Страница 157, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

11. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-6.

В начале июня Маша, Андрей и Лена приехали отдыхать к бабушке и дедушке в деревню Дальняя. Их участок (рис. 4.39) находится на пересечении улицы Солнечной и переулка Нужного. Калитка расположена со стороны переулка. Въезд машин в гараж находится со стороны улицы. При входе на участок слева от калитки находится дом, перед которым вдоль улицы растут вишни. Справа от калитки расположена хозяйственная постройка, в которой находится баня. Кроме дома, гаража и бани, есть маленький сарай для сельскохозяйственных инструментов рядом с яблоневым садом, огород, в котором располагаются теплица площадью 27м² и парник. Между домом и баней есть площадка, площадь которой равна 81м². Она замощена плиткой размером 50х50см. Остальная площадь участка занята газоном, и на нём размещён батут, обозначенный цифрой 8.

Маша, Андрей и Лена решили помочь дедушке соединить дорожками шириной 1м все хозяйственные постройки, которые планируется замостить такой же плиткой, как на площадке (на плане дорожки показаны серым цветом). А ещё они задумали разбить на газоне большую трёхъярусную клумбу, отмеченную на плане цифрой 9. На первом ярусе ребята хотят посадить тагетес (бархатцы), на втором — виолу (анютины глазки), а на третьем — агератум. Норма высадки на 1м² тагетеса — 60 кустиков, виолы — 70 кустиков и агератума — 80 кустиков рассады.

1. Определите на плане положение улицы и переулка.

2. Определите, какими цифрами на плане обозначены объекты, и заполните таблицу.

3. Найдите площадь дома и гаража в квадратных метрах.

4. Найдите расстояние от запланированной дорожки до батута.

5. Сколько упаковок плитки нужно купить для дорожек, если в упаковке 5 штук?

6. Определите размер клумбы. Сколько кустиков каждой рассады надо заказать для клумбы, план которой представлен на рисунке 4.40?

ул. Солнечная
переулок Нужный

Между домом и баней есть площадка, площадь которой равна 81 ${\text{м}}^{\text{2}}$ и составляет на плане 9 клеточек.
$81 : 9 = 9 \text{(}{\text{м}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь 1 клеточки
Объект под цифрой 6 составляет 3 клеточки.
$9·3 = 27 \text{(}{\text{м}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь теплицы
Значит, N6 - Теплица, тогда N7 - парник

3) $4·4 - 2 = 14 \text{(кл.)}$
$14·9 = 126 \text{(}{\text{м}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь дома
$2·3 = 6 \text{(кл.)}$
$6·9 = 54 \text{(}{\text{м}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь гаража
Ответ: 126 ${\text{м}}^{\text{2}}$, 54 ${\text{м}}^{\text{2}}$

4) Так как 1 кл. = 9 ${\text{м}}^{\text{2}}$, то сторона клеточки (квадратика) равна 3 м.
Расстояние от запланированной дорожки до Батута 2 кл. Значит,
$2·3 = 6 \text{(м)}$
Ответ: 6 м

5) Длина дорожки 18 клеточек
$18·3 = 54 \text{(м)}$ - длина дорожки
$54 \text{м} = 5400 \text{см}$
Плитка имеет форму квадрата размером 50 × 50 см. Значит, её длина 50 см
$5400 : 50 = 108 \text{(плиток)}$

_5400|50 50 |108 --- _400 400 --- 0

$108 : 5 = 21 \text{(ост.3)}$

_108|5 10 |21 --- _8 5 --- 3

Нужно купить 21 упаковку и ещё 3 плитки. Значит, нужна ещё одна упаковка.
$21 + 1 = 22 \text{(уп.)}$
Ответ: 22 упаковки.

