Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

223 Вычислите:

а) $3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7;$

б) $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4;$

в) $7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5;$

г) $2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4;$

д) $8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25;$

е) $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6.$

а) $3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7$

Для удобства вычислений сгруппируем множители. Используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы поставить рядом 5 и 2, так как их произведение равно 10:

$3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 = 3 \cdot (5 \cdot 2) \cdot 7$

Выполним умножение в скобках:

$5 \cdot 2 = 10$

Теперь выражение выглядит так:

$3 \cdot 10 \cdot 7$

Далее последовательно умножаем:

$3 \cdot 10 = 30$

$30 \cdot 7 = 210$

Ответ: 210

б) $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4$

Сгруппируем множители так, чтобы получить "круглые" числа. Например, можно умножить 5 на 4, а затем результат на вторую 5:

$5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 = (5 \cdot 4 \cdot 5) \cdot 6$

Выполним вычисления в скобках по порядку:

$5 \cdot 4 = 20$

$20 \cdot 5 = 100$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$100 \cdot 6 = 600$

Ответ: 600

в) $7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

Сгруппируем пары множителей 2 и 5, так как их произведение равно 10. В данном выражении есть две такие пары:

$7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$

Выполним умножение в каждой паре скобок:

$2 \cdot 5 = 10$

Подставим результат в выражение:

$7 \cdot 10 \cdot 10 = 7 \cdot 100 = 700$

Ответ: 700

г) $2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4$

Перегруппируем множители для упрощения вычислений. Удобно сгруппировать множители так, чтобы получить числа, оканчивающиеся на ноль:

$2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 4) \cdot 9$

Вычислим произведения в скобках:

$2 \cdot 5 = 10$

$5 \cdot 4 = 20$

Теперь выражение имеет вид:

$10 \cdot 20 \cdot 9$

Выполним оставшиеся умножения:

$10 \cdot 20 = 200$

$200 \cdot 9 = 1800$

Ответ: 1800

д) $8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25$

Здесь удобно сгруппировать множители, произведения которых являются круглыми числами (степенями 10). Это пары 8 и 125, а также 4 и 25.

$8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25 = (8 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 25)$

Вычислим произведения в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

$4 \cdot 25 = 100$

Теперь перемножим полученные результаты:

$1000 \cdot 100 = 100000$

Ответ: 100000

е) $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6$

Сначала посчитаем количество множителей 5 и 2. В выражении четыре множителя 5 и четыре множителя 2. Сгруппируем их в четыре пары $(5 \cdot 2)$:

$5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6 = (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 6$

Произведение каждой такой пары равно 10:

$5 \cdot 2 = 10$

Подставим это значение в выражение:

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 6$

Перемножим десятки:

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Теперь умножим результат на 6:

$10000 \cdot 6 = 60000$

Ответ: 60000

224 Известно, что $x \cdot y = 12$. Чему равно значение выражения:

а) $x \cdot (y \cdot 5)$;

б) $(x \cdot 2) \cdot y$;

в) $y \cdot (x \cdot 10)$;

г) $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)$?

Образец. $x \cdot (y \cdot 7) = (x \cdot y) \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84.$

По условию задачи дано, что произведение $x \cdot y = 12$. Для решения всех пунктов будем использовать сочетательное свойство умножения: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ и переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$. Эти свойства позволяют нам переставлять и группировать множители в любом удобном порядке.

а) Чтобы найти значение выражения $x \cdot (y \cdot 5)$, сгруппируем множители $x$ и $y$:
$x \cdot (y \cdot 5) = (x \cdot y) \cdot 5$.
Теперь подставим известное значение $x \cdot y = 12$:
$12 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60

б) В выражении $(x \cdot 2) \cdot y$ перегруппируем множители так, чтобы $x$ и $y$ оказались рядом:
$(x \cdot 2) \cdot y = (x \cdot y) \cdot 2$.
Подставим значение $x \cdot y = 12$:
$12 \cdot 2 = 24$.
Ответ: 24

