Номер 1028, страница 273 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.3. Опрос общественного мнения. Глава 11. Таблицы и диаграммы - номер 1028, страница 273.

1028 Какие целочисленные размеры (в см) может иметь коробка объёмом $60 \text{ см}^3$?

Для решения этой задачи необходимо найти все возможные наборы из трёх целых положительных чисел, произведение которых равно 60. Объём прямоугольной коробки вычисляется как произведение её длины, ширины и высоты. Пусть размеры коробки равны $a$, $b$ и $c$ сантиметров. Тогда их объём $V$ равен:

$V = a \cdot b \cdot c = 60 \text{ см}^3$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ должны быть целыми числами, нам нужно найти все целочисленные делители числа 60, которые в произведении дают 60. Чтобы избежать повторений (например, коробка с размерами 2×3×10 см — это та же самая коробка, что и 3×10×2 см), будем перечислять комбинации размеров в неубывающем порядке: $a \le b \le c$.

Разложим число 60 на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Теперь systematically найдём все тройки чисел:

• Если $a=1$, то $b \cdot c = 60$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $1 \le b \le c$:
  • 1, 60 (размеры 1, 1, 60)
  • 2, 30 (размеры 1, 2, 30)
  • 3, 20 (размеры 1, 3, 20)
  • 4, 15 (размеры 1, 4, 15)
  • 5, 12 (размеры 1, 5, 12)
  • 6, 10 (размеры 1, 6, 10)
• Если $a=2$, то $b \cdot c = 30$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $2 \le b \le c$:
  • 2, 15 (размеры 2, 2, 15)
  • 3, 10 (размеры 2, 3, 10)
  • 5, 6 (размеры 2, 5, 6)
• Если $a=3$, то $b \cdot c = 20$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $3 \le b \le c$:
  • 4, 5 (размеры 3, 4, 5)
• Если $a \ge 4$, то наименьший возможный объём будет $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, что больше 60. Значит, других вариантов нет.

Таким образом, мы нашли все уникальные наборы целочисленных размеров.

Ответ: Коробка может иметь следующие наборы целочисленных размеров (в см): (1, 1, 60), (1, 2, 30), (1, 3, 20), (1, 4, 15), (1, 5, 12), (1, 6, 10), (2, 2, 15), (2, 3, 10), (2, 5, 6), (3, 4, 5).