Номер 8, страница 11 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

8 Возьмите кубик и на его поверхности проведите линию так, как показано на рисунке 1.7. Попробуйте из куска проволоки согнуть такую же линию.

1.7

Задача состоит из двух частей: сначала нужно понять, как именно проходит линия, изображенная на поверхности куба, а затем описать, как изготовить ее проволочную модель. Линия представляет собой замкнутый контур, который проходит через все шесть граней куба.

Проведение линии на поверхности куба

Линия является замкнутой ломаной, вершины которой лежат на серединах шести ребер куба. Чтобы нарисовать такую линию, нужно последовательно соединять середины ребер, каждый раз переходя на новую грань. Маршрут можно описать следующим образом:

1. Начните с середины заднего ребра на верхней грани куба.
2. Проведите отрезок по верхней грани к середине правого ребра этой же грани.
3. От этой точки проведите отрезок по правой боковой грани к середине ее переднего ребра.
4. Далее, по передней грани проведите отрезок к середине ее нижнего ребра.
5. Затем, по нижней грани проведите отрезок к середине ее левого ребра.
6. Оттуда по левой боковой грани поднимитесь к середине ее заднего ребра.
7. Наконец, по задней грани проведите отрезок к начальной точке (середине заднего ребра на верхней грани), замыкая контур.

При таком построении линия пройдет ровно один раз по каждой из шести граней куба.

Ответ: Линия представляет собой замкнутый путь, который последовательно проходит через все шесть граней куба, соединяя середины шести его ребер.

Изготовление линии из проволоки

Чтобы согнуть такую линию из проволоки, необходимо определить ее общую длину и геометрическую форму в пространстве. Пусть длина ребра куба равна $a$.

1. Длина линии. Линия состоит из шести одинаковых отрезков. Каждый отрезок лежит на одной из граней и соединяет середины двух смежных сторон этой грани. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. Если рассмотреть одну такую грань на плоскости, то концы отрезка будут находиться на расстоянии $a/2$ от общего угла. Длину этого отрезка ($l$) можно найти по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Поскольку линия состоит из шести таких отрезков, ее общая длина $L$ равна:

$L = 6 \times l = 6 \times \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}a}{2} = 3\sqrt{2}a$

2. Форма линии. Шесть точек, которые соединяет линия (середины шести ребер), лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает куб, образуя в сечении правильный шестиугольник. Таким образом, линия из проволоки должна иметь форму правильного шестиугольника.

3. Инструкция по изготовлению.

• Возьмите кусок проволоки длиной $L = 3\sqrt{2}a$. Например, если ребро куба $a = 10$ см, то длина проволоки будет $3 \times \sqrt{2} \times 10 \approx 42.4$ см.
• Разделите проволоку на шесть равных сегментов, отметив 5 точек сгиба. Длина каждого сегмента будет $l = a/\sqrt{2}$. Для куба со стороной 10 см это примерно $7.07$ см.
• Согните проволоку в каждой отмеченной точке. Поскольку форма является правильным шестиугольником, все внутренние углы должны быть равны $120^\circ$.
• Соедините концы проволоки, чтобы получить замкнутую фигуру.

В результате получится плоский правильный шестиугольник, который можно "надеть" на куб так, чтобы его вершины совпали с серединами соответствующих ребер.

Ответ: Для изготовления модели необходимо взять кусок проволоки длиной $3\sqrt{2}a$ (где $a$ – длина ребра куба), разделить его на 6 равных частей длиной $a/\sqrt{2}$ каждая и согнуть в виде правильного шестиугольника с внутренними углами $120^\circ$.