6) На плане цифра 9 - это большая трёхъярусная клумба, занимает 1 клетку, значит, её площадь равна 9 ${\text{м}}^{\text{2}}$, клумба имеет форму квадрата со сторонами 3м х 3м
$3 \text{м} = 300 \text{см}$
На плане клумбы мы видим квадрат со стороной 6 клеточек
$300 : 6 = 50 \text{(см)}$ - 1 клеточка на плане клумб

$50·50 = 2500 \text{(}{\text{см}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь 1 клеточки
Первый ярус: 4 равных треугольника
$△\text{MBN} = △\text{NCP} = △\text{PDR} = △\text{AMK}$
$2 + 4 : 2 = 2 + 2 = 4 \text{(кл.)}$ в 1 треугольнике
$4·4 = 16 \text{(кл.)}$ составляют площадь I яруса
$16·2500 = 40000 \text{(}{\text{см}}^{\text{2}}\text{)}$ - площадь I яруса

 x 2500 16 ------ 15000 +2500 ------ 40000

$40000 {\text{см}}^{\text{2}} = 4 {\text{м}}^{\text{2}}$
$60·4 = 240 \text{(к.)}$ - тагетеса

Второй ярус:
${\text{S}}_{\text{MNPRK}} = 2·{\text{S}}_{\text{RSPK}}$, то есть площадь квадрата MNPRK в 2 раза больше площади квадрата RSPK. Значит, площадь второго яруса равна площади третьего яруса, то есть,
${\text{S}}_{\text{RNS}} + {\text{S}}_{\text{SPT}} + {\text{S}}_{\text{FKT}} + {\text{S}}_{\text{MRF}} = {\text{S}}_{\text{RSTF}}$
$9 - 4 = 5 \text{(}{\text{м}}^{\text{2}}\text{)}$ - сумма площадей второго и третьего ярусов
$5 {\text{м}}^{\text{2}} = 50000 {\text{см}}^{\text{2}}$
$50000 : 2 = 25000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - площадь второго яруса
$1 {\text{м}}^{\text{2}} = 10000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это 70 кустиков виолы
$2 {\text{м}}^{\text{2}} = 20000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это $70·2 = 140$ кустиков виолы
$5000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это половина $10000 {\text{см}}^{\text{2}}$ или $1 {\text{м}}^{\text{2}}$
$70 : 2 = 35 \text{(к.)}$ виолы нужно на площадь $5000 {\text{см}}^{\text{2}}$
$140 + 35 = 175 \text{(к.)}$ - виолы на второй ярус

Третий ярус:
$25000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - площадь третьего яруса
$1 {\text{м}}^{\text{2}} = 10000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это 80 кустиков агератума
$2 {\text{м}}^{\text{2}} = 20000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это $80·2 = 160 \text{(к.)}$
$5000 {\text{см}}^{\text{2}}$ - это $80 : 2 = 40 \text{(к.)}$
$160 + 40 = 200 \text{(к.)}$ агератума на третий ярус.

Ответ: 9 ${\text{м}}^{\text{2}}$; 240 кустиков тагетеса, 175 кустиков виолы и 200 кустиков агератума.

В тексте указано, что калитка расположена со стороны переулка Нужного. На плане (рис. 4.39) калитка находится внизу. Следовательно, внизу плана проходит переулок Нужный. Также в тексте сказано, что въезд в гараж находится со стороны улицы Солнечной. На плане въезд в объект ? (гараж) возможен только с правой стороны. Следовательно, справа от участка проходит улица Солнечная.

Ответ: улица Солнечная проходит справа от участка, а переулок Нужный — снизу.

Проанализируем текст и сопоставим его с планом, учитывая, что одна клетка на плане соответствует стороне в $1.5$ м (так как 2 клетки = 3 м).

• Дом: "При входе на участок слева от калитки находится дом". Слева от калитки расположен объект ?. Значит, Дом — это 3.
• Баня: "Справа от калитки расположена хозяйственная постройка, в которой находится баня". Справа от калитки — объект ?. Значит, Баня — это 4.
• Гараж: "Въезд машин в гараж находится со стороны улицы Солнечной". Въезд с улицы (справа) ведет к объекту ?. Значит, Гараж — это 7.
• Теплица: "располагаются теплица площадью 27 м? и парник". Площадь одной клетки: $1.5 \times 1.5 = 2.25$ м?. Объект ? занимает $3 \times 4 = 12$ клеток. Его площадь: $12 \times 2.25 = 27$ м?. Это совпадает с описанием теплицы. Значит, Теплица — это 1.
• Парник: Рядом с теплицей (?) находится объект ?. По смыслу это парник. Значит, Парник — это 2.
• Сарай: "есть маленький сарай для сельскохозяйственных инструментов рядом с яблоневым садом". Яблоневый сад расположен в верхней части газона. Рядом с ним находится небольшой объект ?. Значит, Сарай — это 6.

