Страница 55 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

165 Моток проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Запишите различные числовые выражения, показывающие, как это можно сделать.

Для решения этой задачи нам нужно найти все комбинации кусков по 15 см и 10 см, которые в сумме дают 110 см. Пусть $x$ — количество кусков проволоки длиной 15 см, а $y$ — количество кусков длиной 10 см. Мы можем составить следующее уравнение:

$15 \cdot x + 10 \cdot y = 110$

Здесь $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами. Будем последовательно подбирать возможные значения для количества кусков по 15 см и вычислять, сколько кусков по 10 см потребуется.

Вариант 1

Предположим, мы используем только куски по 10 см. Тогда количество кусков по 15 см равно 0 ($x=0$).

$15 \cdot 0 + 10 \cdot y = 110$

$10 \cdot y = 110$

$y = 110 / 10 = 11$

Получается 0 кусков по 15 см и 11 кусков по 10 см.

Ответ: $10 \cdot 11 = 110$.

Вариант 2

Возьмем 2 куска по 15 см ($x=2$). Их общая длина составит $15 \cdot 2 = 30$ см.

Оставшаяся длина проволоки: $110 - 30 = 80$ см.

Количество кусков по 10 см: $80 / 10 = 8$ ($y=8$).

Получается 2 куска по 15 см и 8 кусков по 10 см.

Ответ: $15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$.

Вариант 3

Возьмем 4 куска по 15 см ($x=4$). Их общая длина составит $15 \cdot 4 = 60$ см.

Оставшаяся длина проволоки: $110 - 60 = 50$ см.

Количество кусков по 10 см: $50 / 10 = 5$ ($y=5$).

Получается 4 куска по 15 см и 5 кусков по 10 см.

Ответ: $15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$.

Вариант 4

Возьмем 6 кусков по 15 см ($x=6$). Их общая длина составит $15 \cdot 6 = 90$ см.

Оставшаяся длина проволоки: $110 - 90 = 20$ см.

Количество кусков по 10 см: $20 / 10 = 2$ ($y=2$).

Получается 6 кусков по 15 см и 2 куска по 10 см.

Ответ: $15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$.

Если взять 8 кусков по 15 см, их длина будет $15 \cdot 8 = 120$ см, что больше общей длины проволоки. Следовательно, других вариантов не существует.

166 На овощной склад привезли помидоры на 6 машинах, по 120 ящиков в каждой, потом ещё на 8 машинах, по 140 ящиков в каждой. Сколько ящиков помидоров привезли на склад?

Чтобы найти общее количество ящиков помидоров, привезенных на склад, нужно выполнить следующие действия:

1. Вычислить количество ящиков, привезенных на первых 6 машинах.
Для этого умножим количество машин на количество ящиков в каждой из них:
$6 \text{ машин} \times 120 \text{ ящиков/машина} = 720 \text{ ящиков}$

2. Вычислить количество ящиков, привезенных на следующих 8 машинах.
Аналогично, умножим количество машин на количество ящиков в каждой:
$8 \text{ машин} \times 140 \text{ ящиков/машина} = 1120 \text{ ящиков}$

3. Сложить количество ящиков из обеих партий, чтобы найти общее количество.
Суммируем результаты, полученные в первых двух действиях:
$720 \text{ ящиков} + 1120 \text{ ящиков} = 1840 \text{ ящиков}$

Таким образом, всего на склад привезли 1840 ящиков помидоров.

Ответ: 1840 ящиков.

167 Туристу нужно добраться до туристической базы, расстояние до которой 60 км. Сначала он ехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, потом 3 ч шёл пешком со скоростью 4 км/ч и после этого сделал привал.

Сколько километров ему осталось пройти?

Для того чтобы найти, сколько километров осталось пройти туристу, необходимо выполнить решение в несколько шагов.

1. Найдём расстояние, которое турист проехал на велосипеде.

   Для этого умножим его скорость на время в пути. Используем формулу $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

   Скорость на велосипеде составляла $16$ км/ч, а время в пути — $2$ часа.

   $16 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 32 \text{ км}$.

2. Найдём расстояние, которое турист прошёл пешком.

   Аналогично, умножим скорость ходьбы ($4$ км/ч) на время, которое он шёл ($3$ часа).

   $4 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 12 \text{ км}$.

