Страница 58 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

175 Запишите короче сумму и произведение:

а) $2 + 2 + 2 + 2$, $2 \cdot 2 \cdot 2$;

б) $8 + 8 + 8$, $8 \cdot 8 \cdot 8$;

в) $a + a$, $a \cdot a$;

г) $b + b + b$, $b \cdot b \cdot b$.

а) Сумма одинаковых слагаемых $2 + 2 + 2 + 2$ представляет собой сложение числа 2 четыре раза. Это можно записать короче в виде произведения числа на количество слагаемых: $4 \cdot 2$. Произведение одинаковых множителей $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ можно записать в виде степени, где основание – это повторяющийся множитель, а показатель – количество множителей: $2^4$.
Ответ: $4 \cdot 2$ и $2^4$.

б) Сумма $8 + 8 + 8$ – это сложение трех одинаковых слагаемых, равных 8. Краткая запись такой суммы – это произведение $3 \cdot 8$. Произведение $8 \cdot 8 \cdot 8$ – это умножение трех одинаковых множителей, равных 8. Краткая запись этого произведения – это степень $8^3$.
Ответ: $3 \cdot 8$ и $8^3$.

в) Сумма двух одинаковых переменных $a + a$ записывается в виде произведения коэффициента 2 на переменную $a$: $2a$. Произведение двух одинаковых переменных $a \cdot a$ записывается в виде степени $a^2$.
Ответ: $2a$ и $a^2$.

г) Сумма трех одинаковых переменных $b + b + b$ записывается короче как произведение $3b$. Произведение трех одинаковых переменных $b \cdot b \cdot b$ записывается в виде степени $b^3$.
Ответ: $3b$ и $b^3$.

176 Запишите в виде степени:

а) $3 \cdot 3$;

б) $10 \cdot 10 \cdot 10$;

в) $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$;

г) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$;

д) $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$;

е) $n \cdot n \cdot n \cdot n$.

а) Чтобы записать произведение одинаковых множителей в виде степени, нужно определить основание и показатель. Основание степени — это повторяющийся множитель, в данном случае это число 3. Показатель степени показывает, сколько раз множитель повторяется, в данном случае 2 раза. Таким образом, произведение $3 \cdot 3$ можно записать как степень с основанием 3 и показателем 2.

$3 \cdot 3 = 3^2$

Ответ: $3^2$

б) В произведении $10 \cdot 10 \cdot 10$ число 10 является основанием степени, так как это повторяющийся множитель. Число 10 умножается само на себя 3 раза, следовательно, показатель степени равен 3.

$10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$

Ответ: $10^3$

в) В данном произведении $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ множитель 4 повторяется 5 раз. Это означает, что основание степени равно 4, а показатель степени равен 5.

$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$

Ответ: $4^5$

г) Произведение $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ содержит четыре одинаковых множителя, равных 5. Следовательно, основанием степени является число 5, а показателем степени — число 4.

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

Ответ: $5^4$

д) В произведении $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$ переменная $a$ является множителем, который повторяется 6 раз. Значит, основанием степени будет $a$, а показателем степени — 6.

$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^6$

Ответ: $a^6$

е) В данном выражении $n \cdot n \cdot n \cdot n$ переменная $n$ умножается сама на себя 4 раза. Таким образом, основание степени равно $n$, а показатель степени равен 4.

$n \cdot n \cdot n \cdot n = n^4$

Ответ: $n^4$

177 Упростите выражение, используя степени:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5;$

б) $13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6;$

в) $(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5);$

г) $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2.$

а) В выражении $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ число 2 умножается само на себя 3 раза. Произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, где основанием является повторяющийся множитель, а показателем — количество его повторений. Таким образом, $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Множитель 5 встречается один раз, поэтому мы его просто дописываем к результату.
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.
Ответ: $2^3 \cdot 5$.

б) В выражении $13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$ множитель 6 повторяется 4 раза. Запишем это произведение в виде степени $6^4$. Множитель 13 не повторяется, поэтому он остается без изменений.
$13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 13 \cdot 6^4$.
Ответ: $13 \cdot 6^4$.

в) В данном выражении в качестве множителя выступает выражение в скобках $(2 \cdot 5)$, которое повторяется 3 раза. Следовательно, мы можем записать это в виде степени, где основанием будет $(2 \cdot 5)$, а показателем — 3.
$(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 5)^3$.
Также можно упростить выражение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$. Тогда выражение примет вид $10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.
Ответ: $(2 \cdot 5)^3$ или $10^3$.