Заполним таблицу:

Ответ: 374621.

Площадь одной клетки на плане равна $1.5 \text{ м} \times 1.5 \text{ м} = 2.25$ м?.
Найдем площадь дома (объект ?). Он состоит из двух прямоугольников: $4 \times 3$ клетки и $2 \times 1$ клетка. Общее количество клеток: $(4 \times 3) + (2 \times 1) = 12 + 2 = 14$ клеток. Площадь дома: $14 \text{ клеток} \times 2.25 \text{ м?/клетку} = 31.5$ м?.
Найдем площадь гаража (объект ?). Он представляет собой прямоугольник размером $2 \times 4$ клетки. Количество клеток: $2 \times 4 = 8$ клеток. Площадь гаража: $8 \text{ клеток} \times 2.25 \text{ м?/клетку} = 18$ м?.

Ответ: площадь дома — 31.5 м?, площадь гаража — 18 м?.

В тексте сказано: "на нём [газоне] размещён батут, обозначенный цифрой 8". Это означает, что местоположение батута указано цифрой 8 на плане. Запланированная дорожка показана серым цветом. Нас интересует кратчайшее расстояние между батутом (клетка с цифрой 8) и дорожкой.
Дорожка и клетка с батутом являются смежными. В таких задачах расстояние между объектами на плане принято измерять между их центрами. Дорожка занимает один столбец клеток, а батут находится в соседнем столбце. Расстояние между центрами соседних клеток равно ширине одной клетки. Ширина одной клетки составляет 1.5 м.

Ответ: 1.5.

Сначала найдем общую площадь дорожек, которые нужно замостить плиткой. На плане они выделены серым цветом. Дорожки состоят из двух прямоугольных участков:
1. Вертикальная дорожка: длина 5 клеток, ширина 1 клетка. Площадь: $5 \times 1 = 5$ клеток.
2. Горизонтальная дорожка: длина 2 клетки, ширина 1 клетка. Площадь: $2 \times 1 = 2$ клетки.
Общая площадь дорожек в клетках: $5 + 2 = 7$ клеток.
Площадь одной клетки $2.25$ м?, значит, общая площадь дорожек в квадратных метрах: $7 \times 2.25 = 15.75$ м?.
Размер одной плитки $50 \times 50$ см, что равно $0.5 \times 0.5$ м. Площадь одной плитки: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ м?.
Количество плиток, необходимое для мощения: $15.75 \text{ м?} / 0.25 \text{ м?} = 63$ штуки.
Плитка продается в упаковках по 5 штук. Чтобы найти количество упаковок, разделим общее число плиток на количество в одной упаковке: $63 / 5 = 12.6$.
Поскольку купить можно только целое число упаковок, необходимо округлить результат в большую сторону, то есть потребуется 13 упаковок.

Ответ: 13.

