Страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

9. Рассчитайте, сколько коробок печенья надо заказать для изготовления 5300 новогодних подарков, если пачки печенья размером 10 × 6 × 4 см находятся в коробке размером 60 × 54 × 44 см, а в подарок кладут одну пачку печенья.

Для того чтобы рассчитать необходимое количество коробок печенья, нужно выполнить несколько шагов: сначала определить, сколько пачек печенья помещается в одну большую коробку, а затем, зная общее требуемое количество пачек, вычислить итоговое число коробок.

1. Расчет вместимости одной коробки.

Размеры большой коробки: 60 см × 54 см × 44 см.
Размеры одной пачки печенья: 10 см × 6 см × 4 см.

Чтобы найти максимальное количество пачек, которое можно уложить в коробку, нужно сопоставить размеры коробки и пачки для наиболее эффективного использования пространства. Рассчитаем, сколько пачек поместится вдоль каждого измерения коробки:

• Вдоль стороны коробки длиной 60 см можно уложить пачки стороной 10 см: $60 \div 10 = 6$ штук.
• Вдоль стороны коробки длиной 54 см можно уложить пачки стороной 6 см: $54 \div 6 = 9$ штук.
• Вдоль стороны коробки длиной 44 см можно уложить пачки стороной 4 см: $44 \div 4 = 11$ штук.

Так как размеры коробки кратны размерам пачки, можно заполнить весь объем без пустот при такой укладке. Общее количество пачек в одной коробке равно произведению этих значений:

$6 \times 9 \times 11 = 594$ пачки.

2. Расчет необходимого количества коробок.

По условию, для изготовления 5300 новогодних подарков, в каждый из которых кладут одну пачку печенья, необходимо 5300 пачек печенья.

Чтобы найти количество коробок, которое нужно заказать, разделим общее необходимое количество пачек на количество пачек в одной коробке:

$\frac{5300}{594} \approx 8.9225...$

Поскольку заказать можно только целое количество коробок, а 8 коробок будет недостаточно ($8 \times 594 = 4752$, что меньше 5300), необходимо округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого.

Следовательно, нужно заказать 9 коробок.

Ответ: надо заказать 9 коробок печенья.

10. Объём воды в озёрах земного шара около 230 000 км³.

а) Какой высоты будет башня в форме прямоугольного параллелепипеда, если его основание - квадрат со стороной 0,5 м, а объём башни равен объёму воды в озёрах?

б) Сравните высоту такой башни с расстоянием от Земли до Луны. Недостающие данные найдите самостоятельно.

а) Для решения задачи найдем высоту $h$ башни в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем такой фигуры вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$ где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания, $h$ – высота.

По условию, объем башни равен объему воды в озерах земного шара: $V = 230\,000 \text{ км}^3$.

Основание башни – квадрат со стороной $a = 0,5 \text{ м}$. Найдем площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (0,5 \text{ м})^2 = 0,25 \text{ м}^2$.

Для проведения расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений. Переведем объем из кубических километров в кубические метры. В одном километре $1000$ метров ($1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$), следовательно, в одном кубическом километре: $1 \text{ км}^3 = (10^3 \text{ м})^3 = 10^9 \text{ м}^3$.

Теперь переведем объем воды в кубические метры: $V = 230\,000 \text{ км}^3 = 230\,000 \cdot 10^9 \text{ м}^3 = 2,3 \cdot 10^5 \cdot 10^9 \text{ м}^3 = 2,3 \cdot 10^{14} \text{ м}^3$.

Теперь мы можем вычислить высоту башни $h$: $h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{2,3 \cdot 10^{14} \text{ м}^3}{0,25 \text{ м}^2} = 9,2 \cdot 10^{14} \text{ м}$.

Для наглядности можно перевести высоту в километры: $h = 9,2 \cdot 10^{14} \text{ м} = 9,2 \cdot 10^{11} \text{ км}$.

Ответ: высота башни будет равна $9,2 \cdot 10^{14}$ метров (или $9,2 \cdot 10^{11}$ километров).

б) Сравним высоту полученной башни с расстоянием от Земли до Луны. Согласно справочным данным, среднее расстояние от Земли до Луны составляет приблизительно $d \approx 384\,400 \text{ км}$ (или $3,844 \cdot 10^5 \text{ км}$).

