Страница 151, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Чему равен объём фигуры, которая состоит из 14 кубиков, с ребром 1 дм каждый?
Объём одного кубика вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.
В данном случае, ребро кубика равно 1 дм.
Следовательно, объём одного кубика составляет $V_{кубика} = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3$ (один кубический дециметр).
Фигура состоит из 14 таких кубиков. Чтобы найти общий объём фигуры, нужно умножить объём одного кубика на их количество.
$V_{фигуры} = 14 \times V_{кубика} = 14 \times 1 \text{ дм}^3 = 14 \text{ дм}^3$.
Ответ: объём фигуры равен 14 кубическим дециметрам.

Что такое кубический миллиметр; кубический метр?
Кубический миллиметр (обозначается как $мм^3$) – это единица измерения объёма. Он представляет собой объём куба, длина ребра которого равна 1 миллиметру. Эта единица используется для измерения очень малых объёмов.
Кубический метр (обозначается как $м^3$) – это основная единица измерения объёма в Международной системе единиц (СИ). Он представляет собой объём куба, длина ребра которого равна 1 метру. В кубических метрах измеряют объёмы помещений, сыпучих материалов, жидкостей в больших резервуарах и т.д.
Между этими и другими единицами объёма существуют следующие соотношения:
$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$
$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3 = 1 000 000 \text{ мм}^3$
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$
Ответ: кубический миллиметр – это объём куба с ребром 1 мм; кубический метр – это объём куба с ребром 1 м.

Что такое литр? Сколько в нём кубических сантиметров?
Литр (обозначается как л или L) – это внесистемная метрическая единица измерения объёма. Литр широко используется для измерения объёмов жидкостей и газов. По определению, 1 литр равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$).
Чтобы узнать, сколько в литре кубических сантиметров, нужно перевести кубические дециметры в кубические сантиметры. Мы знаем, что в 1 дециметре содержится 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
Тогда 1 кубический дециметр равен:
$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) \times (10 \text{ см}) = 1000 \text{ см}^3$.
Следовательно, в 1 литре содержится 1000 кубических сантиметров.
Ответ: литр – это единица объёма, равная 1 кубическому дециметру. В одном литре 1000 кубических сантиметров.

По какой формуле вычисляют объём прямоугольного параллелепипеда? Что означают в этой формуле буквы V, a, b и c? По какой формуле вычисляют объём куба?
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.
В этой формуле буквы означают:
• $V$ – объём параллелепипеда.
• $a$ – его длина.
• $b$ – его ширина.
• $c$ – его высота.
Иными словами, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Если обозначить длину ребра куба буквой $a$, то формула для его объёма будет выглядеть так:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$.
Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $V$ – объём, $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина, высота). Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина его ребра.

Могут ли равные фигуры иметь различные объёмы?
Нет, равные фигуры не могут иметь различные объёмы. В геометрии под "равными фигурами" понимают фигуры, которые можно совместить друг с другом наложением (такие фигуры также называют конгруэнтными). Это означает, что они полностью совпадают по форме и размерам.
Объём является одной из основных количественных характеристик фигуры, определяющей её размер в трёхмерном пространстве. Если две фигуры равны (конгруэнтны), то все их соответствующие линейные размеры, площади поверхностей и, конечно же, объёмы также должны быть равны.
Ответ: нет, не могут. По определению, равные фигуры имеют одинаковые объёмы.

4.151 На рисунке 4.30 показаны фигуры, составленные из кубиков с ребром 1 см. Чему равны объёмы и площади поверхностей этих фигур?

$V_A = 5\text{см}{}^3,S_A = 5 · 1 · 2 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 2 = 22\left(\text{см}{}^2\right)$

$V_B = 5\text{см}{}^3,S_B = 3 · 1 · 2 + 3 · 1 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2 · 2 + 1 · 2 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 = 22\left(\text{см}{}^2\right)$

$V_C = 5\text{см}{}^3$

$S_C = 5 + 8 + 7 = 20(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_D = 5\text{см}{}^3$

$S_D = 12 + 3 + 5 + 2 = 22(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_E = 8\text{см}{}^3$

$S_E = 9 + 3 + 7 + 4 + 9 = 32(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_F = 15\text{см}{}^3$

$S_F = 4 · 2 · 2 + 4 · 2 · 2 + 2 · 2 · 2 = 40(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_P = 10\text{см}{}^3$

$S_P = 10 · 4 + 2 = 42(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_Q = 10 · 10 - 8 = 100 - 8 = 92(\text{см}{}^{3}mo>)$

$S_Q = 10 · 7 · 2 + 10 + 7 · 2 + 2 + 8 · 2 + 3 + 7 · 2 · 2 + 2 · 2 + 7 = 140 + 10 + 14 + 2 + 16 + 3 + 28 + 4 + 7 = 150 + 74 = 224mo>(\text{см}{}^{2}mo>)$

$V_R = 10 · 10 · 10 - 3 = 1000 - 3 = 997(\text{см}{}^{3}mo>)$

$S_R = 10 · 10 · 6 = 100 · 6 = 600(\text{см}{}^{2}mo>)$

Для решения задачи найдём объём и площадь поверхности каждой фигуры, состоящей из кубиков с ребром 1 см. Объём одного такого кубика равен $V_{кубика} = 1^3 = 1$ см?, а площадь одной грани – $S_{грани} = 1^2 = 1$ см?.

