Страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

209 a) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течёт река?

б) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река отнесёт плот за 1 ч; за 5 ч?

а)

Чтобы определить направление течения реки, нужно сравнить время, затраченное теплоходом на путь из пункта А в пункт В и на обратный путь.

Время в пути из А в В: $t_1 = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$.
Время на обратный путь из В в А: $t_2 = 2 \text{ часа}$.

Когда теплоход плывёт по течению, течение помогает ему, и его скорость увеличивается. Следовательно, время в пути сокращается. Когда теплоход плывёт против течения, течение замедляет его, и время в пути увеличивается.

Сравним время: $1 \text{ час } 40 \text{ минут} < 2 \text{ часа}$.
Поскольку на путь из А в В теплоход затратил меньше времени, чем на путь из В в А, это означает, что из А в В он двигался по течению реки.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

б)

Плот не имеет собственной скорости, поэтому он движется со скоростью течения реки. Скорость течения реки дана и равна $v_{теч} = 2 \text{ км/ч}$.

Расстояние $S$ вычисляется по формуле $S = v \times t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Найдём, на сколько километров река отнесёт плот за 1 час:
$S_1 = 2 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.

2. Найдём, на сколько километров река отнесёт плот за 5 часов:
$S_2 = 2 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Ответ: За 1 час река отнесёт плот на 2 км, а за 5 часов — на 10 км.

210 Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч.

1) С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки; против течения реки?

2) Какой путь пройдёт катер по течению реки за 2 ч; против течения реки за 3 ч?

3) Сколько времени затратит катер, чтобы пройти 80 км по течению реки; против течения реки?

1) Чтобы найти скорость катера по течению реки, нужно сложить его собственную скорость и скорость течения. Чтобы найти скорость против течения, нужно из собственной скорости вычесть скорость течения.

Скорость по течению: $18 + 2 = 20$ км/ч.

Скорость против течения: $18 - 2 = 16$ км/ч.

Ответ: Скорость катера по течению реки — 20 км/ч; скорость против течения — 16 км/ч.

2) Чтобы найти путь, нужно скорость умножить на время. Сначала найдём путь, который катер пройдёт по течению за 2 часа, а затем — путь против течения за 3 часа.

Путь по течению: $20 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 40$ км.

Путь против течения: $16 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 48$ км.

Ответ: По течению реки катер пройдёт 40 км за 2 ч; против течения — 48 км за 3 ч.

3) Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Сначала найдём время, которое катер затратит на 80 км по течению, а затем — на 80 км против течения.

Время по течению: $80 \text{ км} / 20 \text{ км/ч} = 4$ ч.

Время против течения: $80 \text{ км} / 16 \text{ км/ч} = 5$ ч.

Ответ: Чтобы пройти 80 км по течению, катер затратит 4 часа; чтобы пройти 80 км против течения — 5 часов.

211 Катер, имеющий собственную скорость $15 \text{ км/ч}$, проплыл $2 \text{ ч}$ по течению реки и $3 \text{ ч}$ против течения. Какое расстояние проплыл катер за это время, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи необходимо найти расстояние, пройденное катером по течению реки и против течения, а затем сложить их, чтобы найти общее расстояние.

1. Сначала найдём скорость катера по течению. Она равна сумме собственной скорости катера и скорости течения:

$15 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 17 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем расстояние, которое катер прошёл по течению за 2 часа:

$17 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 34 \text{ км}$

2. Далее найдём скорость катера против течения. Она равна разности собственной скорости катера и скорости течения:

$15 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем расстояние, которое катер прошёл против течения за 3 часа:

$13 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 39 \text{ км}$

3. Наконец, сложим оба расстояния, чтобы найти общий путь, пройденный катером:

$34 \text{ км} + 39 \text{ км} = 73 \text{ км}$

Ответ: 73 км.

212 а) Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Какой путь занял у него больше времени и на сколько, если собственная скорость катера 21 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

а)

Для решения задачи необходимо найти время движения лодки по течению и против течения, а затем сложить эти значения.

