Номер 4.151, страница 151, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

24. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.151, страница 151.

4.151 На рисунке 4.30 показаны фигуры, составленные из кубиков с ребром 1 см. Чему равны объёмы и площади поверхностей этих фигур?

Для решения задачи найдём объём и площадь поверхности каждой фигуры, состоящей из кубиков с ребром 1 см. Объём одного такого кубика равен $V_{кубика} = 1^3 = 1$ см?, а площадь одной грани – $S_{грани} = 1^2 = 1$ см?.

Фигура A

Фигура состоит из 5 кубиков, расположенных в один ряд (прямоугольный параллелепипед 5?1?1).
Объём фигуры равен произведению количества кубиков на объём одного кубика: $V_A = 5 \times 1 \text{ см?} = 5 \text{ см?}$.
Площадь поверхности можно рассчитать, посчитав количество видимых граней: 5 сверху, 5 снизу, 5 спереди, 5 сзади, 1 слева и 1 справа.$S_A = 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 = 22 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_A = 5 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_A = 22 \text{ см?}$.

Фигура B

Фигура состоит из 6 кубиков: нижний слой из 4 кубиков и верхний слой из 2 кубиков над двумя правыми кубиками нижнего слоя.
Объём фигуры: $V_B = 6 \times 1 \text{ см?} = 6 \text{ см?}$.
Для расчёта площади поверхности воспользуемся методом вычитания. Общая площадь поверхности 6 отдельных кубиков равна $6 \times 6 = 36$ граней. Найдём количество соприкасающихся пар граней (стыков): 3 в нижнем ряду, 1 в верхнем ряду и 2 между рядами. Всего $3+1+2=6$ стыков. Каждый стык скрывает 2 грани.$S_B = (6 \times 6) - (6 \times 2) = 36 - 12 = 24 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_B = 6 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_B = 24 \text{ см?}$.

Фигура C

Фигура состоит из 4 кубиков: центральная колонна из 2 кубиков, один кубик присоединён слева к нижнему кубику колонны, и ещё один — спереди.
Объём фигуры: $V_C = 4 \times 1 \text{ см?} = 4 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 4 отдельных кубика имеют общую площадь $4 \times 6 = 24$ грани. В фигуре 3 стыка (центральный нижний кубик соединён с тремя другими).$S_C = (4 \times 6) - (3 \times 2) = 24 - 6 = 18 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_C = 4 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_C = 18 \text{ см?}$.

Фигура D

Фигура состоит из 4 кубиков, соединённых в изогнутую цепочку.
Объём фигуры: $V_D = 4 \times 1 \text{ см?} = 4 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 4 кубика имеют $4 \times 6 = 24$ грани. В цепочке 3 стыка.$S_D = (4 \times 6) - (3 \times 2) = 24 - 6 = 18 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_D = 4 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_D = 18 \text{ см?}$.

Фигура E

Фигура представляет собой "лесенку" из трёх столбиков высотой 1, 2 и 3 кубика.
Общее количество кубиков: $N_E = 1 + 2 + 3 = 6$.Объём фигуры: $V_E = 6 \times 1 \text{ см?} = 6 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 6 кубиков имеют $6 \times 6 = 36$ граней. Стыки внутри столбиков: $0+1+2=3$. Стыки между столбиками: 1 (между 1-м и 2-м) + 2 (между 2-м и 3-м) = 3. Всего $3+3=6$ стыков.$S_E = (6 \times 6) - (6 \times 2) = 36 - 12 = 24 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_E = 6 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_E = 24 \text{ см?}$.

Фигура F

Фигура состоит из двух слоёв: нижний — прямоугольный параллелепипед 3?4?1 (12 кубиков), верхний — 2?3?1 (6 кубиков).
Общее количество кубиков: $N_F = 12 + 6 = 18$.Объём фигуры: $V_F = 18 \times 1 \text{ см?} = 18 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 18 кубиков имеют $18 \times 6 = 108$ граней. Стыки в нижнем слое: $3 \times (4-1) + 4 \times (3-1) = 9 + 8 = 17$. Стыки в верхнем слое: $2 \times (3-1) + 3 \times (2-1) = 4 + 3 = 7$. Стыки между слоями: 6. Всего $17+7+6=30$ стыков.$S_F = (18 \times 6) - (30 \times 2) = 108 - 60 = 48 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_F = 18 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_F = 48 \text{ см?}$.

Фигура P

Фигура представляет собой стержень 1?1?10, состоящий из 10 кубиков.
Объём фигуры: $V_P = 10 \times 1 \text{ см?} = 10 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 2 торцевые грани (сверху и снизу) и 4 боковые грани размером 1?10.$S_P = 2 \times (1 \times 1) + 4 \times (1 \times 10) = 2 + 40 = 42 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_P = 10 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_P = 42 \text{ см?}$.

Фигура Q

Фигура представляет собой ступенчатую конструкцию на основании 10?10. Она состоит из 10 рядов глубиной 10 кубиков, высота которых последовательно увеличивается от 1 до 10.
Количество кубиков: $N_Q = 10 \times (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} = 10 \times 55 = 550$.Объём фигуры: $V_Q = 550 \times 1 \text{ см?} = 550 \text{ см?}$.
Площадь поверхности состоит из:

• Нижняя грань: $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Верхние грани (горизонтальные части ступеней): проекция наверх даёт квадрат $10 \times 10$, так что площадь $100 \text{ см?}$.
• Задняя грань (высокая): $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Передние грани (вертикальные части ступеней): 10 ступеней, каждая площадью $1 \times 10$, итого $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Левая и правая боковые грани (профили лестницы): площадь каждой равна $1 + 2 + ... + 10 = 55 \text{ см?}$.

$S_Q = 100 (\text{низ}) + 100 (\text{верх}) + 100 (\text{сзади}) + 100 (\text{спереди}) + 55 (\text{слева}) + 55 (\text{справа}) = 510 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_Q = 550 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_Q = 510 \text{ см?}$.

Фигура R

Фигура представляет собой куб 10?10?10.
Количество кубиков: $N_R = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.Объём фигуры: $V_R = 1000 \times 1 \text{ см?} = 1000 \text{ см?}$.
Площадь поверхности куба со стороной 10 см: 6 граней, каждая площадью $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.$S_R = 6 \times (10 \times 10) = 6 \times 100 = 600 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_R = 1000 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_R = 600 \text{ см?}$.