Номер 26, страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

26 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек попарного пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городе три попарно пересекающиеся улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Других светофоров в городе нет. Сколько всего светофоров в городе? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?

1) Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку пересечения. Третья прямая, по условию, пересекает каждую из двух первых прямых, но не проходит через уже существующую точку их пересечения. Это означает, что третья прямая создаст две новые точки пересечения — по одной с каждой из первых двух прямых. Таким образом, общее количество точек попарного пересечения будет равно сумме первоначальной точки и двух новых: $1 + 2 = 3$.
Ответ: 3.

2) В данной задаче улицы можно представить как прямые, а перекрёстки — как точки их пересечения. Светофор устанавливается на каждом перекрёстке.

Сколько всего светофоров в городе?
Изначально в городе 3 попарно пересекающиеся улицы. Количество перекрёстков равно количеству способов выбрать 2 улицы из 3 для образования пересечения. Это можно рассчитать с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.
Следовательно, в городе 3 перекрёстка и 3 светофора.

Сколько придётся установить светофоров?
Было решено проложить новую, четвёртую, улицу. По условию, она пересекает все 3 старые улицы и не проходит через уже имеющиеся перекрёстки. Это значит, что новая улица создаст по одному новому перекрёстку с каждой из трёх существующих улиц. Таким образом, появится 3 новых перекрёстка. Для каждого нового перекрёстка потребуется один светофор. Значит, придётся установить 3 новых светофора.

А если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городе с десятью улицами?
Да, можно. Общее количество перекрёстков (светофоров) в городе с $n$ улицами, где каждая улица пересекает каждую другую в уникальной точке, можно найти по формуле числа сочетаний из $n$ по 2:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$
Для города с десятью улицами ($n=10$) количество светофоров будет:
$C_{10}^2 = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.
В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.

Ответ: В городе с тремя улицами — 3 светофора. При прокладке новой улицы придётся установить 3 светофора. В городе с десятью улицами будет 45 светофоров.