Номер 44, страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

44 Начертите окружность и проведите три прямые, её пересекающие. Как нужно провести прямую, чтобы расстояние между точками пересечения этой прямой с окружностью было наибольшим?

Для выполнения первой части задания нужно начертить окружность, например, с помощью циркуля, отметив ее центр $O$. Затем следует провести три различные прямые таким образом, чтобы каждая из них пересекала окружность в двух точках. Такие прямые, имеющие с окружностью две общие точки, называются секущими.

Чтобы ответить на вторую часть вопроса, необходимо определить, при каком условии отрезок, соединяющий точки пересечения прямой с окружностью, будет иметь максимальную длину. Этот отрезок является хордой окружности. Задача сводится к нахождению самой длинной хорды в окружности.

Самой длинной хордой в любой окружности является ее диаметр. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности.

Докажем это утверждение. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем произвольную хорду $AB$. Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ обозначим как $d$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую, содержащую хорду $AB$. Рассматривая прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина хорды ($\frac{AB}{2}$) и расстояние $d$, а гипотенузой — радиус $R$, по теореме Пифагора имеем: $R^2 = d^2 + (\frac{AB}{2})^2$

Отсюда можно выразить длину хорды $AB$: $(\frac{AB}{2})^2 = R^2 - d^2$ $\frac{AB}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$ $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Из полученной формулы видно, что длина хорды $AB$ достигает своего максимального значения, когда вычитаемое $d^2$ является минимальным. Наименьшее возможное значение для $d^2$ (и для $d$, так как расстояние не может быть отрицательным) равно нулю. Это соответствует случаю, когда прямая проходит через центр окружности $O$.

При $d=0$ длина хорды становится равной: $AB = 2\sqrt{R^2 - 0^2} = 2R$

Длина $2R$ — это длина диаметра окружности. Любая другая хорда, не проходящая через центр, будет иметь расстояние от центра $d > 0$, и, следовательно, ее длина $2\sqrt{R^2 - d^2}$ будет строго меньше, чем $2R$.

Таким образом, для получения наибольшего расстояния между точками пересечения, прямую следует провести через центр окружности.

Ответ: Чтобы расстояние между точками пересечения прямой с окружностью было наибольшим, прямая должна проходить через центр этой окружности. Такое расстояние равно диаметру окружности.