Страница 273 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1026 Сократите дробь:

а) $ \frac{3 \cdot 5 \cdot 28}{49 \cdot 45} $

б) $ \frac{24 \cdot 42}{35 \cdot 12 \cdot 8} $

Чтобы сократить дробь $\frac{3 \cdot 5 \cdot 28}{49 \cdot 45}$, разложим числа в числителе и знаменателе на простые или удобные для сокращения множители.

Число 28 можно представить как произведение $4 \cdot 7$.

Число 49 можно представить как произведение $7 \cdot 7$.

Число 45 можно представить как произведение $9 \cdot 5$.

Подставим эти разложения в исходную дробь:

$\frac{3 \cdot 5 \cdot (4 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 5)}$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сократим множитель 5 и один из множителей 7:

$\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 9}$

Заметим, что 9 в знаменателе можно разложить как $3 \cdot 3$. Это позволит нам сократить еще и множитель 3.

$\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot (3 \cdot 3)}$

Сокращаем на 3:

$\frac{4}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}$

Ответ: $\frac{4}{21}$

Чтобы сократить дробь $\frac{24 \cdot 42}{35 \cdot 12 \cdot 8}$, будем последовательно сокращать множители в числителе и знаменателе.

Сократим 24 в числителе и 12 в знаменателе. Так как $24 = 2 \cdot 12$, то при делении 24 на 12 в числителе останется 2:

$\frac{2 \cdot 42}{35 \cdot 8}$

Сократим 42 в числителе и 35 в знаменателе. Их общий делитель равен 7, так как $42 = 6 \cdot 7$ и $35 = 5 \cdot 7$. После сокращения на 7 в числителе останется 6, а в знаменателе 5:

$\frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 8}$

Теперь сократим 2 в числителе и 8 в знаменателе. Их общий делитель равен 2, так как $8 = 4 \cdot 2$. После сокращения на 2 в знаменателе останется 4:

$\frac{6}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}$

Полученную дробь $\frac{6}{20}$ можно сократить на 2, так как $6 = 3 \cdot 2$ и $20 = 10 \cdot 2$:

$\frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

1027 a) Один насос может выкачать воду из бассейна за 6 ч, а другой – за 4 ч. Какая часть бассейна останется наполненной водой после 1 ч их совместной работы?

б) Два студента взялись набрать рукопись отчёта. Один из них может набрать рукопись за 6 ч, а другой – за 8 ч. Какая часть рукописи останется ненабранной после 1 ч совместной работы?

а)

Чтобы решить задачу, сначала определим производительность каждого насоса, то есть какую часть бассейна каждый из них выкачивает за 1 час. Весь объем бассейна примем за 1.

1. Производительность первого насоса. Он выкачивает весь бассейн за 6 часов, значит, за 1 час он выкачивает $ \frac{1}{6} $ часть бассейна.

2. Производительность второго насоса. Он выкачивает весь бассейн за 4 часа, значит, за 1 час он выкачивает $ \frac{1}{4} $ часть бассейна.

3. Совместная производительность. Чтобы найти, какую часть бассейна они выкачают вместе за 1 час, сложим их производительности:

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{4} $

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} $

Таким образом, за 1 час совместной работы насосы выкачают $ \frac{5}{12} $ часть бассейна.

4. Оставшаяся часть. Чтобы найти, какая часть бассейна останется наполненной, нужно из всего объема (1) вычесть ту часть, которую выкачали:

$ 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} $

Ответ: после 1 часа их совместной работы останется наполненной $ \frac{7}{12} $ часть бассейна.

б)

Решим эту задачу по аналогии с предыдущей. Весь объем рукописи примем за 1.

1. Производительность первого студента. Он может набрать всю рукопись за 6 часов, значит, за 1 час он набирает $ \frac{1}{6} $ часть рукописи.

2. Производительность второго студента. Он может набрать всю рукопись за 8 часов, значит, за 1 час он набирает $ \frac{1}{8} $ часть рукописи.

