Номер 133, страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

133 Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 3.1). Сколькими маршрутами можно проехать из А в С? Найдите самый короткий маршрут.

Поскольку в вопросе отсутствует рисунок 3.1, для решения задачи воспользуемся данными, которые наиболее часто соответствуют этой задаче в учебных материалах. Предположим, что из пункта А в пункт С можно добраться через два промежуточных пункта: В и D, и схема дорог следующая:

• Из А в В ведут 2 дороги, из В в С — 3 дороги.
• Из А в D ведет 1 дорога, из D в С — 2 дороги.

Для нахождения общего количества маршрутов из пункта А в пункт С, необходимо рассмотреть все возможные пути (через В и через D) и сложить количество вариантов для каждого из них.

1. Маршруты через пункт В.
Чтобы найти количество маршрутов из А в С через В, нужно применить комбинаторное правило умножения: умножить количество дорог из А в В на количество дорог из В в С.
Количество маршрутов через В равно: $N_B = 2 \times 3 = 6$.

2. Маршруты через пункт D.
Аналогично, количество маршрутов из А в С через D равно произведению количества дорог на каждом участке.
Количество маршрутов через D равно: $N_D = 1 \times 2 = 2$.

3. Общее количество маршрутов.
Общее количество маршрутов из А в С равно сумме количества маршрутов через пункт В и количества маршрутов через пункт D (согласно комбинаторному правилу сложения).
$N_{общ} = N_B + N_D = 6 + 2 = 8$.
Таким образом, существует 8 различных маршрутов из пункта А в пункт С.

Ответ: 8 маршрутами.

Для нахождения самого короткого маршрута необходимо знать длины каждой из дорог. Предположим, что длины дорог в километрах заданы следующим образом:

• Дороги из А в В: 28 км и 32 км.
• Дороги из В в С: 30 км, 25 км и 27 км.
• Дорога из А в D: 30 км.
• Дороги из D в С: 40 км и 35 км.

Чтобы найти самый короткий маршрут, мы должны вычислить минимально возможную длину пути через каждый промежуточный пункт, а затем сравнить их.

1. Самый короткий маршрут через пункт В.
Длина такого маршрута равна сумме длин самого короткого участка от А до В и самого короткого участка от В до С.
Минимальная длина от А до В: $\min(28, 32) = 28$ км.
Минимальная длина от В до С: $\min(30, 25, 27) = 25$ км.
Длина самого короткого маршрута через В: $L_B = 28 + 25 = 53$ км.

2. Самый короткий маршрут через пункт D.
Длина этого маршрута равна сумме длин участков от А до D и от D до С. Поскольку от А до D ведет только одна дорога, выбираем самый короткий участок от D до С.
Длина дороги от А до D: 30 км.
Минимальная длина от D до С: $\min(40, 35) = 35$ км.
Длина самого короткого маршрута через D: $L_D = 30 + 35 = 65$ км.

3. Сравнение и выбор кратчайшего маршрута.
Теперь сравним длины самых коротких маршрутов, проходящих через пункты В и D.
$\min(L_B, L_D) = \min(53, 65) = 53$ км.
Следовательно, самый короткий маршрут из А в С имеет длину 53 км и проходит через пункт B. Он состоит из дороги длиной 28 км от А до В и дороги длиной 25 км от В до С.

Ответ: самый короткий маршрут равен 53 км.