г) В выражении $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ сгруппируем одинаковые множители. Множитель 7 повторяется 3 раза, что можно записать как $7^3$. Множитель 2 повторяется 4 раза, что можно записать как $2^4$. Объединяем полученные степени произведением.
$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 7^3 \cdot 2^4$.
Ответ: $7^3 \cdot 2^4$.

178 Вычислите:

а) $2^5$;

б) $3^4$;

в) $7^4$;

г) $5^5$.

а) Вычислим значение выражения $2^5$. Степень показывает, сколько раз число нужно умножить само на себя. В данном случае нужно умножить 2 на себя 5 раз.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Последовательно выполняем умножение:

$2 \cdot 2 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$8 \cdot 2 = 16$

$16 \cdot 2 = 32$

Таким образом, $2^5 = 32$.

Ответ: 32

б) Вычислим значение выражения $3^4$. Это означает, что число 3 нужно умножить само на себя 4 раза.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Выполняем умножение:

$3 \cdot 3 = 9$

$9 \cdot 3 = 27$

$27 \cdot 3 = 81$

Таким образом, $3^4 = 81$.

Ответ: 81

в) Вычислим значение выражения $7^4$. Это означает, что число 7 нужно умножить само на себя 4 раза.

$7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

Выполняем умножение:

$7 \cdot 7 = 49$

$49 \cdot 7 = 343$

$343 \cdot 7 = 2401$

Можно также посчитать как $49 \cdot 49 = (50-1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$.

Таким образом, $7^4 = 2401$.

Ответ: 2401

г) Вычислим значение выражения $5^5$. Это означает, что число 5 нужно умножить само на себя 5 раз.

$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Выполняем умножение:

$5 \cdot 5 = 25$

$25 \cdot 5 = 125$

$125 \cdot 5 = 625$

$625 \cdot 5 = 3125$

Таким образом, $5^5 = 3125$.

Ответ: 3125

179 Сравните значения выражений:

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$;

д) $2 \cdot 2$ и $2^2$;

е) $2^4$ и $4^2$.

а) Для того чтобы сравнить значения выражений $5^3$ и $5 \cdot 3$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Значение второго выражения: $5 \cdot 3 = 15$.

Сравниваем полученные результаты: $125 > 15$.

Следовательно, $5^3 > 5 \cdot 3$.

Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) Для того чтобы сравнить значения выражений $12^2$ и $12 \cdot 2$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

Значение второго выражения: $12 \cdot 2 = 24$.

Сравниваем полученные результаты: $144 > 24$.

Следовательно, $12^2 > 12 \cdot 2$.

Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) Для того чтобы сравнить значения выражений $2^5$ и $5^2$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Значение второго выражения: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Сравниваем полученные результаты: $32 > 25$.

Следовательно, $2^5 > 5^2$.

Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) Для того чтобы сравнить значения выражений $3^4$ и $4^3$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

Значение второго выражения: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Сравниваем полученные результаты: $81 > 64$.

Следовательно, $3^4 > 4^3$.

Ответ: $3^4 > 4^3$.

д) Для того чтобы сравнить значения выражений $2 \cdot 2$ и $2^2$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $2 \cdot 2 = 4$.

Значение второго выражения: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

Сравниваем полученные результаты: $4 = 4$.

Следовательно, $2 \cdot 2 = 2^2$.

Ответ: $2 \cdot 2 = 2^2$.

е) Для того чтобы сравнить значения выражений $2^4$ и $4^2$, вычислим каждое из них.

Значение первого выражения: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Значение второго выражения: $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.

Сравниваем полученные результаты: $16 = 16$.

Следовательно, $2^4 = 4^2$.

Ответ: $2^4 = 4^2$.

180 Найдите квадрат и куб числа:

a) 25;

б) 30;

в) 50;

г) 100.

Чтобы найти квадрат числа, нужно возвести его во вторую степень, то есть умножить на само себя. Чтобы найти куб числа, нужно возвести его в третью степень, то есть умножить на само себя трижды.

Квадрат числа 25:
$25^2 = 25 \times 25 = 625$

Куб числа 25:
$25^3 = 25 \times 25 \times 25 = 625 \times 25 = 15625$

Ответ: квадрат числа 25 равен 625, куб числа 25 равен 15625.