в) Для выражения $y \cdot (x \cdot 10)$ используем те же свойства. Сгруппируем переменные:
$y \cdot (x \cdot 10) = (y \cdot x) \cdot 10$.
Поскольку $y \cdot x = x \cdot y = 12$, получаем:
$12 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120

г) В выражении $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)$ мы можем перегруппировать все четыре множителя. Сгруппируем переменные вместе и числа вместе:
$(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3) = (y \cdot x) \cdot (2 \cdot 3)$.
Подставим известные значения $y \cdot x = 12$ и вычислим произведение $2 \cdot 3 = 6$. Тогда:
$12 \cdot 6 = 72$.
Ответ: 72

225 Вычислите произведение удобным способом:

a) $36 \cdot 25;$

б) $25 \cdot 12;$

в) $75 \cdot 24;$

г) $150 \cdot 42.$

Образец,

1) $25 \cdot 24 = 25 \cdot (4 \cdot 6) = (25 \cdot 4) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600.$

2) $75 \cdot 8 = (25 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) = (25 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 3) = 100 \cdot 6 = 600.$

а) $36 \cdot 25$

Чтобы упростить вычисление, представим число 36 в виде произведения $9 \cdot 4$. Это позволит нам использовать тот факт, что $4 \cdot 25 = 100$.

$36 \cdot 25 = (9 \cdot 4) \cdot 25$

Используя сочетательное свойство умножения, перегруппируем множители:

$9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$

Ответ: 900

б) $25 \cdot 12$

Представим число 12 в виде произведения $3 \cdot 4$, чтобы использовать удобное умножение $25 \cdot 4 = 100$.

$25 \cdot 12 = 25 \cdot (3 \cdot 4)$

Сгруппируем множители по сочетательному свойству:

$(25 \cdot 4) \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300$

Ответ: 300

в) $75 \cdot 24$

Разложим оба числа на удобные множители. Число 75 можно представить как $3 \cdot 25$, а число 24 как $4 \cdot 6$. Это позволит нам сгруппировать 25 и 4.

$75 \cdot 24 = (3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 6)$

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, перегруппируем множители:

$(25 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 6) = 100 \cdot 18 = 1800$

Ответ: 1800

г) $150 \cdot 42$

Для удобства вычислений разложим множители так, чтобы получить круглое число. Число 150 можно представить как $3 \cdot 50$, а число 42 как $2 \cdot 21$. Это позволит нам сгруппировать 50 и 2.

$150 \cdot 42 = (3 \cdot 50) \cdot (2 \cdot 21)$

Перегруппируем множители, используя свойства умножения:

$(50 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 21) = 100 \cdot 63 = 6300$

Ответ: 6300

226 Вычислите произведение:

а) $75 \cdot 14 \cdot 18;$

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35.$

Подсказка. В качестве образца используйте пример 3 (с. 69).

а) Для удобства вычислений воспользуемся свойствами умножения и сгруппируем множители. Сначала разложим некоторые из них на более простые:
$75 = 3 \cdot 25$
$14 = 2 \cdot 7$
$18 = 2 \cdot 9$
Получаем произведение: $75 \cdot 14 \cdot 18 = (3 \cdot 25) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9)$.
Теперь сгруппируем множители так, чтобы получить "круглое" число. Заметим, что $25 \cdot 2 \cdot 2 = 25 \cdot 4 = 100$.
$(25 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 9) = 100 \cdot (21 \cdot 9) = 100 \cdot 189 = 18900$.
Ответ: $18900$.

б) Сгруппируем множители так, чтобы вычисления были проще. Удобно находить пары чисел, которые в произведении дают круглые числа (например, оканчивающиеся на 0).
$16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35 = (16 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 35)$.
Вычислим произведение в первой группе. Для этого можно представить $16$ как $2 \cdot 8$, так как $8 \cdot 125 = 1000$:
$16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$.
Вычислим произведение во второй группе:
$4 \cdot 35 = 140$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$2000 \cdot 140 = 280000$.
Ответ: $280000$.