Высота нашей башни $h = 9,2 \cdot 10^{11} \text{ км}$.

Найдем отношение высоты башни к расстоянию до Луны, чтобы понять, во сколько раз высота больше: $\frac{h}{d} = \frac{9,2 \cdot 10^{11} \text{ км}}{3,844 \cdot 10^5 \text{ км}} \approx 2,393 \cdot 10^6$.

Это означает, что высота такой башни почти в 2,4 миллиона раз превышает расстояние от Земли до Луны.

Ответ: высота башни ($9,2 \cdot 10^{11}$ км) почти в 2,4 миллиона раз больше расстояния от Земли до Луны (приблизительно 384 400 км).

7.69 Вычислите.

а)

Выполним вычисления по шагам, следуя порядку действий, указанному в столбике:

1. Первое действие: вычитание. $8,1 - 0,9 = 7,2$.
2. Второе действие: деление результата первого действия на 8. $7,2 : 8 = 0,9$.
3. Третье действие: умножение результата второго действия на 0,2. $0,9 \cdot 0,2 = 0,18$.
4. Четвертое действие: сложение результата третьего действия с 0,22. $0,18 + 0,22 = 0,4$.

Ответ: 0,4.

б)

Выполним вычисления по шагам, следуя порядку действий, указанному в столбике:

1. Первое действие: вычитание. $0,62 - 0,4 = 0,22$.
2. Второе действие: деление результата первого действия на 0,2. $0,22 : 0,2 = 1,1$.
3. Третье действие: сложение результата второго действия с 3,4. $1,1 + 3,4 = 4,5$.
4. Четвертое действие: умножение результата третьего действия на 2. $4,5 \cdot 2 = 9$.

Ответ: 9.

в)

Выполним вычисления по шагам, следуя порядку действий, указанному в столбике:

1. Первое действие: деление. $4,8 : 6 = 0,8$.
2. Второе действие: умножение результата первого действия на 5. $0,8 \cdot 5 = 4$.
3. Третье действие: деление результата второго действия на 0,4. $4 : 0,4 = 10$.
4. Четвертое действие: деление результата третьего действия на 0,8. $10 : 0,8 = 12,5$.

Ответ: 12,5.

г)

Выполним вычисления по шагам, следуя порядку действий, указанному в столбике:

1. Первое действие: деление. $7 : 100 = 0,07$.
2. Второе действие: сложение результата первого действия с 0,33. $0,07 + 0,33 = 0,4$.
3. Третье действие: умножение результата второго действия на 50. $0,4 \cdot 50 = 20$.
4. Четвертое действие: вычитание 0,9 из результата третьего действия. $20 - 0,9 = 19,1$.

Ответ: 19,1.

д)

Выполним вычисления по шагам, следуя порядку действий, указанному в столбике:

1. Первое действие: умножение. $1,25 \cdot 2 = 2,5$.
2. Второе действие: деление результата первого действия на 5. $2,5 : 5 = 0,5$.
3. Третье действие: сложение результата второго действия с 1,2. $0,5 + 1,2 = 1,7$.
4. Четвертое действие: умножение результата третьего действия на 0,3. $1,7 \cdot 0,3 = 0,51$.

Ответ: 0,51.

7.70 Какие из углов на рисунке 7.21 прямые; развёрнутые?

Прямые: Прямым называется угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. На рисунке 7.21 можно выделить следующие прямые углы:
1. Угол $?CBA$. Его стороны $CB$ и $BA$ образуют прямой угол, как в квадрате или прямоугольнике.
2. Углы, образованные в результате пересечения двух перпендикулярных прямых $XV$ и $YZ$ в точке $Q$. Все четыре угла при их пересечении являются прямыми: $?XQY$, $?YQV$, $?VQZ$ и $?ZQX$.

Ответ: $?CBA, ?XQY, ?YQV, ?VQZ, ?ZQX$.

Развёрнутые: Развёрнутым называется угол, градусная мера которого равна $180^\circ$. Стороны такого угла лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. На рисунке 7.21 развёрнутыми являются следующие углы:
1. Угол $?MOK$, так как точки $M, O$ и $K$ лежат на одной прямой.
2. Угол $?NOL$, так как точки $N, O$ и $L$ лежат на одной прямой.
3. Угол $?YQZ$, так как точки $Y, Q$ и $Z$ лежат на одной прямой $YZ$.
4. Угол $?XQV$, так как точки $X, Q$ и $V$ лежат на одной прямой $XV$.

Ответ: $?MOK, ?NOL, ?YQZ, ?XQV$.

7.71 Развивай мышление. Определите закономерность и найдите следующее число.

a) В данной последовательности дробей $\frac{2.3}{0.6}, \frac{2.2}{1.3}, \frac{2.1}{2}, \frac{2}{2.7}$ можно выделить две независимые закономерности для числителей и знаменателей.

Последовательность числителей 2,3; 2,2; 2,1; 2 представляет собой арифметическую прогрессию, каждый следующий член которой уменьшается на 0,1. Следовательно, следующий числитель будет равен $2 - 0,1 = 1,9$.

Последовательность знаменателей 0,6; 1,3; 2; 2,7 также является арифметической прогрессией, каждый следующий член которой увеличивается на 0,7 (например, $1,3 - 0,6 = 0,7$). Следовательно, следующий знаменатель будет равен $2,7 + 0,7 = 3,4$.

Таким образом, следующее число в последовательности — это дробь, составленная из найденных числителя и знаменателя.

Ответ: $\frac{1.9}{3.4}$

б) Рассмотрим последовательность дробей $\frac{2.4}{7.2}, \frac{3.6}{1.2}, \frac{0.6}{1.8}, \frac{0.9}{0.3}$. Здесь закономерность более сложная и заключается в чередовании операций для числителей и знаменателей.

Проанализируем последовательность числителей: 2,4; 3,6; 0,6; 0,9. Закономерность заключается в чередовании операций умножения на 1,5 и деления на 6: $2,4 \times 1,5 = 3,6$; затем $3,6 \div 6 = 0,6$; затем $0,6 \times 1,5 = 0,9$. Следующей операцией будет деление на 6, поэтому следующий числитель: $0,9 \div 6 = 0,15$.

Теперь проанализируем последовательность знаменателей: 7,2; 1,2; 1,8; 0,3. Здесь наблюдается обратная последовательность операций: деление на 6 и умножение на 1,5: $7,2 \div 6 = 1,2$; затем $1,2 \times 1,5 = 1,8$; затем $1,8 \div 6 = 0,3$. Следующей операцией будет умножение на 1,5, поэтому следующий знаменатель: $0,3 \times 1,5 = 0,45$.

Собирая найденные числитель и знаменатель, получаем следующую дробь. В качестве проверки можно заметить, что значения дробей чередуются: $\frac{2.4}{7.2}=\frac{1}{3}$, $\frac{3.6}{1.2}=3$, $\frac{0.6}{1.8}=\frac{1}{3}$, $\frac{0.9}{0.3}=3$. Наше найденное число $\frac{0.15}{0.45}$ также равно $\frac{1}{3}$, что подтверждает закономерность.

Ответ: $\frac{0.15}{0.45}$

7.72 1) На ферме на зиму было заготовлено 91 ц сена. В марте осталось 27 всего запаса, а остальное было скормлено животным. Сколько центнеров сена было скормлено животным?

2) В теплице собрали 52 кг огурцов. На продажу в магазин отправили 1013 всех собранных огурцов, а остальные засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?

1) Всего на ферме было заготовлено 91 центнер (ц) сена. Это составляет целую часть, или 1. В марте осталась часть, равная $\frac{2}{7}$ от всего запаса. Чтобы найти, какая часть сена была скормлена животным, нужно из целого вычесть оставшуюся часть:

$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Теперь найдем, сколько центнеров составляет эта часть от общего количества сена. Для этого умножим общее количество сена на найденную дробь:

$91 \cdot \frac{5}{7} = \frac{91 \cdot 5}{7} = 13 \cdot 5 = 65$ (ц)

Следовательно, животным было скормлено 65 центнеров сена.

Ответ: 65 центнеров.

2) Всего в теплице собрали 52 кг огурцов. Это общее количество, которое мы принимаем за 1. На продажу отправили часть, равную $\frac{10}{13}$ от всех собранных огурцов. Чтобы узнать, какая часть огурцов была засолена, нужно из общего количества (1) вычесть часть, отправленную на продажу:

$1 - \frac{10}{13} = \frac{13}{13} - \frac{10}{13} = \frac{3}{13}$

Теперь вычислим, сколько килограммов составляет эта часть от общего веса огурцов. Для этого умножим общий вес огурцов на полученную дробь:

$52 \cdot \frac{3}{13} = \frac{52 \cdot 3}{13} = 4 \cdot 3 = 12$ (кг)

Таким образом, засолили 12 кг огурцов.

Ответ: 12 килограммов.

7.73 а) На рисунке 7.22 найдите, используя чертёжный треугольник, острые, прямые и тупые углы.

б) Измерьте углы транспортиром. Есть ли среди углов равные?

a) Для определения вида угла воспользуемся чертёжным треугольником, который имеет прямой угол ($90^\circ$). Сравнивая углы на рисунке с прямым углом треугольника, мы можем классифицировать их:

• Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (меньше $90^\circ$).
• Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, который больше прямого, но меньше развёрнутого (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$).

Проанализируем каждый рисунок:

1. На рисунке с вершиной в точке O: углы $\angle KON$ и $\angle NOM$ на вид меньше $90^\circ$, значит, они острые. Угол $\angle KOM$, который является их суммой, заметно больше $90^\circ$, следовательно, он тупой.
2. На рисунке с вершиной в точке T: приложив угольник, можно убедиться, что угол $\angle QTS$ является прямым. Все остальные углы, которые меньше него ($\angle QTP$, $\angle PTR$, $\angle RTS$, а также составные $\angle QTR$ и $\angle PTS$), являются острыми.
3. На рисунке с вершиной в точке Y: лучи YZ и YX образуют прямую линию, значит, угол $\angle ZYX$ — развёрнутый ($180^\circ$). Угол $\angle XYV$ меньше $90^\circ$, он — острый. Угол $\angle ZYV$ больше $90^\circ$, он — тупой.

Ответ:
Острые углы: $\angle KON, \angle NOM, \angle QTP, \angle PTR, \angle RTS, \angle QTR, \angle PTS, \angle XYV$.
Прямые углы: $\angle QTS$.
Тупые углы: $\angle KOM, \angle ZYV$.

б) Для измерения углов используем транспортир. Так как измерение по изображению на экране может быть неточным, приведём наиболее вероятные значения, которые можно было бы получить при работе с учебником.

Результаты измерений (приблизительные):

• Углы с вершиной O: $\angle KON \approx 55^\circ$ и $\angle NOM \approx 55^\circ$. Их сумма: $\angle KOM \approx 110^\circ$.
• Углы с вершиной T: $\angle QTS = 90^\circ$. Визуально лучи TP и TR делят прямой угол на три равные части, поэтому можно предположить, что $\angle QTP \approx 30^\circ$, $\angle PTR \approx 30^\circ$ и $\angle RTS \approx 30^\circ$. Составные углы будут равны: $\angle QTR = \angle QTP + \angle PTR \approx 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ и $\angle PTS = \angle PTR + \angle RTS \approx 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.
• Углы с вершиной Y: Углы $\angle XYV$ и $\angle ZYV$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Измерение острого угла даёт $\angle XYV \approx 45^\circ$. Тогда тупой угол равен $\angle ZYV = 180^\circ - \angle XYV \approx 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Анализируя полученные значения, мы можем найти равные между собой углы.

Ответ: Да, среди углов есть равные. На основании измерений можно выделить следующие группы равных углов:
1) $\angle KON = \angle NOM$ (оба примерно по $55^\circ$).
2) $\angle QTP = \angle PTR = \angle RTS$ (все примерно по $30^\circ$).
3) $\angle QTR = \angle PTS$ (оба примерно по $60^\circ$).

7.74 Начертите углы АВС = 120° и DBC = 45° с общей стороной ВС так, чтобы они лежали по одну сторону от неё. Найдите угол ABD.

Согласно условию задачи, у нас есть два угла, $\angle ABC$ и $\angle DBC$, которые имеют общую сторону $BC$ и расположены по одну сторону от нее.

Известны величины этих углов: $\angle ABC = 120^\circ$ и $\angle DBC = 45^\circ$.

Так как оба угла имеют общую сторону $BC$ и лежат по одну сторону от нее, а величина угла $\angle ABC$ больше величины угла $\angle DBC$ ($120^\circ > 45^\circ$), то луч $BD$ будет находиться внутри угла $\angle ABC$.

Это означает, что угол $\angle ABC$ складывается из двух смежных углов: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Таким образом, мы можем записать следующее равенство на основе аксиомы измерения углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

Чтобы найти искомый угол $\angle ABD$, необходимо из величины угла $\angle ABC$ вычесть величину угла $\angle DBC$: $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$

Подставим числовые значения в формулу: $\angle ABD = 120^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

Ответ: $75^\circ$

7.75 Нарисуйте пятиугольник, измерьте транспортиром его углы и сложите результаты измерений.

Для решения этой задачи необходимо выполнить три последовательных шага, описанных в условии.

Нарисуйте пятиугольник

Сначала на листе бумаги начертим произвольный выпуклый пятиугольник. Его стороны могут быть разной длины, а углы — разной величины. Обозначим вершины пятиугольника буквами А, В, С, D, E.

Измерьте транспортиром его углы

Далее, с помощью транспортира, измерим каждый из пяти внутренних углов. Поскольку мы выполняем эту задачу теоретически, приведем примерные значения, которые могли бы получиться при реальном измерении. Ваши значения будут зависеть от того, какой именно пятиугольник вы нарисуете.

Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения:

$\angle A \approx 108^{\circ}$

$\angle B \approx 115^{\circ}$

$\angle C \approx 100^{\circ}$

$\angle D \approx 105^{\circ}$

$\angle E \approx 112^{\circ}$

Сложите результаты измерений

Теперь сложим все полученные значения углов:

$108^{\circ} + 115^{\circ} + 100^{\circ} + 105^{\circ} + 112^{\circ} = 540^{\circ}$

Следует отметить, что сумма внутренних углов любого выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $S = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$, где $n$ — количество углов многоугольника. Для пятиугольника $n=5$.

Таким образом, теоретическая сумма углов всегда равна:

$S = (5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$

Это значит, что какой бы выпуклый пятиугольник вы ни нарисовали, сумма его углов всегда будет равна $540^{\circ}$. Результат, полученный вами с помощью транспортира, должен быть очень близок к этому значению. Небольшое расхождение (например, $539^{\circ}$ или $541^{\circ}$) является нормальным и объясняется погрешностью измерений.

Ответ: Сумма углов нарисованного пятиугольника, измеренных транспортиром, будет равна $540^{\circ}$ или значению, очень близкому к нему.

7.76 В прямоугольнике KLMN проведите прямые КМ и LN. Обозначьте точкой О пересечение прямых КМ и LN. Измерьте транспортиром углы KOL, LOM, MON и NOK. Какие из этих углов равны? Сумма каких углов равна 180°?

Сначала выполним построение, как указано в задаче. Начертим прямоугольник KLMN. Затем проведем две прямые (диагонали) KM и LN. Точку, где эти прямые пересекаются, обозначим как O.

В результате пересечения диагоналей в точке O образовались четыре центральных угла: $ \angle KOL $, $ \angle LOM $, $ \angle MON $ и $ \angle NOK $.

Измерьте транспортиром углы KOL, LOM, MON и NOK.

Величина этих углов зависит от соотношения сторон прямоугольника. Диагонали любого прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки $KO, OL, OM, ON$ равны между собой. Если измерить углы с помощью транспортира, мы заметим, что не все они равны (если только исходная фигура не квадрат, тогда все углы будут по $90^\circ$).

Например, для некоторого прямоугольника измерения могут дать следующие результаты: $ \angle KOL = 110^\circ $. Исходя из этого одного измерения, можно найти остальные углы. Угол $ \angle LOM $ является смежным с $ \angle KOL $, их сумма составляет $180^\circ$. Значит, $ \angle LOM = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $. Угол $ \angle MON $ является вертикальным к $ \angle KOL $, поэтому он ему равен: $ \angle MON = 110^\circ $. Угол $ \angle NOK $ является вертикальным к $ \angle LOM $, поэтому $ \angle NOK = 70^\circ $.

Ответ: Конкретные значения углов зависят от пропорций прямоугольника. В качестве примера, углы могут быть равны $110^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ$.

Какие из этих углов равны?

При пересечении двух прямых (в нашем случае диагоналей KM и LN) образуются пары вертикальных углов. Вертикальные углы всегда равны друг другу. В нашей конфигурации есть две пары таких углов:

1. Угол $ \angle KOL $ и угол $ \angle MON $ являются вертикальными, следовательно, они равны.

2. Угол $ \angle LOM $ и угол $ \angle NOK $ также являются вертикальными и, следовательно, равны.

Ответ: Равны пары вертикальных углов: $ \angle KOL = \angle MON $ и $ \angle LOM = \angle NOK $.

Сумма каких углов равна 180°?

Сумма смежных углов, которые вместе образуют развернутый угол (прямую линию), равна $180^\circ$. В точке O есть четыре пары смежных углов:

1. $ \angle KOL $ и $ \angle LOM $ (вместе образуют прямую KM).

2. $ \angle LOM $ и $ \angle MON $ (вместе образуют прямую LN).

3. $ \angle MON $ и $ \angle NOK $ (вместе образуют прямую KM).

4. $ \angle NOK $ и $ \angle KOL $ (вместе образуют прямую LN).

Ответ: Сумма равна $180^\circ$ у следующих пар смежных углов: $ \angle KOL + \angle LOM = 180^\circ $; $ \angle LOM + \angle MON = 180^\circ $; $ \angle MON + \angle NOK = 180^\circ $; $ \angle NOK + \angle KOL = 180^\circ $.

7.77 Начертите четырёхугольники ABCD и MNPQ. Измерьте транспортиром их углы, найдите сумму углов в каждом четырёхугольнике. Сделайте предположение о сумме углов в четырёхугольнике.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность действий: начертить два произвольных четырёхугольника, измерить их углы, найти сумму этих углов для каждого и на основе полученных результатов сделать общее предположение.

1. Нахождение суммы углов четырёхугольника ABCD

Начертим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD. Поскольку мы не можем использовать физический транспортир, представим, что мы его начертили и измерили углы. Например, у нас могли бы получиться следующие значения:

• Угол A: $\angle A = 80^\circ$
• Угол B: $\angle B = 105^\circ$
• Угол C: $\angle C = 100^\circ$
• Угол D: $\angle D = 75^\circ$

Теперь найдем сумму этих углов:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 80^\circ + 105^\circ + 100^\circ + 75^\circ = 360^\circ$

Ответ: Сумма углов в нашем примере четырёхугольника ABCD равна $360^\circ$.

2. Нахождение суммы углов четырёхугольника MNPQ

Теперь начертим другой четырёхугольник MNPQ, отличающийся по форме от первого, и также измерим его углы. Допустим, мы получили такие результаты:

• Угол M: $\angle M = 65^\circ$
• Угол N: $\angle N = 135^\circ$
• Угол P: $\angle P = 90^\circ$
• Угол Q: $\angle Q = 70^\circ$

Найдем сумму углов этого четырёхугольника:

$\angle M + \angle N + \angle P + \angle Q = 65^\circ + 135^\circ + 90^\circ + 70^\circ = 360^\circ$

Ответ: Сумма углов в нашем примере четырёхугольника MNPQ также равна $360^\circ$.

3. Предположение о сумме углов в четырёхугольнике

В обоих проведённых экспериментах, несмотря на то, что четырёхугольники были разными, сумма их внутренних углов оказалась одинаковой и равной $360^\circ$. Это позволяет сделать следующее предположение (которое в геометрии является теоремой).

Это можно доказать, если провести в любом выпуклом четырёхугольнике диагональ (например, AC в четырёхугольнике ABCD). Эта диагональ разделит четырёхугольник на два треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$). Сумма углов любого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Так как четырёхугольник состоит из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников:

$180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$ равна сумме углов $(\angle CAB + \angle B + \angle BCA) + (\angle ACD + \angle D + \angle DAC)$, что и составляет $360^\circ$.

Ответ: Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.