Квадрат числа 30:
$30^2 = 30 \times 30 = 900$

Куб числа 30:
$30^3 = 30 \times 30 \times 30 = 900 \times 30 = 27000$

Ответ: квадрат числа 30 равен 900, куб числа 30 равен 27000.

Квадрат числа 50:
$50^2 = 50 \times 50 = 2500$

Куб числа 50:
$50^3 = 50 \times 50 \times 50 = 2500 \times 50 = 125000$

Ответ: квадрат числа 50 равен 2500, куб числа 50 равен 125000.

Квадрат числа 100:
$100^2 = 100 \times 100 = 10000$

Куб числа 100:
$100^3 = 100 \times 100 \times 100 = 10000 \times 100 = 1000000$

Ответ: квадрат числа 100 равен 10000, куб числа 100 равен 1000000.

181 Запишите выражение для нахождения площади квадрата со стороной: 1 см, 2 дм, 10 см, 12 м. В каждом случае найдите его площадь.

Образец. Найдём площадь квадрата со стороной 9 см: $9^2 = 81 (\text{см}^2)$.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны квадрата. Для каждого заданного значения стороны запишем выражение для нахождения площади и вычислим ее.

1 см
Выражение для нахождения площади квадрата со стороной 1 см: $1^2$.
$S = 1^2 = 1$ (см²).
Ответ: 1 см².

2 дм
Выражение для нахождения площади квадрата со стороной 2 дм: $2^2$.
$S = 2^2 = 4$ (дм²).
Ответ: 4 дм².

10 см
Выражение для нахождения площади квадрата со стороной 10 см: $10^2$.
$S = 10^2 = 100$ (см²).
Ответ: 100 см².

12 м
Выражение для нахождения площади квадрата со стороной 12 м: $12^2$.
$S = 12^2 = 144$ (м²).
Ответ: 144 м².

182 Какое из чисел больше:

а) $29^2$ или $1000$;

б) $48^2$ или $3000$;

в) $42^2$ или $1500$;

г) $67^2$ или $3500$?

Образец.

1) $28^2 < 1000$, так как $28^2 < 30^2 = 900 < 1000$.

2) $45^2 > 1500$, так как $45^2 > 40^2 = 1600 > 1500$.

а) Чтобы сравнить $29^2$ и $1000$, оценим значение $29^2$. Число 29 близко к 30, квадрат которого легко вычислить: $30^2 = 900$. Поскольку $29 < 30$, то и $29^2 < 30^2$. Таким образом, мы получаем $29^2 < 900$. Так как $900 < 1000$, то можно заключить, что $29^2 < 1000$.
Ответ: $1000$.

б) Сравним $48^2$ и $3000$. Оценим $48^2$, используя квадрат ближайшего круглого числа – 50. $50^2 = 2500$. Так как $48 < 50$, то $48^2 < 50^2$. Следовательно, $48^2 < 2500$. Поскольку $2500 < 3000$, то и $48^2 < 3000$.
Ответ: $3000$.

в) Сравним $42^2$ и $1500$. Для оценки возьмем число 40. $40^2 = 1600$. Так как $42 > 40$, то $42^2 > 40^2$. Это означает, что $42^2 > 1600$. Поскольку $1600 > 1500$, то и $42^2 > 1500$.
Ответ: $42^2$.

г) Сравним $67^2$ и $3500$. Оценим $67^2$, используя квадрат числа 60. $60^2 = 3600$. Так как $67 > 60$, то $67^2 > 60^2$. Таким образом, $67^2 > 3600$. Поскольку $3600 > 3500$, то можно сделать вывод, что $67^2 > 3500$.
Ответ: $67^2$.

183 Найдите число, квадрат которого равен:

a) 16;

б) 64;

в) 36;

г) 400.

а) Чтобы найти число, квадрат которого равен 16, необходимо найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = 16$. Это означает, что нужно извлечь квадратный корень из 16. Любое положительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный.
Поскольку $4 \times 4 = 16$, то одним из чисел является 4.
Также, поскольку $(-4) \times (-4) = 16$, то вторым числом является -4.
Следовательно, числа, квадраты которых равны 16, это 4 и -4.
Ответ: 4 и -4.

б) Чтобы найти число, квадрат которого равен 64, нужно решить уравнение $x^2 = 64$. Решением этого уравнения являются квадратные корни из 64.
Мы знаем, что $8 \times 8 = 64$, значит, $8^2 = 64$. Первое число — 8.
Также, произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-8) \times (-8) = 64$, значит, $(-8)^2 = 64$. Второе число — -8.
Следовательно, искомые числа — это 8 и -8.
Ответ: 8 и -8.