Сначала определим размер клумбы. Клумба на плане обозначена цифрой ?. Она имеет форму квадрата со стороной 3 клетки. Так как сторона одной клетки 1.5 м, то сторона клумбы равна $3 \times 1.5 = 4.5$ м. Размер клумбы — $4.5 \times 4.5$ м. Общая площадь клумбы: $S_{общ} = 4.5 \text{ м} \times 4.5 \text{ м} = 20.25$ м?.
План клумбы на рисунке 4.40б показывает, как эта площадь делится между тремя ярусами. Из геометрии рисунка следует, что площади ярусов соотносятся как:
- Площадь внешнего яруса (первый ярус): $S_1 = \frac{1}{2} S_{общ}$
- Площадь среднего яруса (второй ярус): $S_2 = \frac{1}{4} S_{общ}$
- Площадь внутреннего яруса (третий ярус): $S_3 = \frac{1}{4} S_{общ}$
Рассчитаем площади ярусов в квадратных метрах:
$S_1 = \frac{1}{2} \times 20.25 = 10.125$ м?.
$S_2 = \frac{1}{4} \times 20.25 = 5.0625$ м?.
$S_3 = \frac{1}{4} \times 20.25 = 5.0625$ м?.
Теперь рассчитаем количество кустиков для каждого яруса согласно норме высадки:
- Первый ярус (тагетес): $10.125 \text{ м?} \times 60 \text{ кустиков/м?} = 607.5$ кустиков.
- Второй ярус (виола): $5.0625 \text{ м?} \times 70 \text{ кустиков/м?} = 354.375$ кустиков.
- Третий ярус (агератум): $5.0625 \text{ м?} \times 80 \text{ кустиков/м?} = 405$ кустиков.
Так как заказать можно только целое количество кустиков, на практике пришлось бы округлить дробные значения в большую сторону (608 и 355), но в рамках математической задачи приводим точные расчетные значения.

Ответ: размер клумбы $4.5 \times 4.5$ м. Для клумбы надо заказать 607.5 кустиков тагетеса, 354.375 кустиков виолы и 405 кустиков агератума.

7.78 Шоколад содержит 0,7 какао. Сколько килограммов какао потребуется для производства 1,2 ц такого шоколада?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала перевести общую массу шоколада в килограммы, а затем вычислить, какая часть этой массы приходится на какао.

1. Перевод массы из центнеров в килограммы.

В одном центнере (ц) содержится 100 килограммов (кг). Требуется произвести 1,2 ц шоколада. Найдем эту массу в килограммах:

$1,2 \text{ ц} = 1,2 \times 100 \text{ кг} = 120 \text{ кг}$

Таким образом, общая масса производимого шоколада составляет 120 кг.

2. Расчет массы какао.

По условию, шоколад содержит 0,7 какао. Это означает, что масса какао составляет 0,7 от общей массы шоколада. Чтобы найти массу какао, нужно общую массу шоколада умножить на долю какао:

$120 \text{ кг} \times 0,7 = 84 \text{ кг}$

Следовательно, для производства 1,2 ц шоколада потребуется 84 кг какао.

Ответ: 84 кг.

7.79 Используя калькулятор, вычислите:

а) Для вычисления значения выражения $146,6 \cdot 279,3 + 9287,9 : 26,2 - 388,4 \cdot 46,3$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции умножения и деления слева направо, а затем сложение и вычитание.

1. Выполним первое умножение: $146,6 \cdot 279,3 = 40941,18$.

2. Выполним деление: $9287,9 : 26,2 = 354,5$.

3. Выполним второе умножение: $388,4 \cdot 46,3 = 17982,92$.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним сложение и вычитание:

$40941,18 + 354,5 - 17982,92 = 41295,68 - 17982,92 = 23312,76$.

Ответ: $23312,76$.

б) Для вычисления значения выражения $479,36 : 6,4 : 2,8 + 0,27 \cdot 2,59 \cdot 33,3$ также следуем порядку действий. Сначала выполняются операции деления и умножения слева направо, а затем сложение.

1. Выполним деление слева направо. Первое деление: $479,36 : 6,4 = 74,9$.

2. Второе деление: $74,9 : 2,8 = 26,75$.

3. Выполним умножение слева направо. Первое умножение: $0,27 \cdot 2,59 = 0,6993$.

4. Второе умножение: $0,6993 \cdot 33,3 = 23,28669$.

5. Теперь сложим результаты, полученные в пунктах 2 и 4:

$26,75 + 23,28669 = 50,03669$.

Ответ: $50,03669$.

1 Соотнесите величину угла с его названием:

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения различных видов углов в геометрии.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

• Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.

• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

• Развёрнутый угол — это угол, равный $180^\circ$.

Теперь соотнесём каждую величину с её названием:

А

Угол величиной $90^\circ$ по определению является прямым углом. В списке названий "прямой" находится под номером 3.

Ответ: 3.

Б

Угол величиной $180^\circ$ по определению является развёрнутым углом. В списке названий "развёрнутый" находится под номером 4.

Ответ: 4.