227 При вычислении произведений помогает знание некоторых результатов. Например, иногда полезно знать, что $37 \cdot 3 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.

Пользуясь этими равенствами, вычислите:

а) $37 \cdot 15;$

б) $74 \cdot 15;$

в) $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37.$

Для решения данной задачи воспользуемся предоставленными равенствами: $37 \cdot 3 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.

Чтобы вычислить произведение $37 \cdot 15$, представим число 15 в виде произведения $3 \cdot 5$. Это позволит нам использовать известное равенство.

$37 \cdot 15 = 37 \cdot (3 \cdot 5)$

Используя сочетательное свойство умножения, мы можем сгруппировать множители следующим образом:

$(37 \cdot 3) \cdot 5$

Теперь подставим известное значение $37 \cdot 3 = 111$:

$111 \cdot 5 = 555$

Ответ: 555.

Чтобы вычислить произведение $74 \cdot 15$, представим число 74 как $2 \cdot 37$, а число 15 как $3 \cdot 5$.

$74 \cdot 15 = (2 \cdot 37) \cdot (3 \cdot 5)$

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем множители так, чтобы можно было применить известное равенство:

$2 \cdot (37 \cdot 3) \cdot 5$

Подставляем значение $37 \cdot 3 = 111$:

$2 \cdot 111 \cdot 5$

Теперь сгруппируем оставшиеся множители для удобства вычисления:

$(2 \cdot 5) \cdot 111 = 10 \cdot 111 = 1110$

Ответ: 1110.

Чтобы вычислить произведение $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$, воспользуемся обоими известными равенствами.

Сгруппируем множители в соответствии с этими равенствами:

$(3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$

Теперь подставим известные значения произведений:

$(3 \cdot 37) = 111$

$(7 \cdot 11 \cdot 13) = 1001$

Получаем произведение:

$111 \cdot 1001$

Для вычисления этого произведения можно представить 1001 как сумму $1000 + 1$ и использовать распределительное свойство умножения:

$111 \cdot (1000 + 1) = 111 \cdot 1000 + 111 \cdot 1 = 111000 + 111 = 111111$

Ответ: 111111.

228 1) Вычислим значение степени $120^2$, воспользовавшись сочетательным свойством умножения:

$120^2 = (12 \cdot 10)^2 = (12 \cdot 10) \cdot (12 \cdot 10) = (12 \cdot 12) \cdot (10 \cdot 10) = 12^2 \cdot 100 = 14400$.

Так как $120^2 = 12^2 \cdot 100 = 14400$, то найти значение степени $120^2$ можно так: возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля.

С помощью такого приёма вычислите:

а) $80^2$;

б) $110^2$;

в) $170^2$;

г) $250^2$. (Используйте таблицу квадратов.)

2) Найдите самый короткий способ нахождения значения степени $600^2$.

Вычислите, воспользовавшись найденным приёмом:

а) $1200^2$;

б) $1500^2$.

1) Для вычисления квадрата числа, которое оканчивается на нули, используется следующий приём: нужно возвести в квадрат число без конечных нулей, а затем к полученному результату приписать удвоенное количество этих нулей. Это правило следует из свойства степени произведения: $(a \cdot 10^k)^2 = a^2 \cdot (10^k)^2 = a^2 \cdot 10^{2k}$.

а) Для вычисления $80^2$ возводим в квадрат 8 и приписываем $1 \cdot 2 = 2$ нуля.
$8^2 = 64$. Приписываем два нуля и получаем 6400.
$80^2 = (8 \cdot 10)^2 = 8^2 \cdot 10^2 = 64 \cdot 100 = 6400$.
Ответ: 6400.

б) Для вычисления $110^2$ возводим в квадрат 11 и приписываем два нуля.
$11^2 = 121$. Приписываем два нуля и получаем 12100.
$110^2 = (11 \cdot 10)^2 = 11^2 \cdot 10^2 = 121 \cdot 100 = 12100$.
Ответ: 12100.

