Страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.166 Найдите число десятков в частном:

а) 1888 : 8;

б) 903 : 7;

в) 1768 : 13;

г) 2605 : 5.

а) 1888 : 8. Чтобы найти число десятков в частном, сначала необходимо выполнить деление. Частное — это результат деления.

Вычислим частное: $1888 : 8 = 236$.

Теперь найдем число десятков в полученном результате 236. Число десятков в любом числе — это целая часть от деления этого числа на 10. Проще говоря, нужно отбросить последнюю цифру (разряд единиц). В числе 236 отбрасываем цифру 6, получаем 23.

Ответ: 23

б) 903 : 7. Сначала найдем частное от деления.

Вычислим частное: $903 : 7 = 129$.

Далее определим число десятков в полученном частном 129. Для этого отбросим последнюю цифру (разряд единиц). Отбросив 9, получаем 12.

Ответ: 12

в) 1768 : 13. Первым шагом находим частное.

Вычислим частное: $1768 : 13 = 136$.

Теперь найдем число десятков в результате, равном 136. Отбрасываем последнюю цифру 6 и получаем число 13.

Ответ: 13

г) 2605 : 5. Найдем результат деления (частное).

Вычислим частное: $2605 : 5 = 521$.

В полученном числе 521 найдем общее число десятков. Для этого отбросим последнюю цифру 1. В результате остается 52.

Ответ: 52

4.167 Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) увеличить его ширину в 3 раза;

б) увеличить его ширину в 3 раза, а длину в 4 раза;

в) увеличить его ширину в 3 раза, длину в 4 раза, а высоту в 2 раза?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, а $h$ – высота. Обозначим первоначальный объём как $V_1 = l \cdot w \cdot h$ и рассмотрим, как он изменится в каждом из предложенных случаев.

а) Если увеличить ширину в 3 раза, то новая ширина станет $w_2 = 3w$. Длина $l$ и высота $h$ остаются без изменений. Новый объём $V_2$ будет равен:
$V_2 = l \cdot w_2 \cdot h = l \cdot (3w) \cdot h = 3 \cdot (l \cdot w \cdot h) = 3V_1$.
Таким образом, объём параллелепипеда увеличится в 3 раза.
Ответ: увеличится в 3 раза.

б) Если увеличить ширину в 3 раза ($w_2 = 3w$) и длину в 4 раза ($l_2 = 4l$), а высота $h$ останется неизменной, то новый объём $V_2$ составит:
$V_2 = l_2 \cdot w_2 \cdot h = (4l) \cdot (3w) \cdot h = (4 \cdot 3) \cdot (l \cdot w \cdot h) = 12V_1$.
Таким образом, объём параллелепипеда увеличится в 12 раз.
Ответ: увеличится в 12 раз.

в) Если увеличить ширину в 3 раза ($w_2 = 3w$), длину в 4 раза ($l_2 = 4l$) и высоту в 2 раза ($h_2 = 2h$), то новый объём $V_2$ будет равен:
$V_2 = l_2 \cdot w_2 \cdot h_2 = (4l) \cdot (3w) \cdot (2h) = (4 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (l \cdot w \cdot h) = 24V_1$.
Таким образом, объём параллелепипеда увеличится в 24 раза.
Ответ: увеличится в 24 раза.

4.168 Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 4.32):

а) верхнюю и нижнюю грани;

б) две грани, имеющие общее ребро;

в) грани, имеющие общую вершину;

г) горизонтальные рёбра.

