Страница 149, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.142 Вычислите значение выражения:

1) $(10312 + 121·48) : (1224 - 976) =$

= 65

1) $\begin{array}{cc}& 121\\ \times & 48\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 968\\ + & 484\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 5808\end{array}$

2) $\begin{array}{cc} + & 10312\\ & 5808\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 16120\end{array}$

3) $\begin{array}{cc} - & 1224\\ & 976\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 248\end{array}$

4) $\begin{array}{cccc} - & 16120& \text{|}& 248\\ & 1488& \text{|}& 65\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}& \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ - & 1240& & \\ & 1240& & \\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}& & \\ & 0& & \end{array}$

2) $(34·141 + 12678) : (1191 - 879) =$

= 56

1) $\begin{array}{cc}& 141\\ \times & 34\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 564\\ + & 423\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 4794\end{array}$

2) $\begin{array}{cc} + & 12678\\ & 4794\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 17472\end{array}$

3) $\begin{array}{cc} - & 1191\\ & 879\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ & 312\end{array}$

4) $\begin{array}{cccc} - & 17472& \text{|}& 312\\ & 1560& \text{|}& 56\\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}& \multicolumn{2}{c}{\text{—}}\\ - & 1872& & \\ & 1872& & \\ \multicolumn{2}{c}{\text{—}}& & \\ & 0& & \end{array}$

1) $(10 312 + 121 \cdot 48) : (1224 - 976)$

Для вычисления значения выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются операции в скобках (умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием), а затем деление между результатами скобок.
1. Выполним умножение в первой скобке: $121 \cdot 48 = 5808$.
2. Затем выполним сложение в первой скобке: $10 312 + 5808 = 16 120$.
3. Выполним вычитание во второй скобке: $1224 - 976 = 248$.
4. Наконец, разделим результат первой скобки на результат второй: $16 120 : 248 = 65$.
Ответ: 65

2) $(34 \cdot 141 + 12 678) : (1191 - 879)$

Решим данное выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.
1. Выполним умножение в первой скобке: $34 \cdot 141 = 4794$.
2. Затем выполним сложение в первой скобке: $4794 + 12 678 = 17 472$.
3. Выполним вычитание во второй скобке: $1191 - 879 = 312$.
4. В последнем действии разделим результаты, полученные в скобках: $17 472 : 312 = 56$.
Ответ: 56

4.143 Составьте формулу для нахождения площади S поверхности куба с ребром а.

Поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Длина ребра куба задана как $a$. Следовательно, каждая грань куба — это квадрат со стороной $a$.

Площадь одного такого квадрата (одной грани) вычисляется по формуле площади квадрата: сторона, умноженная на сторону. Обозначим площадь одной грани как $S_{\text{грани}}$.

$S_{\text{грани}} = a \cdot a = a^2$

Чтобы найти общую площадь поверхности куба $S$, необходимо сложить площади всех его шести граней. Так как все грани одинаковы, можно просто умножить площадь одной грани на 6.

$S = 6 \cdot S_{\text{грани}} = 6a^2$

Таким образом, мы получили искомую формулу.

Ответ: $S = 6a^2$

4.144 Напишите формулу для вычисления суммы L длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, если его измерения а, b и с.

Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой 12 рёбер. Его измерения, то есть длина, ширина и высота, обозначены как $a$, $b$ и $c$.

Рёбра прямоугольного параллелепипеда можно разделить на три группы по четыре равных и параллельных ребра в каждой:

• 4 ребра имеют длину $a$;
• 4 ребра имеют длину $b$;
• 4 ребра имеют длину $c$.

Чтобы найти сумму длин $L$ всех рёбер, необходимо сложить длины всех 12 рёбер. Это можно сделать, умножив каждое измерение на 4 и сложив полученные результаты.

Сумма длин всех рёбер с длиной $a$ равна $4a$.
Сумма длин всех рёбер с длиной $b$ равна $4b$.
Сумма длин всех рёбер с длиной $c$ равна $4c$.

Складывая эти значения, получаем общую сумму длин $L$:

$L = 4a + 4b + 4c$

Для упрощения этой формулы можно вынести общий множитель 4 за скобки:

$L = 4(a + b + c)$

Это и есть искомая формула для вычисления суммы длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: $L = 4(a + b + c)$

4.145 Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба, если его ребро равно 7 дм.

Площадь поверхности
Площадь поверхности куба складывается из площадей шести его одинаковых граней. Каждая грань представляет собой квадрат.
Длина ребра куба, обозначим ее как $a$, равна 7 дм.
Площадь одной грани (квадрата) вычисляется по формуле: $S_{грани} = a^2$.
Подставляем значение ребра:
$S_{грани} = 7^2 = 49$ дм².
Так как у куба 6 граней, то полная площадь поверхности $S$ вычисляется по формуле: $S = 6 \cdot a^2$.
$S = 6 \cdot 49 = 294$ дм².
Ответ: 294 дм².

Сумма длин всех рёбер
Куб имеет 12 рёбер, и все они имеют одинаковую длину.
Длина одного ребра $a = 7$ дм.
Сумма длин всех рёбер ($L$) — это произведение количества рёбер на длину одного ребра.
Формула для вычисления: $L = 12 \cdot a$.
Подставляем значение ребра:
$L = 12 \cdot 7 = 84$ дм.
Ответ: 84 дм.

4.146 Найдите массу краски, необходимой для покраски деревянной детали (рис. 4.25), если расход краски на 1см² поверхности равен 3г.

Для того чтобы найти массу краски, необходимой для покраски детали, сначала нужно вычислить общую площадь ее поверхности. Деталь представляет собой тело, состоящее из двух соединенных прямоугольных параллелепипедов. Площадь поверхности такого тела можно найти, сложив площади всех его внешних граней.

Давайте вычислим площадь каждой грани по отдельности:

• Передняя и задняя грани: Каждая из них имеет L-образную форму. Площадь такой фигуры можно найти, разбив ее на два прямоугольника. Например, нижний прямоугольник с размерами $4 \times 3$ см и верхний с размерами $3 \times 3$ см. Однако, они пересекаются. Более простой способ — посчитать площадь как сумму двух непересекающихся прямоугольников: один размером $(4-3) \times 3 = 1 \times 3$ см и второй размером $3 \times (3+3) = 3 \times 6$ см. Таким образом, площадь одной грани: $S_{1} = (1 \times 3) + (3 \times 6) = 3 + 18 = 21$ см?. Так как таких граней две (передняя и задняя), их общая площадь: $2 \times 21 = 42$ см?.
• Нижняя грань (основание): Это прямоугольник с размерами $4 \times 6$ см. Его площадь: $S_{2} = 4 \times 6 = 24$ см?.
• Верхние грани: Их две. Одна — верхняя грань большего блока размером $3 \times 6$ см, ее площадь $18$ см?. Вторая — "ступенька" размером $(4-3) \times 6 = 1 \times 6$ см, ее площадь $6$ см?. Общая площадь верхних граней: $S_{3} = 18 + 6 = 24$ см?.
• Боковые грани:
  • Правая боковая грань — это квадрат со стороной $3+3=6$ см. Его площадь: $S_{4} = 6 \times 6 = 36$ см?.
  • Левая боковая грань (со стороны выступающей части) — это прямоугольник размером $3 \times 6$ см. Его площадь: $S_{5} = 3 \times 6 = 18$ см?.
  • Внутренняя вертикальная грань ("подступенка") — это прямоугольник размером $3 \times 6$ см. Его площадь: $S_{6} = 3 \times 6 = 18$ см?.

Теперь сложим площади всех граней, чтобы найти общую площадь поверхности детали:

$S_{общая} = (S_{передняя} + S_{задняя}) + S_{нижняя} + S_{верхние} + S_{правая} + S_{левая} + S_{внутренняя}$

$S_{общая} = 42 + 24 + 24 + 36 + 18 + 18 = 162$ см?.

Расход краски составляет 3 г на 1 см?. Чтобы найти общую массу необходимой краски, умножим общую площадь поверхности на расход краски:

Масса краски $= S_{общая} \times 3 \text{ г/см}^2 = 162 \times 3 = 486$ г.

Ответ: 486 г.

4.147 Найдите площадь и периметр прямоугольного фасада дома с длиной 105 м и высотой 27 м.

Площадь
Площадь прямоугольного фасада ($S$) вычисляется по формуле произведения его длины ($a$) на высоту ($b$):
$S = a \cdot b$
По условию задачи, длина фасада $a = 105$ м, а высота $b = 27$ м.
Подставляем значения в формулу:
$S = 105 \, \text{м} \cdot 27 \, \text{м} = 2835 \, \text{м}^2$
Ответ: площадь фасада дома равна 2835 м?.

Периметр
Периметр прямоугольного фасада ($P$) — это сумма длин всех его сторон, которая вычисляется по формуле:
$P = 2 \cdot (a + b)$
Подставляем известные значения длины и высоты:
$P = 2 \cdot (105 \, \text{м} + 27 \, \text{м})$
$P = 2 \cdot 132 \, \text{м} = 264 \, \text{м}$
Ответ: периметр фасада дома равен 264 м.

4.148 Максим догонял Антона на велосипеде со скоростью 215 м/мин, а Антон шёл со скоростью 90 м/мин. Через сколько минут Максим догонит Аптона, если сейчас расстояние между ними равно 1 км 500 м?

Для того чтобы определить, через сколько минут Максим догонит Антона, необходимо найти скорость их сближения и разделить на нее начальное расстояние между ними.

Сначала приведем все единицы измерения к единой системе. Скорости даны в метрах в минуту (м/мин), поэтому необходимо перевести расстояние, данное в километрах и метрах, в метры.
Начальное расстояние $S$ равно 1 км 500 м. В одном километре 1000 метров, следовательно:
$S = 1 \text{ км } 500 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1500 \text{ м}$.

Далее найдем скорость сближения. Поскольку Максим догоняет Антона, они движутся в одном направлении. Скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_{Максима} - v_{Антона}$
$v_{сбл} = 215 \text{ м/мин} - 90 \text{ м/мин} = 125 \text{ м/мин}$.
Это означает, что каждую минуту расстояние между Максимом и Антоном сокращается на 125 метров.

Теперь, зная начальное расстояние (1500 м) и скорость сближения (125 м/мин), можно вычислить время $t$, через которое Максим догонит Антона, по формуле $t = S / v$:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{1500 \text{ м}}{125 \text{ м/мин}} = 12 \text{ мин}$.

Ответ: 12 минут.

4.149 Составьте схему вычисления выражения и найдите его значение:

а) $(24 \cdot 258 : 43 + 4590 : 102 - 20) : 13$

Для решения данного выражения составим схему вычислений, определив порядок действий в соответствии с правилами математики. Сначала выполняются действия в скобках, при этом умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием и выполняются слева направо. Последним действием будет деление за скобками.

Схема вычислений (порядок действий):

1. Умножение в скобках: $24 \cdot 258 = 6192$.
2. Первое деление в скобках: $6192 : 43 = 144$.
3. Второе деление в скобках: $4590 : 102 = 45$.
4. Сложение в скобках: $144 + 45 = 189$.
5. Вычитание в скобках: $189 - 20 = 169$.
6. Деление за скобками: $169 : 13 = 13$.

Таким образом, итоговое значение выражения равно 13.

Ответ: 13

б) $(372 + 118 \cdot 6) : (38 \cdot 35 - 34 \cdot 37) - 12$

Составим схему вычислений для этого выражения. Сначала выполняем действия в каждой из скобок, затем деление результатов, полученных в скобках, и в последнюю очередь — вычитание.

Схема вычислений (порядок действий):

1. Умножение в первой скобке: $118 \cdot 6 = 708$.
2. Сложение в первой скобке: $372 + 708 = 1080$.
3. Первое умножение во второй скобке: $38 \cdot 35 = 1330$.
4. Второе умножение во второй скобке: $34 \cdot 37 = 1258$.
5. Вычитание во второй скобке: $1330 - 1258 = 72$.
6. Деление результатов из скобок: $1080 : 72 = 15$.
7. Вычитание: $15 - 12 = 3$.

Таким образом, итоговое значение выражения равно 3.

Ответ: 3

4.150 Установите закономерность и найдите три следующих числа в ряду:

а) 12, 14, 16, ...;

б) 3, 6, 12, 24, ...;

в) 1, 5, 25, ...;

г) 1, 4, 9, 16, ...;

д) 2, 5, 4, 8, 6, 11, ...;

е) 1, 8, 27, ... .

а) 12, 14, 16, 18, 20, 22

Каждое следующее число на 2 больше предыдущего.

б) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 191

Каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего.

в) 1, 5, 25, 125, 625, 3125

$25\times 5 = 125$

$125\times 5 = 625$

$625\times 5 = 3125$

Каждое следующее число в 5 раз больше предыдущего.

г) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

Квадраты натуральных чисел.

д) 2, 5, 4, 8, 6, 11, 8, 14, 10

Прибавляем 3, вычитаем 1;

прибавляем 4, вычитаем 2;

прибавляем 5, вычитаем 3;

прибавляем 6, вычитаем 4.

Второй способ:

Числа, стоящие на нечётных местах, увеличиваются на 2.

Числа, стоящие на чётных местах, увеличиваются на 3.

е) 1, 8, 27, 64, 125, 216

Кубы натуральных чисел.

а) В данном ряду каждое следующее число получается путем прибавления 2 к предыдущему. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 12$ и разностью $d = 2$.
$12 + 2 = 14$
$14 + 2 = 16$
Следующие три члена ряда:
$16 + 2 = 18$
$18 + 2 = 20$
$20 + 2 = 22$
Ответ: 18, 20, 22.

б) В этом ряду каждое следующее число получается путем умножения предыдущего на 2. Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 2$.
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 2 = 12$
$12 \times 2 = 24$
Следующие три члена ряда:
$24 \times 2 = 48$
$48 \times 2 = 96$
$96 \times 2 = 192$
Ответ: 48, 96, 192.

в) Здесь каждое следующее число получается умножением предыдущего на 5. Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 5$.
$1 \times 5 = 5$
$5 \times 5 = 25$
Следующие три члена ряда:
$25 \times 5 = 125$
$125 \times 5 = 625$
$625 \times 5 = 3125$
Ответ: 125, 625, 3125.

г) Этот ряд состоит из квадратов последовательных натуральных чисел.
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
Следующие три члена ряда будут квадратами чисел 5, 6 и 7:
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
Ответ: 25, 36, 49.

д) В данном ряду можно выделить две чередующиеся последовательности.
Первая последовательность (на нечетных местах): 2, 4, 6, ... Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член больше предыдущего на 2.
Вторая последовательность (на четных местах): 5, 8, 11, ... Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член больше предыдущего на 3.
Найдем следующие три числа в исходном ряду:
Седьмое число (нечетное место) будет следующим в первой последовательности: $6 + 2 = 8$.
Восьмое число (четное место) будет следующим во второй последовательности: $11 + 3 = 14$.
Девятое число (нечетное место) будет следующим в первой последовательности: $8 + 2 = 10$.
Ответ: 8, 14, 10.

е) Этот ряд состоит из кубов последовательных натуральных чисел.
$1 = 1^3$
$8 = 2^3$
$27 = 3^3$
Следующие три члена ряда будут кубами чисел 4, 5 и 6:
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
Ответ: 64, 125, 216.

Волонтёры собрали подарки для детей к Новому году и сложили их в коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда размером 60 × 40 × 50 см. Грани коробки договорились заклеить обёрточной бумагой, а рёбра коробки украсить мишурой.

1 Сколько граней имеет коробка? Сколько рёбер у коробки?

Сколько граней имеет коробка?

Коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, является многогранником. Любой прямоугольный параллелепипед ограничен шестью плоскими поверхностями, которые называются гранями. У него есть верхняя и нижняя грани (основания), а также четыре боковые грани (передняя, задняя, левая и правая). Таким образом, у коробки 6 граней.

Ответ: 6 граней.

Сколько рёбер у коробки?

Рёбрами многогранника называют отрезки, по которым пересекаются его грани. В прямоугольном параллелепипеде можно выделить три группы рёбер. Каждая группа состоит из четырёх рёбер одинаковой длины. Четыре ребра образуют нижнее основание, четыре — верхнее, и ещё четыре боковых ребра соединяют вершины оснований. Общее количество рёбер можно найти, сложив количество рёбер в этих группах: $4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12 рёбер.

2 Найдите площадь каждой грани коробки.

Поскольку в условии задачи не представлены конкретные размеры коробки (длина, ширина, высота), решение будет представлено в общем виде.

Коробка, как правило, представляет собой прямоугольный параллелепипед. У него 6 граней, которые попарно равны. Это означает, что есть всего три уникальных значения площади для трех пар граней.

Обозначим измерения коробки:
$a$ – длина;
$b$ – ширина;
$c$ – высота.

Площадь верхней и нижней граней
Верхняя и нижняя грани — это два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна произведению длины на ширину.
Формула: $S_1 = a \cdot b$.
Ответ: Площадь верхней грани равна $a \cdot b$, площадь нижней грани также равна $a \cdot b$.

Площадь передней и задней граней
Передняя и задняя грани — это два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $c$. Площадь каждого из них равна произведению длины на высоту.
Формула: $S_2 = a \cdot c$.
Ответ: Площадь передней грани равна $a \cdot c$, площадь задней грани также равна $a \cdot c$.

