Номер 39, страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

39 Из точки А в точку С (рис. 1.29) можно «пройти» по отрезку $AC$, по ломаной $ADC$ или по ломаной $ABC$. Какой путь самый короткий; самый длинный?

Для решения этой задачи мы сравним длины трех путей от точки А до точки С: по отрезку AC, по ломаной ADC и по ломаной ABC. Длины этих путей равны $AC$, $AD+DC$ и $AB+BC$ соответственно. Мы будем использовать неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Какой путь самый короткий

Сравним длину отрезка $AC$ с длинами двух других путей.

1. Рассмотрим треугольник $ADC$. По неравенству треугольника, сумма сторон $AD$ и $DC$ больше стороны $AC$:
$AD + DC > AC$

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По неравенству треугольника, сумма сторон $AB$ и $BC$ больше стороны $AC$:
$AB + BC > AC$

Оба пути по ломаным линиям длиннее, чем путь по прямой. Прямая линия — это кратчайшее расстояние между двумя точками. Следовательно, путь по отрезку $AC$ является самым коротким.

Ответ: Самый короткий путь — по отрезку AC.

Какой путь самый длинный

Теперь нам нужно сравнить длины двух ломаных: $ADC$ и $ABC$. Для этого сравним величины $AD+DC$ и $AB+BC$.

Продлим отрезок $AD$ до пересечения с отрезком $BC$ в точке E. Теперь у нас есть два треугольника: $ABE$ и $DEC$.

1. Применим неравенство треугольника к треугольнику $ABE$:
$AB + BE > AE$
Поскольку $AE = AD + DE$, мы можем переписать неравенство как:
$AB + BE > AD + DE$

2. Применим неравенство треугольника к треугольнику $DEC$:
$DE + EC > DC$

3. Сложим полученные неравенства:
$(AB + BE) + (DE + EC) > (AD + DE) + DC$
$AB + BE + DE + EC > AD + DE + DC$
Вычтем $DE$ из обеих частей неравенства:
$AB + BE + EC > AD + DC$
Поскольку точка E лежит на отрезке $BC$, то $BE + EC = BC$. Подставим это в неравенство:
$AB + BC > AD + DC$

Таким образом, мы доказали, что путь по ломаной $ABC$ длиннее, чем путь по ломаной $ADC$. Следовательно, путь по ломаной $ABC$ является самым длинным.

Ответ: Самый длинный путь — по ломаной ABC.