Его вершины по построению совпадают с заданными точками, что удовлетворяет первому условию задачи.

Ответ: Треугольник $\triangle ABC$, полученный путем соединения отрезками заданных точек $A$, $B$ и $C$.

Для построения второго треугольника, на сторонах которого будут лежать точки $A$, $B$ и $C$, можно выполнить следующие действия, отталкиваясь от уже имеющихся точек и треугольника $\triangle ABC$:

1. Через точку $A$ проведем прямую $l_A$, которая параллельна стороне $BC$ треугольника $\triangle ABC$.
2. Через точку $B$ проведем прямую $l_B$, которая параллельна стороне $AC$ треугольника $\triangle ABC$.
3. Через точку $C$ проведем прямую $l_C$, которая параллельна стороне $AB$ треугольника $\triangle ABC$.

Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, то стороны $\triangle ABC$ не параллельны. Следовательно, построенные прямые $l_A$, $l_B$ и $l_C$ также не будут параллельны друг другу и попарно пересекутся в трех разных точках. Обозначим эти точки пересечения как $P, Q, R$. Они станут вершинами нового треугольника.

• Вершина $P$ — это точка пересечения прямых $l_B$ и $l_C$.
• Вершина $Q$ — это точка пересечения прямых $l_C$ и $l_A$.
• Вершина $R$ — это точка пересечения прямых $l_A$ и $l_B$.

В получившемся треугольнике $\triangle PQR$:

• Сторона $QR$ лежит на прямой $l_A$. По построению прямая $l_A$ проходит через точку $A$, следовательно, точка $A$ принадлежит стороне $QR$.
• Сторона $PQ$ лежит на прямой $l_C$. По построению прямая $l_C$ проходит через точку $C$, следовательно, точка $C$ принадлежит стороне $PQ$.
• Сторона $RP$ лежит на прямой $l_B$. По построению прямая $l_B$ проходит через точку $B$, следовательно, точка $B$ принадлежит стороне $RP$.

Таким образом, треугольник $\triangle PQR$ является искомым, так как заданные точки $A, B, C$ лежат на его сторонах.

Ответ: Треугольник $\triangle PQR$, вершины которого являются точками пересечения прямых, проведенных через точки $A, B, C$ параллельно противолежащим им сторонам треугольника $\triangle ABC$.

302. Начертите четырёхугольник, у которого являются тупыми:

а) два соседних угла;

б) два противоположных угла.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить, что тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.

Соседние углы четырёхугольника — это углы, прилежащие к одной стороне. Нужно начертить четырёхугольник, в котором два угла, имеющие общую сторону, являются тупыми.

Таким свойством обладает, например, равнобедренная трапеция, у которой углы при меньшем основании являются тупыми.

Порядок построения:

1. Начертим отрезок AD, который будет большим основанием трапеции.
2. От концов отрезка A и D построим два равных острых угла, например, $\angle DAB = 70^\circ$ и $\angle CDA = 70^\circ$.
3. На сторонах этих углов отложим равные отрезки AB и DC. Они будут боковыми сторонами трапеции.
4. Соединим точки B и C. Отрезок BC будет меньшим основанием трапеции, параллельным AD.

В полученной равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD острые. Найдём величину углов при основании BC. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, то:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle CDA = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются соседними, так как прилежат к стороне BC. Оба этих угла тупые ($110^\circ > 90^\circ$).

Ответ: Можно начертить равнобедренную трапецию, у которой углы при меньшем основании тупые.

Противоположные углы четырёхугольника — это углы, вершины которых не являются соседними. В четырёхугольнике ABCD это пары углов ($\angle A$, $\angle C$) и ($\angle B$, $\angle D$).

Примером четырёхугольника, у которого два противоположных угла тупые, может служить любой параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Порядок построения:

1. Начертим два отрезка AB и AD, выходящие из одной точки A под любым острым или тупым углом (кроме $90^\circ$). Например, пусть $\angle DAB = 120^\circ$.
2. Через точку B проведём прямую, параллельную отрезку AD.
3. Через точку D проведём прямую, параллельную отрезку AB.
4. Точка пересечения этих прямых будет четвёртой вершиной C.