1. Сначала найдем скорость моторной лодки по течению реки. Она равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:

$V_{по~течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 10~км/ч + 2~км/ч = 12~км/ч$

2. Теперь найдем время, которое лодка потратит на путь по течению, разделив расстояние на скорость по течению:

$t_{по~течению} = \frac{S}{V_{по~течению}} = \frac{24~км}{12~км/ч} = 2~часа$

3. Далее найдем скорость моторной лодки против течения реки. Она равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$V_{против~течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 10~км/ч - 2~км/ч = 8~км/ч$

4. Найдем время, которое лодка потратит на обратный путь против течения:

$t_{против~течения} = \frac{S}{V_{против~течения}} = \frac{24~км}{8~км/ч} = 3~часа$

5. Чтобы найти общее время в пути, сложим время движения по течению и против течения:

$t_{общее} = t_{по~течению} + t_{против~течения} = 2~ч + 3~ч = 5~часов$

Ответ: 5 часов.

б)

Чтобы ответить на вопрос, нужно найти время движения катера в каждом направлении и сравнить их.

1. Найдем скорость катера по течению реки:

$V_{по~течению} = 21~км/ч + 3~км/ч = 24~км/ч$

2. Рассчитаем время, затраченное на путь по течению:

$t_{по~течению} = \frac{72~км}{24~км/ч} = 3~часа$

3. Найдем скорость катера против течения реки:

$V_{против~течения} = 21~км/ч - 3~км/ч = 18~км/ч$

4. Рассчитаем время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{против~течения} = \frac{72~км}{18~км/ч} = 4~часа$

5. Сравним полученное время: $4~часа > 3~часа$. Следовательно, путь против течения занял больше времени.

6. Найдем разницу во времени, вычтя из большего значения меньшее:

$4~ч - 3~ч = 1~час$

Ответ: путь против течения занял на 1 час больше времени.

213 Туристы отправились на прогулку на катере. Они проплыли 36 км по течению реки, сделали привал на 3 ч и затем вернулись обратно. Сколько времени заняла вся прогулка, если собственная скорость катера 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

Чтобы найти общее время, которое заняла вся прогулка, нужно сложить время движения катера по течению реки, время привала и время движения катера против течения реки.

1. Сначала определим скорость катера по течению реки. Она равна сумме собственной скорости катера и скорости течения реки:

$V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 15\;км/ч + 3\;км/ч = 18\;км/ч$

2. Теперь вычислим время, затраченное на путь по течению. Для этого разделим расстояние на скорость по течению:

$t_{по\;течению} = S / V_{по\;течению} = 36\;км / 18\;км/ч = 2\;ч$

3. Затем определим скорость катера против течения реки. Она равна разности собственной скорости катера и скорости течения реки:

$V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 15\;км/ч - 3\;км/ч = 12\;км/ч$

4. Вычислим время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{против\;течения} = S / V_{против\;течения} = 36\;км / 12\;км/ч = 3\;ч$

5. Теперь найдем общее время прогулки, сложив время движения в обе стороны и время привала:

$t_{общ} = t_{по\;течению} + t_{привал} + t_{против\;течения} = 2\;ч + 3\;ч + 3\;ч = 8\;ч$

Ответ: вся прогулка заняла 8 часов.

214 1) Скорость катера по течению реки $22 \text{ км/ч}$, а против течения $18 \text{ км/ч}$. Найдите:

а) скорость течения реки;

б) собственную скорость катера.

2) По течению реки моторная лодка проплыла $48 \text{ км}$ за $3 \text{ ч}$, а против течения — за $4 \text{ ч}$. Найдите скорость течения реки.

1)

Пусть $v_{с}$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_{т}$ — скорость течения реки.

Скорость по течению реки ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости катера и скорости течения: $v_{по} = v_{с} + v_{т}$.

Скорость против течения реки ($v_{пр}$) равна разности собственной скорости катера и скорости течения: $v_{пр} = v_{с} - v_{т}$.