3. Совместная производительность. Чтобы найти, какую часть рукописи они наберут вместе за 1 час, сложим их производительности:

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{8} $

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$ \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24} $

Таким образом, за 1 час совместной работы студенты наберут $ \frac{7}{24} $ часть рукописи.

4. Ненабранная часть. Чтобы найти, какая часть рукописи останется ненабранной, нужно из всего объема (1) вычесть ту часть, которую они уже набрали:

$ 1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} $

Ответ: после 1 часа совместной работы останется ненабранной $ \frac{17}{24} $ часть рукописи.

1028 Какие целочисленные размеры (в см) может иметь коробка объёмом $60 \text{ см}^3$?

Для решения этой задачи необходимо найти все возможные наборы из трёх целых положительных чисел, произведение которых равно 60. Объём прямоугольной коробки вычисляется как произведение её длины, ширины и высоты. Пусть размеры коробки равны $a$, $b$ и $c$ сантиметров. Тогда их объём $V$ равен:

$V = a \cdot b \cdot c = 60 \text{ см}^3$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ должны быть целыми числами, нам нужно найти все целочисленные делители числа 60, которые в произведении дают 60. Чтобы избежать повторений (например, коробка с размерами 2×3×10 см — это та же самая коробка, что и 3×10×2 см), будем перечислять комбинации размеров в неубывающем порядке: $a \le b \le c$.

Разложим число 60 на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Теперь systematically найдём все тройки чисел:

• Если $a=1$, то $b \cdot c = 60$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $1 \le b \le c$:
  • 1, 60 (размеры 1, 1, 60)
  • 2, 30 (размеры 1, 2, 30)
  • 3, 20 (размеры 1, 3, 20)
  • 4, 15 (размеры 1, 4, 15)
  • 5, 12 (размеры 1, 5, 12)
  • 6, 10 (размеры 1, 6, 10)
• Если $a=2$, то $b \cdot c = 30$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $2 \le b \le c$:
  • 2, 15 (размеры 2, 2, 15)
  • 3, 10 (размеры 2, 3, 10)
  • 5, 6 (размеры 2, 5, 6)
• Если $a=3$, то $b \cdot c = 20$. Возможные пары $(b, c)$ при условии $3 \le b \le c$:
  • 4, 5 (размеры 3, 4, 5)
• Если $a \ge 4$, то наименьший возможный объём будет $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, что больше 60. Значит, других вариантов нет.

Таким образом, мы нашли все уникальные наборы целочисленных размеров.

Ответ: Коробка может иметь следующие наборы целочисленных размеров (в см): (1, 1, 60), (1, 2, 30), (1, 3, 20), (1, 4, 15), (1, 5, 12), (1, 6, 10), (2, 2, 15), (2, 3, 10), (2, 5, 6), (3, 4, 5).

1029 Определите объём параллелепипеда, изображённого на рисунке 11.2, двумя способами.

3 дм

5 дм

4 дм

5 дм

Рис. 11.2

Способ 1

Найдем объем всего параллелепипеда, рассматривая его как единое целое. Для этого сначала вычислим его полную длину, сложив длины двух его частей, а затем умножим полученное значение на ширину и высоту.

1) Определим полную длину параллелепипеда:

$3 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$

2) Вычислим объем по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

$V = 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 160 \text{ дм}^3$

Ответ: $160 \text{ дм}^3$

Способ 2

Вычислим объемы двух меньших параллелепипедов, на которые разделен большой, а затем сложим полученные значения.

1) Найдем объем левого параллелепипеда ($V_1$). Его измерения: 3 дм, 4 дм и 5 дм.

$V_1 = 3 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 60 \text{ дм}^3$

2) Найдем объем правого параллелепипеда ($V_2$). Его измерения: 5 дм, 4 дм и 5 дм.

$V_2 = 5 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^3$

3) Найдем общий объем, сложив объемы двух частей:

$V = V_1 + V_2 = 60 \text{ дм}^3 + 100 \text{ дм}^3 = 160 \text{ дм}^3$

Ответ: $160 \text{ дм}^3$