Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

237 Разберите, как выполнено умножение числа 24 на 15:

$24 \cdot 15 = 24 \cdot (10 + 5) = 24 \cdot 10 + 24 \cdot 5 = 240 + 120 = 360.$

Из этого примера понятен приём умножения на 15: число нужно умножить на 10 и к результату прибавить половину получившегося произведения. Например: $120 \cdot 15 = 1200 + 600 = 1800.$

Пользуясь этим приёмом, найдите:

а) $180 \cdot 15;$

б) $33 \cdot 15;$ в) $840 \cdot 15;$

г) $61 \cdot 15.$

Для решения примеров воспользуемся приёмом, описанным в задании: чтобы умножить число на 15, нужно это число умножить на 10 и к результату прибавить половину получившегося произведения.

а) Найдём произведение $180 \cdot 15$.
1. Сначала умножим $180$ на $10$:
$180 \cdot 10 = 1800$
2. Теперь найдём половину от полученного произведения:
$1800 : 2 = 900$
3. Сложим два полученных результата:
$1800 + 900 = 2700$
Таким образом, $180 \cdot 15 = 2700$.
Ответ: 2700

б) Найдём произведение $33 \cdot 15$.
1. Умножим $33$ на $10$:
$33 \cdot 10 = 330$
2. Найдём половину от $330$:
$330 : 2 = 165$
3. Сложим результаты:
$330 + 165 = 495$
Таким образом, $33 \cdot 15 = 495$.
Ответ: 495

в) Найдём произведение $840 \cdot 15$.
1. Умножим $840$ на $10$:
$840 \cdot 10 = 8400$
2. Найдём половину от $8400$:
$8400 : 2 = 4200$
3. Сложим результаты:
$8400 + 4200 = 12600$
Таким образом, $840 \cdot 15 = 12600$.
Ответ: 12600

г) Найдём произведение $61 \cdot 15$.
1. Умножим $61$ на $10$:
$61 \cdot 10 = 610$
2. Найдём половину от $610$:
$610 : 2 = 305$
3. Сложим результаты:
$610 + 305 = 915$
Таким образом, $61 \cdot 15 = 915$.
Ответ: 915

238 Найдите лёгкий способ умножения на 101 и вычислите произведение:

а) $5 \cdot 101;$

б) $25 \cdot 101;$

в) $333 \cdot 101.$

Лёгкий способ умножения на 101 заключается в использовании распределительного свойства умножения. Число 101 можно представить в виде суммы $100 + 1$. Тогда умножение любого числа $a$ на 101 можно записать как:

$a \cdot 101 = a \cdot (100 + 1) = a \cdot 100 + a \cdot 1$

Таким образом, чтобы умножить число на 101, нужно сначала умножить это число на 100 (то есть приписать к нему справа два нуля), а затем к полученному результату прибавить само исходное число.

а) $5 \cdot 101 = 5 \cdot (100 + 1) = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 1 = 500 + 5 = 505$.

Ответ: 505.

б) $25 \cdot 101 = 25 \cdot (100 + 1) = 25 \cdot 100 + 25 \cdot 1 = 2500 + 25 = 2525$.

Ответ: 2525.

в) $333 \cdot 101 = 333 \cdot (100 + 1) = 333 \cdot 100 + 333 \cdot 1 = 33300 + 333 = 33633$.

Ответ: 33633.

239 Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, достаточно приписать к нему справа само это число. Объясните этот приём, опираясь на распределительное свойство.

Чтобы объяснить этот приём, обозначим произвольное трёхзначное число переменной $N$. Задача состоит в том, чтобы показать, почему произведение $N \cdot 1001$ равно числу, полученному путём приписывания к числу $N$ справа его же. Например, для числа 239: $239 \cdot 1001 = 239239$.

Объяснение основывается на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Представим число 1001 в виде суммы двух слагаемых: $1001 = 1000 + 1$.

Теперь мы можем переписать исходное произведение следующим образом: $N \cdot 1001 = N \cdot (1000 + 1)$.

Применим распределительное свойство, чтобы раскрыть скобки: $N \cdot (1000 + 1) = N \cdot 1000 + N \cdot 1 = N \cdot 1000 + N$.

Давайте разберём, что означает полученное выражение $N \cdot 1000 + N$.

• Первое слагаемое, $N \cdot 1000$, представляет собой исходное трёхзначное число $N$, к которому справа приписали три нуля. Например, если $N=239$, то $239 \cdot 1000 = 239000$.
• Второе слагаемое — это само число $N$.

Складывая эти два числа, мы получаем: $N \cdot 1000 + N$. На нашем примере: $239000 + 239 = 239239$.

Результат сложения — это шестизначное число, первые три цифры которого совпадают с цифрами числа $N$, и последние три цифры которого также совпадают с цифрами числа $N$. Это и есть результат приписывания числа $N$ к самому себе.

Таким образом, мы доказали, что данный приём является следствием разложения числа 1001 на сумму $1000 + 1$ и применения распределительного свойства умножения.

Ответ: Этот приём основан на распределительном свойстве умножения. Умножение трёхзначного числа $N$ на 1001 можно представить в виде $N \cdot (1000 + 1)$. Раскрыв скобки по распределительному свойству, получаем $N \cdot 1000 + N$. Это выражение соответствует приписыванию к числу $N$ трёх нулей и последующему сложению с самим числом $N$, что в итоге даёт число, образованное двукратной записью исходного числа $N$.

Решите задачи разными способами (№ 240–243):

240

Токарь за 1 ч делает 15 деталей, а его ученик — 11 деталей. Сколько деталей сделают они за 8 ч работы?

Способ 1

1. Сначала узнаем, сколько деталей изготовит токарь за 8 часов. Для этого умножим его часовую производительность на время работы:

$15 \times 8 = 120$ (деталей) – сделает токарь.

2. Затем узнаем, сколько деталей изготовит ученик за то же время:

$11 \times 8 = 88$ (деталей) – сделает ученик.

3. Теперь сложим количество деталей, изготовленных токарем и учеником, чтобы найти общее количество:

$120 + 88 = 208$ (деталей).

Ответ: 208 деталей.

Способ 2

1. Сначала найдем общую производительность токаря и ученика, то есть сколько деталей они делают вместе за 1 час:

$15 + 11 = 26$ (деталей) – делают вместе за 1 час.

2. Теперь умножим их совместную производительность на общее время работы, чтобы узнать, сколько деталей они сделают за 8 часов:

$26 \times 8 = 208$ (деталей).

Ответ: 208 деталей.

241 На одной копировальной машине можно распечатать 6 страниц в минуту, а на другой – 8 страниц. Сколько страниц можно распечатать за 20 мин, если обе машины будут работать одновременно?

Для того чтобы узнать, сколько страниц можно распечатать за 20 минут на двух машинах одновременно, необходимо сначала найти их общую производительность (скорость печати), а затем умножить её на время работы.

1. Вычислим общую скорость печати двух машин. Для этого сложим скорости каждой из них:

Первая машина печатает 6 страниц в минуту, вторая — 8 страниц в минуту. Их совместная скорость:

$6 \text{ страниц/мин} + 8 \text{ страниц/мин} = 14 \text{ страниц/мин}$

Таким образом, обе машины вместе печатают 14 страниц за одну минуту.

2. Теперь найдём общее количество страниц, которое они распечатают за 20 минут. Для этого умножим их общую скорость на указанное время:

$14 \text{ страниц/мин} \times 20 \text{ мин} = 280 \text{ страниц}$

Ответ: за 20 минут, если обе машины будут работать одновременно, можно распечатать 280 страниц.

242 В актовом зале стоят стулья, по 17 стульев в ряду. Первые 12 рядов составлены из красных стульев, а следующие 18 рядов — из синих стульев.

Сколько стульев в актовом зале?

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1:
Сначала найдём количество красных и синих стульев по отдельности, а затем сложим полученные значения.
1. Вычислим количество красных стульев. Для этого умножим количество рядов с красными стульями на количество стульев в одном ряду:
$12 \times 17 = 204$ (красных стула).
2. Вычислим количество синих стульев. Для этого умножим количество рядов с синими стульями на количество стульев в одном ряду:
$18 \times 17 = 306$ (синих стульев).
3. Сложим количество красных и синих стульев, чтобы найти общее количество стульев в зале:
$204 + 306 = 510$ (стульев).

Способ 2:
Сначала найдём общее количество рядов в зале, а затем умножим его на количество стульев в одном ряду.
1. Вычислим общее количество рядов, сложив количество рядов с красными стульями и количество рядов с синими стульями:
$12 + 18 = 30$ (рядов).
2. Умножим общее количество рядов на количество стульев в одном ряду, чтобы найти общее количество стульев в зале:
$30 \times 17 = 510$ (стульев).

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 510 стульев.