В полученном параллелограмме ABCD по свойствам параллелограмма противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$.

Мы задали тупой угол $\angle DAB = 120^\circ$. Противоположный ему угол $\angle BCD$ также будет равен $120^\circ$.

$\angle BCD = \angle DAB = 120^\circ$

Другая пара противоположных углов будет острой:

$\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Таким образом, в этом параллелограмме есть пара противоположных тупых углов: $\angle DAB$ и $\angle BCD$.

Ответ: Можно начертить параллелограмм (не прямоугольник) или дельтоид (кайт).

303 Начертите четырёхугольник с двумя прямыми углами. Могут ли два других его угла быть не прямыми?
Указание. Если вы считаете, что да, то начертите такой четырёхугольник.

Да, два других угла четырёхугольника с двумя прямыми углами могут быть не прямыми.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Пусть в четырёхугольнике два угла являются прямыми, то есть равны по $90^\circ$.

Сумма этих двух прямых углов составляет: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Следовательно, на сумму двух других углов остаётся:

$360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Пусть оставшиеся углы будут $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Для них выполняется равенство:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Чтобы эти углы были не прямыми, нужно, чтобы ни один из них не был равен $90^\circ$. Это возможно, если один из углов будет острым (меньше $90^\circ$), а другой, соответственно, тупым (больше $90^\circ$).

Например, если $\angle \alpha = 70^\circ$, то $\angle \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Примером такого четырёхугольника является прямоугольная трапеция, у которой только одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Ниже представлен чертёж такого четырёхугольника — прямоугольной трапеции $ABCD$, у которой углы $\angle A$ и $\angle D$ являются прямыми, а углы $\angle B$ и $\angle C$ — не прямые.

Ответ: Да, могут. Примером такого четырёхугольника является прямоугольная трапеция.

304 а) Треугольник $ABC$ можно также назвать треугольником $BAC$. Как ещё можно назвать этот треугольник? Сколько всего можно придумать обозначений этого треугольника?

б) Запишите все возможные обозначения четырёхугольника $ABCD$.

а) Треугольник определяется тремя его вершинами. Порядок перечисления вершин в названии не меняет саму геометрическую фигуру, но даёт разные формальные обозначения. Например, треугольник ABC и треугольник BAC — это один и тот же треугольник.

Чтобы найти общее количество возможных обозначений для треугольника с вершинами A, B и C, необходимо найти количество всех возможных перестановок этих трёх букв. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае у нас 3 вершины ($n=3$), поэтому общее количество обозначений равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим все эти обозначения: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Помимо уже упомянутых ABC и BAC, треугольник можно назвать ещё четырьмя способами: ACB, BCA, CAB, CBA.

Ответ: Этот треугольник можно также назвать ACB, BCA, CAB, CBA. Всего можно придумать 6 обозначений.

б) При обозначении четырёхугольника (и любого многоугольника с числом вершин больше трёх) важен порядок следования вершин. Вершины должны перечисляться последовательно, по контуру, то есть так, чтобы соседние буквы в названии обозначали соседние вершины.

Для четырёхугольника с вершинами A, B, C, D, расположенными последовательно по контуру, есть два основных способа обхода: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Кроме того, начать перечисление можно с любой из четырёх вершин.

1. Обход в одном направлении (например, против часовой стрелки), начиная с разных вершин: ABCD, BCDA, CDAB, DABC.

2. Обход в противоположном направлении (по часовой стрелке), начиная с разных вершин: ADCB, DCBA, CBAD, BADC.

Общее количество возможных обозначений равно произведению числа вершин на число направлений обхода: $4 \times 2 = 8$.

Ответ: Все возможные обозначения четырёхугольника ABCD: ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC.