Номер 229, страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

229 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

1)

Сначала проверим предложенные равенства, выполнив вычисления:

• Для первого равенства: $1 + 3 = 4$. Правая часть: $2^2 = 4$. Так как $4 = 4$, равенство $1 + 3 = 2^2$ верно.

• Для второго равенства: $1 + 3 + 5 = 9$. Правая часть: $3^2 = 9$. Так как $9 = 9$, равенство $1 + 3 + 5 = 3^2$ верно.

• Для третьего равенства: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Правая часть: $4^2 = 16$. Так как $16 = 16$, равенство $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$ верно.

Анализируя эти равенства, можно заметить закономерность:

• Сумма двух первых нечётных чисел ($1, 3$) равна $2^2$.

• Сумма трёх первых нечётных чисел ($1, 3, 5$) равна $3^2$.

• Сумма четырёх первых нечётных чисел ($1, 3, 5, 7$) равна $4^2$.

Приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел, начиная с 1, состоит в том, что сумма $n$ первых нечётных чисел равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Следующее равенство в этой последовательности будет для суммы пяти первых нечётных чисел. Пятое нечётное число после 1, 3, 5, 7 — это 9. Запишем равенство, следуя обнаруженному приёму:

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$

Теперь проверим его с помощью вычислений:

Вычислим сумму в левой части: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 4 + 5 + 7 + 9 = 9 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$.

Вычислим правую часть: $5^2 = 25$.

Поскольку $25 = 25$, равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма $n$ первых последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, равна квадрату их количества ($n^2$). Следующее равенство в последовательности: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) сумму первых десяти нечётных чисел;

Для нахождения суммы первых десяти нечётных чисел мы используем установленный приём. Здесь количество слагаемых $n = 10$.

Сумма равна $n^2$, то есть $10^2$.

$10^2 = 100$

Ответ: 100.

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

Сначала необходимо определить, сколько нечётных чисел находится в диапазоне от 1 до 99 включительно. Последовательность нечётных чисел (1, 3, 5, ...) является арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$. Нам нужно найти номер $n$ для члена прогрессии $a_n = 99$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

Вычтем 1 из обеих частей:

$98 = (n-1) \cdot 2$

Разделим обе части на 2:

$49 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 49 + 1 = 50$

Таким образом, от 1 до 99 содержится 50 нечётных чисел. Теперь, используя наш приём, найдём их сумму. Так как $n = 50$, сумма равна $n^2$.

Сумма = $50^2 = 2500$.

Ответ: 2500.