Площадь боковых граней (левой и правой)
Боковые грани — это два одинаковых прямоугольника со сторонами $b$ и $c$. Площадь каждого из них равна произведению ширины на высоту.
Формула: $S_3 = b \cdot c$.
Ответ: Площадь левой боковой грани равна $b \cdot c$, площадь правой боковой грани также равна $b \cdot c$.

3 Сколько метров мишуры понадобится для украшения коробки?

Для того чтобы решить данную задачу, необходимо знать размеры коробки, а также способ, которым ее будут украшать мишурой. Поскольку эта информация в условии отсутствует, сделаем наиболее логичное предположение: коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а мишура будет наклеена вдоль всех ее ребер.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер. Если его измерения — это длина (a), ширина (b) и высота (c), то у него есть по 4 ребра каждой из этих длин. Общая длина всех ребер (L), которая и будет равна необходимой длине мишуры, вычисляется по формуле: $L = 4 \cdot (a + b + c)$

Зададим для примера конкретные, но произвольные размеры для нашей коробки:
Длина a = 50 см
Ширина b = 30 см
Высота c = 20 см

Теперь подставим эти значения в формулу, чтобы рассчитать общую длину ребер:
$L = 4 \cdot (50 \text{ см} + 30 \text{ см} + 20 \text{ см})$
$L = 4 \cdot (100 \text{ см})$
$L = 400 \text{ см}$

В вопросе требуется указать ответ в метрах. Для перевода сантиметров в метры, нужно разделить полученное значение на 100, так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$:
$400 \text{ см} = \frac{400}{100} \text{ м} = 4 \text{ м}$

Ответ: 4 метра.

4* В таблице представлены различные размеры обёрточной бумаги. Выберите наиболее выгодный вариант покупки, чтобы оклеить бумагой все грани коробки (без нахлёста).

Для выбора наиболее выгодного варианта покупки необходимо сначала определить площадь поверхности, которую нужно оклеить. В самом задании размеры коробки не указаны, но такие задачи обычно являются частью одного большого задания, где размеры даны ранее. Предположим, что речь идет о коробке с размерами (длина, ширина, высота) $60$ см, $40$ см и $20$ см.

Площадь полной поверхности коробки (прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле $S_{общ} = 2(ab + ac + bc)$, где $a, b, c$ — её измерения.

Подставим наши значения:

$S_{общ} = 2(60 \cdot 40 + 60 \cdot 20 + 40 \cdot 20) = 2(2400 + 1200 + 800) = 2 \cdot 4400 = 8800$ см$^2$.

Итак, нам нужно купить бумагу, общая площадь которой будет не меньше $8800$ см$^2$. Теперь проанализируем каждый вариант из таблицы.

1. Размер 40 ? 70 см, цена 50 р.

Площадь одного листа: $40 \cdot 70 = 2800$ см$^2$.
Необходимое количество листов: $8800 / 2800 \approx 3,14$. Поскольку листы можно купить только целиком, нужно приобрести 4 листа.
Стоимость покупки: $4 \cdot 50 = 200$ р.

2. Размер 60 ? 60 см, цена 75 р.

Площадь одного листа: $60 \cdot 60 = 3600$ см$^2$.
Необходимое количество листов: $8800 / 3600 \approx 2,44$. Необходимо приобрести 3 листа.
Стоимость покупки: $3 \cdot 75 = 225$ р.

3. Размер 50 ? 50 см, цена 50 р.

Площадь одного листа: $50 \cdot 50 = 2500$ см$^2$.
Необходимое количество листов: $8800 / 2500 = 3,52$. Необходимо приобрести 4 листа.
Стоимость покупки: $4 \cdot 50 = 200$ р.

4. Размер 40 ? 120 см, цена 90 р.

Площадь одного листа: $40 \cdot 120 = 4800$ см$^2$.
Необходимое количество листов: $8800 / 4800 \approx 1,83$. Необходимо приобрести 2 листа.
Стоимость покупки: $2 \cdot 90 = 180$ р.

Сравниваем стоимость всех вариантов:

• Вариант 1: 200 р.
• Вариант 2: 225 р.
• Вариант 3: 200 р.
• Вариант 4: 180 р.

Наименьшая стоимость составляет 180 рублей.

Ответ: наиболее выгодный вариант — покупка двух листов бумаги размером 40 ? 120 см.