3. Найдём общее расстояние, которое преодолел турист до привала.

   Для этого сложим расстояние, которое он проехал на велосипеде, и расстояние, которое он прошёл пешком.

   $32 \text{ км} + 12 \text{ км} = 44 \text{ км}$.

4. Вычислим, сколько километров ему осталось пройти.

   Из общего расстояния до туристической базы ($60$ км) вычтем то расстояние, которое турист уже преодолел.

   $60 \text{ км} - 44 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Ответ: туристу осталось пройти 16 км.

168 Таня и её подруга должны надписать 450 конвертов. Таня надписывает 46 конвертов в час, а её подруга — 42 конверта. Сколько конвертов останется им надписать через 2 ч совместной работы?

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти общую скорость работы, вычислить количество сделанной работы за указанное время и, наконец, определить остаток.

1. Найдем, сколько конвертов Таня и её подруга надписывают вместе за один час (совместная производительность).

Для этого сложим их индивидуальные скорости:

$46 + 42 = 88$ (конвертов в час)

Вместе они надписывают 88 конвертов за час.

2. Теперь узнаем, сколько конвертов они надпишут за 2 часа совместной работы.

Для этого умножим их совместную производительность на время работы:

$88 * 2 = 176$ (конвертов)

За 2 часа они надпишут 176 конвертов.

3. Наконец, определим, сколько конвертов останется надписать.

Вычтем из общего количества конвертов то количество, которое они уже надписали:

$450 - 176 = 274$ (конверта)

Ответ: 274 конверта.

169 Один автомат за час наполняет соком 75 банок, а другой — 65 банок. Автоматы включают одновременно. За какое время будет наполнено 420 банок?

Чтобы определить, за какое время будет наполнено 420 банок, сначала необходимо найти общую производительность двух автоматов. Общая производительность — это количество банок, которое оба автомата наполняют вместе за один час.

Производительность первого автомата составляет 75 банок в час, а второго — 65 банок в час. Найдем их совместную производительность, сложив эти значения:

$75 + 65 = 140$ (банок/час)

Таким образом, работая одновременно, два автомата наполняют 140 банок за час.

Теперь, зная общую производительность, мы можем рассчитать время, необходимое для наполнения 420 банок. Для этого нужно общее количество банок разделить на совместную производительность:

$420 \div 140 = 3$ (часа)

Ответ: 3 часа.

170 На двух принтерах, работающих одновременно, распечатали 264 страницы рукописи за 12 мин. Скорость печати одного принтера 12 страниц в минуту. Какова скорость печати другого принтера?

Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов. Сначала определим общую скорость печати двух принтеров, а затем вычтем из нее скорость известного принтера, чтобы найти скорость второго.

1. Найдем общую скорость печати (производительность) двух принтеров. Они вместе распечатали 264 страницы за 12 минут. Общая скорость равна количеству страниц, деленному на время:

$V_{общая} = \frac{264 \text{ стр.}}{12 \text{ мин.}} = 22 \text{ страницы/минуту}$

2. Общая скорость печати равна сумме скоростей первого ($V_1$) и второго ($V_2$) принтеров:

$V_{общая} = V_1 + V_2$

Нам известна общая скорость (22 стр/мин) и скорость первого принтера ($V_1 = 12$ стр/мин). Найдем скорость второго принтера:

$V_2 = V_{общая} - V_1$

$V_2 = 22 - 12 = 10 \text{ страниц/минуту}$

Ответ: скорость печати другого принтера 10 страниц в минуту.

171 Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

Для решения этой задачи необходимо найти производительность каждой мастерской, затем их общую производительность при совместной работе, и после этого рассчитать общее время, необходимое для выполнения всей работы.

1. Сначала вычислим производительность первой мастерской. Она может переплести 900 книг за 10 дней. Значит, её производительность составляет:

$900 \text{ книг} \div 10 \text{ дней} = 90$ книг/день.

2. Затем вычислим производительность второй мастерской. Она может переплести 900 книг за 15 дней. Её производительность составляет:

$900 \text{ книг} \div 15 \text{ дней} = 60$ книг/день.

3. Теперь найдём общую производительность двух мастерских, если они будут работать вместе. Для этого сложим их индивидуальные производительности:

$90 \text{ книг/день} + 60 \text{ книг/день} = 150$ книг/день.