243 Лук посадили в 4 ряда, по 15 луковиц в каждом, а потом в каждый ряд посадили ещё по 12 луковиц. Сколько всего посадили луковиц?

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

Сначала вычислим, сколько луковиц было посажено в 4 ряда изначально. Затем вычислим, сколько луковиц было добавлено в эти 4 ряда. Наконец, сложим эти два значения, чтобы получить общее количество посаженных луковиц.

1. Найдем количество луковиц, посаженных вначале:
   $4 \text{ ряда} \times 15 \text{ луковиц/ряд} = 60 \text{ луковиц}$
2. Найдем количество луковиц, которые добавили позже:
   $4 \text{ ряда} \times 12 \text{ луковиц/ряд} = 48 \text{ луковиц}$
3. Найдем общее количество посаженных луковиц:
   $60 + 48 = 108 \text{ луковиц}$

Ответ: 108 луковиц.

Способ 2

Сначала вычислим, сколько всего луковиц стало в одном ряду после того, как к ним добавили еще. Затем умножим это количество на общее число рядов.

1. Найдем общее количество луковиц в одном ряду:
   $15 \text{ луковиц} + 12 \text{ луковиц} = 27 \text{ луковиц}$
2. Найдем общее количество посаженных луковиц во всех рядах:
   $27 \text{ луковиц/ряд} \times 4 \text{ ряда} = 108 \text{ луковиц}$

Оба способа можно представить в виде одного выражения, используя распределительный закон умножения: $4 \times (15 + 12) = 4 \times 15 + 4 \times 12 = 108$.

Ответ: 108 луковиц.

Решите задачи (№ 244-246):

244 На двух копировальных машинах за 15 мин распечатали 180 страниц. Первая машина печатает 6 страниц в минуту. Сколько страниц в минуту печатает вторая машина?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем общую производительность двух копировальных машин, то есть сколько страниц они печатают вместе за одну минуту. Для этого разделим общее количество распечатанных страниц на затраченное время.

$180 \text{ страниц} \div 15 \text{ мин} = 12 \text{ страниц/мин}$

Таким образом, две машины вместе печатают 12 страниц в минуту.

2. Теперь, чтобы найти производительность второй машины, нужно из общей производительности вычесть производительность первой машины, которая известна по условию.

$12 \text{ страниц/мин} - 6 \text{ страниц/мин} = 6 \text{ страниц/мин}$

Ответ: вторая машина печатает 6 страниц в минуту.

245 В зале кинотеатра 500 кресел, которые расставлены одинаковыми рядами, по 25 кресел в каждом. В партере 12 рядов. Сколько рядов в амфитеатре?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем общее количество рядов в кинотеатре.

В зале всего 500 кресел, которые расставлены в ряды по 25 кресел в каждом. Чтобы найти общее количество рядов, нужно общее количество кресел разделить на количество кресел в одном ряду.

$500 \div 25 = 20$ (рядов)

Таким образом, всего в кинотеатре 20 рядов.

2. Найдем количество рядов в амфитеатре.

Все ряды в зале делятся на партер и амфитеатр. Известно, что в партере 12 рядов. Чтобы найти, сколько рядов в амфитеатре, нужно из общего числа рядов вычесть количество рядов в партере.

$20 - 12 = 8$ (рядов)

Ответ: в амфитеатре 8 рядов.

246 Два мастера работают на фабрике ёлочных игрушек. Оба за час расписывают одно и то же количество шаров. Первый мастер работал 5 дней, по 8 ч в день, а второй — 4 дня, по 6 ч в день. Вместе они расписали 1280 ёлочных шаров. Сколько шаров расписал каждый?

Для решения задачи необходимо сначала найти общую производительность мастеров, то есть сколько шаров расписывает один мастер за час. По условию, она у них одинаковая.

1. Найдем общее количество часов, отработанных первым мастером:
$5 \text{ дней} \times 8 \text{ часов/день} = 40 \text{ часов}$

2. Найдем общее количество часов, отработанных вторым мастером:
$4 \text{ дня} \times 6 \text{ часов/день} = 24 \text{ часа}$

3. Найдем общее время работы обоих мастеров:
$40 \text{ часов} + 24 \text{ часа} = 64 \text{ часа}$

4. Найдем производительность одного мастера (количество шаров в час), разделив общее количество расписанных шаров на общее время работы:
$1280 \text{ шаров} \div 64 \text{ часа} = 20 \text{ шаров/час}$

Теперь, зная производительность, мы можем рассчитать, сколько шаров расписал каждый мастер.