в) Для вычисления $170^2$ возводим в квадрат 17 и приписываем два нуля.
$17^2 = 289$. Приписываем два нуля и получаем 28900.
$170^2 = (17 \cdot 10)^2 = 17^2 \cdot 10^2 = 289 \cdot 100 = 28900$.
Ответ: 28900.

г) Для вычисления $250^2$ возводим в квадрат 25 и приписываем два нуля.
$25^2 = 625$. Приписываем два нуля и получаем 62500.
$250^2 = (25 \cdot 10)^2 = 25^2 \cdot 10^2 = 625 \cdot 100 = 62500$.
Ответ: 62500.

2) Самый короткий способ нахождения значения степени $600^2$ заключается в том, чтобы возвести в квадрат значащую часть числа (6) и к результату приписать удвоенное количество нулей. В числе 600 два нуля, значит, нужно приписать четыре нуля.
$6^2 = 36$. Приписываем четыре нуля и получаем 360000.
Формально: $600^2 = (6 \cdot 100)^2 = 6^2 \cdot 100^2 = 36 \cdot 10000 = 360000$.

Вычислим, воспользовавшись найденным приёмом:

а) Для вычисления $1200^2$ возводим в квадрат 12 и приписываем $2 \cdot 2 = 4$ нуля.
$12^2 = 144$. Приписываем четыре нуля и получаем 1440000.
$1200^2 = (12 \cdot 100)^2 = 12^2 \cdot 100^2 = 144 \cdot 10000 = 1440000$.
Ответ: 1440000.

б) Для вычисления $1500^2$ возводим в квадрат 15 и приписываем четыре нуля.
$15^2 = 225$. Приписываем четыре нуля и получаем 2250000.
$1500^2 = (15 \cdot 100)^2 = 15^2 \cdot 100^2 = 225 \cdot 10000 = 2250000$.
Ответ: 2250000.

229 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

1)

Сначала проверим предложенные равенства, выполнив вычисления:

• Для первого равенства: $1 + 3 = 4$. Правая часть: $2^2 = 4$. Так как $4 = 4$, равенство $1 + 3 = 2^2$ верно.

• Для второго равенства: $1 + 3 + 5 = 9$. Правая часть: $3^2 = 9$. Так как $9 = 9$, равенство $1 + 3 + 5 = 3^2$ верно.

• Для третьего равенства: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Правая часть: $4^2 = 16$. Так как $16 = 16$, равенство $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$ верно.

Анализируя эти равенства, можно заметить закономерность:

• Сумма двух первых нечётных чисел ($1, 3$) равна $2^2$.

• Сумма трёх первых нечётных чисел ($1, 3, 5$) равна $3^2$.

• Сумма четырёх первых нечётных чисел ($1, 3, 5, 7$) равна $4^2$.

Приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел, начиная с 1, состоит в том, что сумма $n$ первых нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Следующее равенство в этой последовательности будет для суммы пяти первых нечётных чисел. Пятое нечётное число после 1, 3, 5, 7 — это 9. Запишем равенство, следуя обнаруженному приёму:

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$

Теперь проверим его с помощью вычислений:

Вычислим сумму в левой части: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 4 + 5 + 7 + 9 = 9 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$.

Вычислим правую часть: $5^2 = 25$.

Поскольку $25 = 25$, равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма $n$ первых последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, равна квадрату их количества ($n^2$). Следующее равенство в последовательности: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

Для нахождения суммы первых десяти нечётных чисел мы используем установленный приём. Здесь количество слагаемых $n = 10$.

Сумма равна $n^2$, то есть $10^2$.

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

Сначала необходимо определить, сколько нечётных чисел находится в диапазоне от 1 до 99 включительно. Последовательность нечётных чисел (1, 3, 5, ...) является арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $a_n = 99$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$98 = (n-1) \cdot 2$

Разделим обе части на 2:

$49 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 49 + 1 = 50$

Таким образом, от 1 до 99 содержится 50 нечётных чисел. Теперь, используя наш приём, найдём их сумму. Так как $n = 50$, сумма равна $n^2$.

Сумма = $50^2 = 2500$.

Ответ: 2500.