4. Зная общую производительность (150 книг в день) и общий объём работы (900 книг), мы можем найти, за сколько дней они справятся с работой вместе. Для этого разделим общее количество книг на общую производительность:

$900 \text{ книг} \div 150 \text{ книг/день} = 6$ дней.

Ответ: 6 дней.

172 Дед и внук, работая вместе, покрасили забор длиной 168 м за 12 ч. Если бы дед красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор внук?

Для решения задачи нам нужно найти производительность (скорость работы) каждого участника и затем, зная производительность внука, вычислить время, за которое он выполнит всю работу самостоятельно. Вся работа — это покраска одного забора.

1. Определение общей производительности.

Дед и внук вместе покрасили забор за 12 часов. Если принять всю работу за 1, то их совместная производительность (часть забора, которую они красят за 1 час) будет равна:

$P_{общ} = \frac{1}{12}$ (часть забора в час)

2. Определение производительности деда.

Известно, что дед один может выполнить эту же работу за 21 час. Следовательно, его индивидуальная производительность равна:

$P_{дед} = \frac{1}{21}$ (часть забора в час)

3. Определение производительности внука.

Совместная производительность является суммой индивидуальных производительностей. Чтобы найти производительность внука, нужно из общей производительности вычесть производительность деда:

$P_{внук} = P_{общ} - P_{дед} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 21 — это 84.

$P_{внук} = \frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{3}{84}$

Сократим полученную дробь:

$P_{внук} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}$ (часть забора в час)

4. Определение времени работы внука.

Теперь, зная производительность внука, мы можем найти время, за которое он самостоятельно покрасит весь забор. Время равно отношению всей работы к производительности:

$t_{внук} = \frac{1}{P_{внук}} = \frac{1}{\frac{1}{28}} = 28$ часов

Ответ: 28 часов.

173 Два мастера, работая вместе, сшили 120 футболок. Один мастер шил в час 13 футболок, а другой – 11. Сколько футболок сшил каждый мастер?

Для того чтобы узнать, сколько футболок сшил каждый мастер, необходимо сначала найти, сколько времени они работали. Для этого выполним следующие действия:

1. Найдем общую производительность двух мастеров.

Сложим количество футболок, которое каждый мастер шьет за один час:

$13 + 11 = 24$ (футболки в час)

Это их совместная производительность.

2. Найдем общее время работы.

Разделим общее количество сшитых футболок на совместную производительность, чтобы узнать, сколько часов они работали вместе:

$120 / 24 = 5$ (часов)

3. Рассчитаем, сколько футболок сшил каждый мастер.

Теперь умножим производительность каждого мастера на общее время работы.

Количество футболок, сшитых первым мастером:

$13 * 5 = 65$ (футболок)

Количество футболок, сшитых вторым мастером:

$11 * 5 = 55$ (футболок)

Проверка: $65 + 55 = 120$ футболок, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый мастер сшил 65 футболок, а второй — 55 футболок.

174 Над выполнением задания токарь работал 3 ч, а потом его ученик — 2 ч. Всего они выточили 108 деталей. Сколько деталей в час вытачивал ученик, если токарь вытачивал в час 26 деталей?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем, сколько всего деталей выточил токарь за свое рабочее время.

Известно, что производительность токаря составляет 26 деталей в час, и он работал 3 часа. Чтобы найти общее количество деталей, нужно умножить его производительность на время работы:

$26 \text{ деталей/час} \times 3 \text{ часа} = 78 \text{ деталей}$

Таким образом, токарь выточил 78 деталей.

2. Найдем, сколько деталей выточил ученик.

Всего токарь и ученик вместе выточили 108 деталей. Чтобы узнать, сколько из них сделал ученик, нужно из общего количества вычесть количество деталей, которые выточил токарь:

$108 \text{ деталей} - 78 \text{ деталей} = 30 \text{ деталей}$

Следовательно, ученик выточил 30 деталей.

3. Рассчитаем, сколько деталей в час вытачивал ученик.

Ученик работал 2 часа и за это время изготовил 30 деталей. Чтобы найти его производительность (количество деталей в час), разделим количество сделанных им деталей на время его работы:

$30 \text{ деталей} \div 2 \text{ часа} = 15 \text{ деталей/час}$

Ответ: ученик вытачивал 15 деталей в час.