в) Чтобы найти число, квадрат которого равен 36, нужно найти значение $x$ из уравнения $x^2 = 36$. Это эквивалентно нахождению квадратных корней из 36.
Так как $6 \times 6 = 36$, то $6^2 = 36$. Первое число — 6.
Так как $(-6) \times (-6) = 36$, то $(-6)^2 = 36$. Второе число — -6.
Следовательно, числа, которые в квадрате дают 36, это 6 и -6.
Ответ: 6 и -6.

г) Чтобы найти число, квадрат которого равен 400, нужно решить уравнение $x^2 = 400$. Найдём квадратные корни из 400.
Можно заметить, что $400 = 4 \times 100 = 2^2 \times 10^2 = (2 \times 10)^2 = 20^2$. Значит, одно из чисел — 20.
Поскольку квадрат отрицательного числа также является положительным, то $(-20)^2 = (-20) \times (-20) = 400$. Второе число — -20.
Следовательно, искомые числа — это 20 и -20.
Ответ: 20 и -20.

184 Найдите число, куб которого равен:

а) 27;

б) 64;

в) 8;

г) 125.

а) Чтобы найти число, куб которого равен 27, нам нужно решить уравнение $x^3 = 27$. Задача сводится к нахождению кубического корня из 27. Искомое число $x$ должно удовлетворять условию $x \times x \times x = 27$. Проверим целые числа, начиная с 1: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$. Таким образом, мы нашли искомое число.

Ответ: 3

б) Здесь нам нужно найти число, куб которого равен 64. Обозначим это число за $x$. Тогда $x^3 = 64$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 64, то есть $x = \sqrt[3]{64}$. Продолжим проверку целых чисел: $3^3 = 27$, $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$. Следовательно, число, куб которого равен 64, это 4.

Ответ: 4

в) В этом пункте требуется найти число, куб которого равен 8. Пусть это число будет $x$. Тогда мы имеем уравнение $x^3 = 8$. Решение этого уравнения — это кубический корень из 8: $x = \sqrt[3]{8}$. Мы знаем, что $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Значит, искомое число равно 2.

Ответ: 2

г) Наконец, найдем число, куб которого равен 125. Пусть это число — $x$. Тогда $x^3 = 125$. Решением будет кубический корень из 125: $x = \sqrt[3]{125}$. Проверяем целые числа дальше: $4^3=64$, $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$. Таким образом, искомое число — это 5.

Ответ: 5

185 а) Представьте в виде степени числа 10:

100, 1000, 10000, 100000, 1000000.

б) Представьте в виде степени числа 2:

4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

а) Чтобы представить число, состоящее из единицы и нулей, в виде степени числа 10, необходимо посчитать количество нулей после единицы. Это число и будет показателем степени.

• Число 100 имеет два нуля, следовательно: $100 = 10^2$.

• Число 1000 имеет три нуля, следовательно: $1000 = 10^3$.

• Число 10000 имеет четыре нуля, следовательно: $10000 = 10^4$.

• Число 100000 имеет пять нулей, следовательно: $100000 = 10^5$.

• Число 1000000 имеет шесть нулей, следовательно: $1000000 = 10^6$.

Ответ: $100 = 10^2$; $1000 = 10^3$; $10000 = 10^4$; $100000 = 10^5$; $1000000 = 10^6$.

б) Чтобы представить данное число в виде степени числа 2, нужно определить, сколько раз число 2 надо умножить само на себя, чтобы получить исходное число. Это количество и будет показателем степени.

• $4 = 2 \times 2 = 2^2$

• $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$

• $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

• $32 = 16 \times 2 = 2^4 \times 2 = 2^5$

• $64 = 32 \times 2 = 2^5 \times 2 = 2^6$

• $128 = 64 \times 2 = 2^6 \times 2 = 2^7$

• $256 = 128 \times 2 = 2^7 \times 2 = 2^8$

• $512 = 256 \times 2 = 2^8 \times 2 = 2^9$

• $1024 = 512 \times 2 = 2^9 \times 2 = 2^{10}$

Ответ: $4 = 2^2$; $8 = 2^3$; $16 = 2^4$; $32 = 2^5$; $64 = 2^6$; $128 = 2^7$; $256 = 2^8$; $512 = 2^9$; $1024 = 2^{10}$.