а) $\mathrm{ABCD}$ - верхняя грань

$\mathrm{NLMK}$ - нижняя грань

б) $\mathrm{ABCD}$ и $\mathrm{MCDK}$ имеют общее

ребро $\mathrm{CD}$

в) $\mathrm{ABCD}$, $\mathrm{MCDK}$ и $\mathrm{ADKN}$ имеют

общую вершину $D$

г) $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CB}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{AD}$, $\mathrm{KN}$, $\mathrm{NL}$, $\mathrm{LM}$, $\mathrm{MK}$ -

горизонтальные рёбра

а) верхнюю и нижнюю грани;

Прямоугольный параллелепипед имеет два основания — верхнюю и нижнюю грани, которые являются параллельными прямоугольниками. На основе анализа рисунка можно определить эти грани.
Верхняя грань (основание) образована вершинами, расположенными сверху: A, B, C, D. Таким образом, верхняя грань — это прямоугольник ABCD.
Нижняя грань (основание) образована вершинами, расположенными снизу: N, K, L, M. Таким образом, нижняя грань — это прямоугольник NKLM.
Ответ: верхняя грань — ABCD, нижняя грань — NKLM.

б) две грани, имеющие общее ребро;

Две грани, которые пересекаются по одному ребру, называются смежными. В параллелепипеде можно указать множество пар таких граней.
Возьмем, к примеру, ребро BC. Оно является общей стороной для верхней грани ABCD и правой боковой грани BCLK. Следовательно, эти две грани имеют общее ребро.
Другой пример: ребро AN является общим для передней грани ABKN и левой боковой грани ADMN.
Ответ: грани ABCD и BCLK (они имеют общее ребро BC).

в) грани, имеющие общую вершину;

В каждой вершине прямоугольного параллелепипеда сходятся ровно три грани. Рассмотрим в качестве примера вершину B.
В этой вершине пересекаются:
- Верхняя грань: ABCD.
- Передняя грань: ABKN.
- Правая боковая грань: BCLK.
Таким образом, эти три грани имеют общую вершину B.
Ответ: грани, имеющие общую вершину B, — это ABCD, ABKN и BCLK.

г) горизонтальные рёбра.

Горизонтальные рёбра — это рёбра, которые лежат в плоскостях верхнего и нижнего оснований. Они параллельны горизонтальной плоскости.
Рёбра верхнего основания: AB, BC, CD, DA.
Рёбра нижнего основания: NK, KL, LM, MN.
Всего у параллелепипеда 8 горизонтальных рёбер.
Ответ: AB, BC, CD, DA, NK, KL, LM, MN.

4.169 Четыре одинаковых вагона вмещают 24 контейнера. Сколько контейнеров могут вместить 20 таких вагонов?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, сколько контейнеров помещается в один вагон, а затем умножить это число на 20.

1. Найдем вместимость одного вагона. Известно, что 4 вагона вмещают 24 контейнера. Чтобы найти, сколько контейнеров в одном вагоне, разделим общее количество контейнеров на количество вагонов:

$24 \div 4 = 6$ (контейнеров)

Таким образом, один вагон вмещает 6 контейнеров.

2. Теперь вычислим, сколько контейнеров могут вместить 20 таких вагонов. Для этого умножим вместимость одного вагона на 20:

$6 \times 20 = 120$ (контейнеров)

Ответ: 120 контейнеров.

4.170 1) Площадь первой грядки в 3 раза меньше площади второй грядки. Найдите площадь каждой грядки, если площадь второй грядки на 6 м² больше площади первой грядки.

2) Найдите площадь каждой комнаты, если площадь первой комнаты в 3 раза больше площади второй комнаты, а площадь второй комнаты на 28 м² меньше площади первой комнаты.

1)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ м? — площадь первой грядки.

Из условия известно, что площадь первой грядки в 3 раза меньше площади второй. Следовательно, площадь второй грядки в 3 раза больше площади первой и равна $3x$ м?.

Также дано, что площадь второй грядки на 6 м? больше площади первой. Это означает, что разница между площадью второй и первой грядки составляет 6 м?. Составим уравнение:

$3x - x = 6$

Теперь решим это уравнение:

$2x = 6$

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Таким образом, площадь первой грядки равна 3 м?.

Теперь найдем площадь второй грядки, умножив площадь первой на 3:

$3 \cdot 3 = 9$ м?

Проверка: разница площадей составляет $9 - 3 = 6$ м?, что соответствует условию задачи.

Ответ: площадь первой грядки — 3 м?, площадь второй грядки — 9 м?.

2)

Для решения этой задачи также введем переменную. Пусть $x$ м? — площадь второй комнаты.

Из условия известно, что площадь первой комнаты в 3 раза больше площади второй. Значит, площадь первой комнаты составляет $3x$ м?.

Также дано, что площадь второй комнаты на 28 м? меньше площади первой. Это значит, что разница между площадью первой и второй комнаты равна 28 м?. Составим уравнение:

$3x - x = 28$

Решим полученное уравнение:

$2x = 28$

$x = 28 / 2$

$x = 14$

Следовательно, площадь второй комнаты равна 14 м?.

Теперь найдем площадь первой комнаты:

$3 \cdot 14 = 42$ м?

Проверка: разница площадей составляет $42 - 14 = 28$ м?, что соответствует условию задачи.

Ответ: площадь первой комнаты — 42 м?, площадь второй комнаты — 14 м?.

4.171 Найдите значение выражения:

1) 574 • (4086 + 3092);

2) 678 • (55 152 - 54 663);

3) 1 452 168 : (5690 - 5474);

4) 1 686 073 : (5100 - 4753).

1) ${574}^2·(4086 + 3092) = 4120172$

1)

$4086$

$+ 3092$

-----

$7178$

2)

$\times 7178$

$574$

-----

$28712$

$50246$

$+ 35890$

-------

$4120172$

2) ${678}^2·(55152 - 54663) = 331542$

1)

$55152$

$- 54663$

-------

$489$

2)

$\times 678$

$489$

-----

$6102$

$5424$

$+ 2712$

-------

$331542$

3) $1452168 : (5690 - 5474) = 6723$

1)

$5690$

$- 5474$

-------

$216$

2)

$1452168|216$

$- 1296$

-----

$6723$

$1561$

$- 1512$

-----

$496$

$- 432$

-----

$648$

$- 648$

-----

$0$

4) $1686073 : (5100 - 4753) = 4859$

1)

$5100$

$- 4753$

-------

$347$

2)

$1686073|347$

$- 1388$

------

$4859$

$2980$

$- 2776$

------

$2047$

$- 1735$

------

$3123$

$- 3123$

------

$0$

1) $574 \cdot (4086 + 3092)$
Для решения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение.
Первое действие (сложение в скобках):
$4086 + 3092 = 7178$
Второе действие (умножение):
$574 \cdot 7178 = 4119172$
Ответ: 4119172.

2) $678 \cdot (55152 - 54663)$
Сначала выполняем вычитание в скобках, а затем результат умножаем на 678.
Первое действие (вычитание в скобках):
$55152 - 54663 = 489$
Второе действие (умножение):
$678 \cdot 489 = 331542$
Ответ: 331542.

3) $1452168 : (5690 - 5474)$
Первым действием выполняем вычитание в скобках. Затем делим первое число на полученный результат.
Первое действие (вычитание в скобках):
$5690 - 5474 = 216$
Второе действие (деление):
$1452168 : 216 = 6723$
Ответ: 6723.

4) $1686073 : (5100 - 4753)$
Сначала находим разность чисел в скобках, а затем выполняем деление.
Первое действие (вычитание в скобках):
$5100 - 4753 = 347$
Второе действие (деление):
$1686073 : 347 = 4859$
Ответ: 4859.

4.172 Вычислите объёмы фигур (рис. 4.33), если объём каждого кубика равен 1мм³.

Для вычисления объёма каждой фигуры необходимо определить количество составляющих её кубиков. Поскольку объём одного кубика равен $1 \text{ мм}^3$, объём всей фигуры будет равен количеству кубиков, выраженному в кубических миллиметрах.

A
Фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед. Посчитаем количество кубиков по его измерениям: длина – 2 кубика, ширина – 1 кубик, высота – 4 кубика.
Общее количество кубиков равно произведению этих измерений: $2 \times 1 \times 4 = 8$.
Объём фигуры: $V_A = 8 \times 1 \text{ мм}^3 = 8 \text{ мм}^3$.
Ответ: $8 \text{ мм}^3$.

B
Фигура представляет собой куб, ребро которого состоит из 3 кубиков.
Общее количество кубиков: $3 \times 3 \times 3 = 27$.
Объём фигуры: $V_B = 27 \times 1 \text{ мм}^3 = 27 \text{ мм}^3$.
Ответ: $27 \text{ мм}^3$.

C
Фигура представляет собой большой куб, ребро которого состоит из 10 кубиков.
Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 10 = 1000$.
Объём фигуры: $V_C = 1000 \times 1 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Ответ: $1000 \text{ мм}^3$.

D
Фигура представляет собой один слой кубиков размером 10 на 10. Это прямоугольный параллелепипед с измерениями 10, 10 и 1 кубик.
Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 1 = 100$.
Объём фигуры: $V_D = 100 \times 1 \text{ мм}^3 = 100 \text{ мм}^3$.
Ответ: $100 \text{ мм}^3$.

E
Фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед, который можно рассматривать как фигуру C без верхнего слоя (фигуры D). Её измерения: 10 кубиков в длину, 10 в ширину и 9 в высоту.
Общее количество кубиков: $10 \times 10 \times 9 = 900$.
Либо можно вычесть количество кубиков фигуры D из фигуры C: $1000 - 100 = 900$.
Объём фигуры: $V_E = 900 \times 1 \text{ мм}^3 = 900 \text{ мм}^3$.
Ответ: $900 \text{ мм}^3$.

4.173 Вычислите, чему равен объём прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 4.32), если KN=6дм, KD=7дм, LN=11дм.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда ($V$) необходимо найти длины трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Из условия задачи и рисунка следует, что $KN$ является ребром параллелепипеда. Примем его длину за измерение $a$:
$a = KN = 6$ дм.

Квадрат пространственной диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Квадрат диагонали любой грани равен сумме квадратов двух рёбер, образующих эту грань. Например, для грани со сторонами $a$ и $c$, квадрат её диагонали $d_{ac}^2 = a^2 + c^2$.

В данной задаче отрезки $KD=7$ дм и $LN=11$ дм являются диагоналями. Если предположить их роли так, как это изображено на рисунке ($LN$ — диагональ основания, а $KD$ — пространственная диагональ), то расчёты приводят к математическому противоречию, так как квадрат высоты получается отрицательным числом. Это означает, что рисунок является условным, и роли диагоналей следует определить так, чтобы задача имела решение.

Единственная математически непротиворечивая комбинация — это когда $KD$ является диагональю грани, а $LN$ — пространственной диагональю.

1. Пусть $KD = 7$ дм — диагональ грани, образованной рёбрами $a$ и $c$. Найдём высоту $c$:
$KD^2 = a^2 + c^2$
$7^2 = 6^2 + c^2$
$49 = 36 + c^2$
$c^2 = 49 - 36 = 13$
$c = \sqrt{13}$ дм.

2. Пусть $LN = 11$ дм — пространственная диагональ. Найдём ширину $b$:
$LN^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Мы можем подставить уже известное значение $a^2+c^2 = KD^2 = 49$ в эту формулу:
$LN^2 = (a^2 + c^2) + b^2$
$11^2 = 49 + b^2$
$121 = 49 + b^2$
$b^2 = 121 - 49 = 72$
$b = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ дм.

3. Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a=6$ дм, $b=6\sqrt{2}$ дм, $c=\sqrt{13}$ дм), мы можем вычислить его объём:
$V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{13} = 36 \sqrt{2 \cdot 13} = 36\sqrt{26}$ дм$^3$.

Ответ: $36\sqrt{26}$ дм$^3$.

4.174 Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 34 м, 18 м и 26 м.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты. Формула для вычисления объёма (V) выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

Согласно условию задачи, измерения параллелепипеда равны 34 м, 18 м и 26 м. Подставим эти значения в формулу:

$V = 34 \text{ м} \cdot 18 \text{ м} \cdot 26 \text{ м}$

Выполним вычисления пошагово. Сначала умножим первые два измерения:

$34 \cdot 18 = 612$

Затем полученный результат умножим на третье измерение:

$612 \cdot 26 = 15912$

Так как исходные измерения даны в метрах (м), то объём будет измеряться в кубических метрах ($\text{м}^3$).

Ответ: $15912 \text{ м}^3$.

4.175 Амбар, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен зерном на высоту 2 м. Длина амбара 25 м, ширина 4 м. Найдите массу зерна в амбаре, если масса 1 м³ зерна равна 765 кг.

Для того чтобы найти массу зерна в амбаре, необходимо сначала вычислить объем, который занимает зерно, а затем умножить этот объем на массу одного кубического метра зерна.

1. Вычисление объема зерна

Амбар имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем, занимаемый зерном, также представляет собой прямоугольный параллелепипед. Его объем ($V$) вычисляется по формуле произведения длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($h$):

$V = a \cdot b \cdot h$

Согласно условию задачи, нам известны следующие параметры:

Длина амбара: $a = 25$ м.

Ширина амбара: $b = 4$ м.

Высота, на которую амбар заполнен зерном: $h = 2$ м.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления объема:

$V = 25 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 100 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м} = 200 \text{ м}^3$

Таким образом, объем зерна в амбаре составляет 200 кубических метров.

2. Вычисление массы зерна

Из условия известно, что масса одного кубического метра зерна равна 765 кг. Чтобы найти общую массу ($M$) всего зерна в амбаре, необходимо умножить найденный объем зерна на массу 1 м?.

$M = V \cdot 765 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Подставим значение объема:

$M = 200 \text{ м}^3 \cdot 765 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 153000 \text{ кг}$

При необходимости можно перевести массу в тонны, зная, что 1 т = 1000 кг:

$153000 \text{ кг} = 153 \text{ т}$

Ответ: 153000 кг.

7.53 Для проведения математического конкурса «Юный Архимед» необходимо было распечатать 640 бланков заданий. На одной копировальной машине распечатали 1120 всех бланков, а на другой — оставшуюся часть. Сколько бланков распечатали на второй копировальной машине?

Для решения задачи необходимо найти, какое количество бланков было распечатано на второй копировальной машине.

1. Сначала определим, какую долю от общего числа бланков распечатали на второй машине. Все бланки составляют целое, то есть 1. На первой машине распечатали $\frac{11}{20}$ всех бланков. Чтобы найти долю второй машины, вычтем долю первой машины из единицы:

$1 - \frac{11}{20} = \frac{20}{20} - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$

Таким образом, на второй машине распечатали $\frac{9}{20}$ всех бланков.

2. Теперь вычислим, сколько бланков составляет эта доля от общего количества в 640 бланков. Для этого нужно умножить общее количество бланков на найденную дробь:

$640 \cdot \frac{9}{20}$

Сократим 640 и 20 на 20:

$\frac{640}{20} = 32$

Теперь умножим полученное число на числитель дроби:

$32 \cdot 9 = 288$

Следовательно, на второй копировальной машине распечатали 288 бланков.

Ответ: 288 бланков.

7.54 Футболка стоила 800 р. При распродаже цену на неё снизили на 0,2 первоначальной цены. Какое наибольшее количество футболок можно купить при распродаже на 2000 р.?

1. Сначала найдём цену футболки после снижения. Первоначальная цена составляла 800 рублей. Цена была снижена на 0,2 от первоначальной цены.

Величина скидки составляет:
$800 \cdot 0,2 = 160$ рублей.

Новая цена футболки на распродаже:
$800 - 160 = 640$ рублей.

2. Теперь определим, какое наибольшее количество футболок можно купить на 2000 рублей по новой цене. Для этого разделим имеющуюся сумму на цену одной футболки:
$2000 \div 640 \approx 3,125$.

Так как количество футболок может быть только целым числом, и на 4 футболки денег не хватит ($4 \cdot 640 = 2560$ р., что больше 2000 р.), то максимальное количество футболок, которое можно приобрести, — это 3.

Проверим стоимость трех футболок:
$3 \cdot 640 = 1920$ рублей.
Эта сумма меньше 2000 рублей, значит, покупка возможна.

Ответ: 3.

7.55 Андрей в первый день выучил 0,32 заданных учителем английских слов, во второй день — 0,46 английских слов, а в третий — оставшиеся 11 слов. Сколько английских слов выучил Андрей за три дня?

Для решения задачи обозначим общее количество слов, заданных учителем, через $x$.

1. Найдем, какую долю от общего количества слов Андрей выучил за первые два дня. Для этого сложим доли, выученные в первый и второй день:
$0,32 + 0,46 = 0,78$
Таким образом, за первые два дня Андрей выучил $0,78$ всех заданных слов.

2. Теперь найдем, какая доля слов осталась на третий день. Для этого из общего количества (принятого за 1) вычтем долю, выученную за первые два дня:
$1 - 0,78 = 0,22$
Следовательно, на третий день Андрею осталось выучить $0,22$ от общего количества слов.

3. По условию, в третий день Андрей выучил 11 слов, что и составляет $0,22$ от общего числа слов $x$. Можем составить уравнение:
$0,22 \cdot x = 11$

4. Теперь найдем общее количество слов $x$, решив это уравнение:
$x = \frac{11}{0,22}$
$x = \frac{1100}{22}$
$x = 50$
Таким образом, общее количество слов, которое Андрей выучил за три дня, равно 50.

Ответ: 50 слов.

7.56 Во время посадки нового леса руководитель поставил 0,2 числа участников проекта подносить посадочный материал, а остальных разделил на две бригады. В первой бригаде было в 9 раз меньше человек, чем во второй. Сколько человек было во второй бригаде, если всего было 250 участников?

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько последовательных шагов.

1. Вычислим количество участников, которые подносили посадочный материал.
Согласно условию, это 0,2 от общего числа участников, которое составляет 250 человек.
$250 \cdot 0,2 = 50$ (человек).

2. Определим, сколько всего человек было в двух бригадах.
Это оставшиеся участники проекта. Вычтем из общего числа участников тех, кто подносил материал.
$250 - 50 = 200$ (человек).

3. Найдем количество человек в каждой из бригад.
Пусть $x$ — это количество человек в первой бригаде. В условии сказано, что в первой бригаде было в 9 раз меньше человек, чем во второй. Следовательно, во второй бригаде было в 9 раз больше человек, то есть $9x$.
Общее количество человек в двух бригадах равно 200. Составим и решим уравнение:
$x + 9x = 200$
$10x = 200$
$x = \frac{200}{10}$
$x = 20$ (человек) — было в первой бригаде.

Теперь, зная количество человек в первой бригаде, найдем, сколько их было во второй:
$9 \cdot x = 9 \cdot 20 = 180$ (человек).

Проверка: В первой бригаде 20 человек, во второй 180. Всего в бригадах $20 + 180 = 200$ человек. С теми, кто подносил материал (50 человек), общее число участников составляет $200 + 50 = 250$ человек. Соотношение $180 / 20 = 9$ показывает, что в первой бригаде действительно в 9 раз меньше людей. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: во второй бригаде было 180 человек.