Согласно условию, имеем систему уравнений:

1) $v_{с} + v_{т} = 22$

2) $v_{с} - v_{т} = 18$

а) скорость течения реки

Чтобы найти скорость течения, можно вычесть второе уравнение из первого:

$(v_{с} + v_{т}) - (v_{с} - v_{т}) = 22 - 18$

$v_{с} + v_{т} - v_{с} + v_{т} = 4$

$2 \cdot v_{т} = 4$

$v_{т} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

б) собственную скорость катера

Чтобы найти собственную скорость катера, можно сложить два уравнения:

$(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = 22 + 18$

$2 \cdot v_{с} = 40$

$v_{с} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 20 км/ч.

2)

Для решения задачи сначала найдем скорость лодки по течению и против течения, используя формулу скорости $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — расстояние, а $t$ — время.

1. Найдем скорость моторной лодки по течению реки ($v_{по}$):

Лодка проплыла расстояние $s = 48$ км за время $t_{по} = 3$ ч.

$v_{по} = \frac{48}{3} = 16$ км/ч.

2. Найдем скорость моторной лодки против течения реки ($v_{пр}$):

Лодка проплыла то же расстояние $s = 48$ км за время $t_{пр} = 4$ ч.

$v_{пр} = \frac{48}{4} = 12$ км/ч.

3. Скорость течения реки ($v_{т}$) равна половине разности скорости по течению и скорости против течения (как было показано в задаче 1):

$v_{т} = \frac{v_{по} - v_{пр}}{2}$

$v_{т} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

215 Лодка плывёт по течению реки. Скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. В некоторый момент гребец уронил в воду шляпу и, не заметив этого, продолжал плыть дальше. Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через $15 \text{ мин}$, если собственная скорость лодки $9 \text{ км/ч}$? Изменится ли ответ, если скорость течения будет другой?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: через систему отсчета, связанную с берегом, или через систему отсчета, связанную с водой.

Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через 15 мин, если собственная скорость лодки 9 км/ч?

Способ 1: Система отсчета, связанная с берегом.

1. Определим скорость лодки относительно берега. Лодка плывет по течению, поэтому ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{лодки} = v_{собст} + v_{теч} = 9 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 11 \text{ км/ч}$

2. Определим скорость шляпы относительно берега. Шляпа плывет по течению, поэтому ее скорость равна скорости течения:

$v_{шляпы} = v_{теч} = 2 \text{ км/ч}$

3. Лодка и шляпа движутся в одном направлении. Скорость, с которой лодка удаляется от шляпы (скорость удаления), равна разности их скоростей относительно берега:

$v_{удал} = v_{лодки} - v_{шляпы} = 11 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

4. Теперь найдем расстояние, которое будет между ними через 15 минут. Сначала переведем минуты в часы:

$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$

5. Рассчитаем расстояние ($S$) по формуле $S = v \times t$:

$S = v_{удал} \times t = 9 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 2.25 \text{ км}$

Способ 2: Система отсчета, связанная с водой.

Представим, что мы наблюдаем за происходящим из точки, которая движется вместе с течением реки (например, с плота). В этой системе отсчета вода (и шляпа в ней) неподвижна. Лодка же движется относительно воды со своей собственной скоростью. Таким образом, скорость удаления лодки от шляпы равна собственной скорости лодки.

$v_{удал} = v_{собст} = 9 \text{ км/ч}$

Рассчитаем расстояние за 15 минут (0.25 часа):

$S = v_{собст} \times t = 9 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 2.25 \text{ км}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: через 15 минут расстояние между лодкой и шляпой будет 2,25 км.

Изменится ли ответ, если скорость течения будет другой?

Как мы показали в решении выше, скорость удаления лодки от шляпы ($v_{удал}$) можно вычислить по формуле:

$v_{удал} = (v_{собст} + v_{теч}) - v_{теч}$

В этой формуле скорость течения ($v_{теч}$) сокращается:

$v_{удал} = v_{собст}$

Это означает, что скорость, с которой лодка удаляется от шляпы, равна собственной скорости лодки и не зависит от скорости течения реки. Поскольку расстояние вычисляется как произведение скорости удаления на время ($S = v_{собст} \times t$), оно также не зависит от скорости течения.

Ответ: нет, ответ не изменится.