В

Величина угла $89^\circ$ меньше $90^\circ$ ($89^\circ < 90^\circ$), следовательно, это острый угол. В списке названий "острый" находится под номером 1.

Ответ: 1.

Г

Величина угла $91^\circ$ больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($90^\circ < 91^\circ < 180^\circ$), следовательно, это тупой угол. В списке названий "тупой" находится под номером 2.

Ответ: 2.

2 Найдите угол, 13 которого равна 27°. Каким является найденный угол (развёрнутым, тупым, прямым, острым)?

Найдите угол, $\frac{1}{3}$ которого равна 27°

Пусть искомый угол равен $x$. Согласно условию, одна третья часть этого угла составляет $27^\circ$. Мы можем записать это как математическое уравнение:

$\frac{1}{3} \cdot x = 27^\circ$

Для того чтобы найти величину всего угла $x$, необходимо известную часть ($27^\circ$) умножить на знаменатель дроби, то есть на 3.

$x = 27^\circ \cdot 3$

$x = 81^\circ$

Ответ: искомый угол равен $81^\circ$.

Каким является найденный угол (развёрнутым, тупым, прямым, острым)?

Теперь определим тип найденного угла. Вспомним классификацию углов по их градусной мере:
– острый угол имеет меру меньше $90^\circ$;
– прямой угол равен ровно $90^\circ$;
– тупой угол имеет меру больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$;
– развёрнутый угол равен ровно $180^\circ$.

Найденный нами угол равен $81^\circ$. Сравнив это значение с $90^\circ$, получаем, что $81^\circ < 90^\circ$. Следовательно, найденный угол является острым.

Ответ: найденный угол является острым.

3 Какой угол (тупой, острый, прямой, развёрнутый) получится, если:

а) тупой угол уменьшить в 2 раза;

б) острый угол увеличить в 2 раза? Запишите все возможные варианты.

а) тупой угол уменьшить в 2 раза;

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Обозначим тупой угол как $\alpha$. Тогда его значение находится в интервале:

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$

Чтобы уменьшить этот угол в 2 раза, нужно разделить его градусную меру на 2. Применим это ко всему неравенству:

$\frac{90^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{180^\circ}{2}$

Выполнив деление, получим новый интервал для полученного угла:

$45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$

Угол, градусная мера которого находится в этом диапазоне (от $45^\circ$ до $90^\circ$), всегда будет острым, так как острый угол — это угол от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Ответ: острый угол.

б) острый угол увеличить в 2 раза? Запишите все возможные варианты.

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Обозначим острый угол как $\beta$. Тогда его значение находится в интервале:

$0^\circ < \beta < 90^\circ$

Чтобы увеличить этот угол в 2 раза, нужно умножить его градусную меру на 2. Применим это ко всему неравенству:

$2 \cdot 0^\circ < 2\beta < 2 \cdot 90^\circ$

Выполнив умножение, получим новый интервал для итогового угла:

$0^\circ < 2\beta < 180^\circ$

Этот диапазон значений включает в себя несколько видов углов. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Результат — острый угол. Это возможно, если итоговый угол $2\beta$ будет меньше $90^\circ$. Это условие выполняется, если исходный острый угол $\beta$ меньше $45^\circ$ ($0^\circ < \beta < 45^\circ$). Например, если $\beta = 40^\circ$, то $2\beta = 80^\circ$ (острый угол).
2. Результат — прямой угол. Это возможно, если итоговый угол $2\beta$ будет равен ровно $90^\circ$. Это условие выполняется, если исходный острый угол $\beta = 45^\circ$.
3. Результат — тупой угол. Это возможно, если итоговый угол $2\beta$ будет больше $90^\circ$. Это условие выполняется, если исходный острый угол $\beta$ больше $45^\circ$ ($45^\circ < \beta < 90^\circ$). Например, если $\beta = 60^\circ$, то $2\beta = 120^\circ$ (тупой угол).

Получить развёрнутый угол ($180^\circ$) невозможно, так как для этого исходный угол должен быть равен $90^\circ$, а это прямой угол, а не острый.

Ответ: острый, прямой, тупой.