Номер 47, страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

47 Отметьте в тетради точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Начертите окружность с центром в точке $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров?

Для решения задачи выполним последовательность действий и логических рассуждений.

1. Отметим на плоскости две произвольные точки и назовем их A и B.
2. С помощью линейки измерим расстояние между этими точками. Обозначим это расстояние переменной $d$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $d$.
3. Начертим окружность с центром в точке A, проходящую через точку B. По определению радиуса, радиус этой окружности ($R_A$) равен расстоянию от ее центра (A) до любой точки на окружности (в данном случае, B). Следовательно, $R_A = AB = d$.
4. Начертим вторую окружность с центром в точке B, проходящую через точку A. Аналогично, ее радиус ($R_B$) равен расстоянию от центра B до точки A. Следовательно, $R_B = BA = d$.

Чему равен радиус каждой из окружностей?

Радиус первой окружности (с центром в A) равен расстоянию между точками A и B. Радиус второй окружности (с центром в B) равен расстоянию между точками B и A. Так как расстояние от A до B такое же, как от B до A, то радиусы обеих окружностей равны между собой. Они равны длине отрезка, соединяющего их центры.

Ответ: радиус каждой из окружностей равен расстоянию между точками A и B.

Каково расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров?

Две построенные окружности будут пересекаться в двух точках (если $A \neq B$). Обозначим эти точки пересечения как C и D.

Рассмотрим точку пересечения C.

• Поскольку точка C лежит на окружности с центром в A, то расстояние от C до A по определению равно радиусу этой окружности. То есть, $AC = R_A = d$.
• Поскольку точка C также лежит и на второй окружности с центром в B, то расстояние от C до B равно радиусу второй окружности. То есть, $BC = R_B = d$.

То же самое справедливо и для второй точки пересечения D: расстояние $AD = R_A = d$ и $BD = R_B = d$.

Таким образом, расстояние от каждой точки пересечения (C и D) до каждого из центров (A и B) равно радиусу этих окружностей, то есть первоначальному расстоянию $d$ между точками A и B. Можно заметить, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются равносторонними, так как все их стороны равны $d$.

Ответ: расстояние от каждой точки пересечения окружностей до их центров (A и B) равно расстоянию между самими центрами A и B.