Фигура A

Фигура состоит из 5 кубиков, расположенных в один ряд (прямоугольный параллелепипед 5?1?1).
Объём фигуры равен произведению количества кубиков на объём одного кубика: $V_A = 5 \times 1 \text{ см?} = 5 \text{ см?}$.
Площадь поверхности можно рассчитать, посчитав количество видимых граней: 5 сверху, 5 снизу, 5 спереди, 5 сзади, 1 слева и 1 справа.$S_A = 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 = 22 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_A = 5 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_A = 22 \text{ см?}$.

Фигура B

Фигура состоит из 6 кубиков: нижний слой из 4 кубиков и верхний слой из 2 кубиков над двумя правыми кубиками нижнего слоя.
Объём фигуры: $V_B = 6 \times 1 \text{ см?} = 6 \text{ см?}$.
Для расчёта площади поверхности воспользуемся методом вычитания. Общая площадь поверхности 6 отдельных кубиков равна $6 \times 6 = 36$ граней. Найдём количество соприкасающихся пар граней (стыков): 3 в нижнем ряду, 1 в верхнем ряду и 2 между рядами. Всего $3+1+2=6$ стыков. Каждый стык скрывает 2 грани.$S_B = (6 \times 6) - (6 \times 2) = 36 - 12 = 24 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_B = 6 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_B = 24 \text{ см?}$.

Фигура C

Фигура состоит из 4 кубиков: центральная колонна из 2 кубиков, один кубик присоединён слева к нижнему кубику колонны, и ещё один — спереди.
Объём фигуры: $V_C = 4 \times 1 \text{ см?} = 4 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 4 отдельных кубика имеют общую площадь $4 \times 6 = 24$ грани. В фигуре 3 стыка (центральный нижний кубик соединён с тремя другими).$S_C = (4 \times 6) - (3 \times 2) = 24 - 6 = 18 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_C = 4 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_C = 18 \text{ см?}$.

Фигура D

Фигура состоит из 4 кубиков, соединённых в изогнутую цепочку.
Объём фигуры: $V_D = 4 \times 1 \text{ см?} = 4 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 4 кубика имеют $4 \times 6 = 24$ грани. В цепочке 3 стыка.$S_D = (4 \times 6) - (3 \times 2) = 24 - 6 = 18 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_D = 4 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_D = 18 \text{ см?}$.

Фигура E

Фигура представляет собой "лесенку" из трёх столбиков высотой 1, 2 и 3 кубика.
Общее количество кубиков: $N_E = 1 + 2 + 3 = 6$.Объём фигуры: $V_E = 6 \times 1 \text{ см?} = 6 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 6 кубиков имеют $6 \times 6 = 36$ граней. Стыки внутри столбиков: $0+1+2=3$. Стыки между столбиками: 1 (между 1-м и 2-м) + 2 (между 2-м и 3-м) = 3. Всего $3+3=6$ стыков.$S_E = (6 \times 6) - (6 \times 2) = 36 - 12 = 24 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_E = 6 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_E = 24 \text{ см?}$.

Фигура F

Фигура состоит из двух слоёв: нижний — прямоугольный параллелепипед 3?4?1 (12 кубиков), верхний — 2?3?1 (6 кубиков).
Общее количество кубиков: $N_F = 12 + 6 = 18$.Объём фигуры: $V_F = 18 \times 1 \text{ см?} = 18 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 18 кубиков имеют $18 \times 6 = 108$ граней. Стыки в нижнем слое: $3 \times (4-1) + 4 \times (3-1) = 9 + 8 = 17$. Стыки в верхнем слое: $2 \times (3-1) + 3 \times (2-1) = 4 + 3 = 7$. Стыки между слоями: 6. Всего $17+7+6=30$ стыков.$S_F = (18 \times 6) - (30 \times 2) = 108 - 60 = 48 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_F = 18 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_F = 48 \text{ см?}$.

Фигура P

Фигура представляет собой стержень 1?1?10, состоящий из 10 кубиков.
Объём фигуры: $V_P = 10 \times 1 \text{ см?} = 10 \text{ см?}$.
Площадь поверхности: 2 торцевые грани (сверху и снизу) и 4 боковые грани размером 1?10.$S_P = 2 \times (1 \times 1) + 4 \times (1 \times 10) = 2 + 40 = 42 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_P = 10 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_P = 42 \text{ см?}$.

Фигура Q

Фигура представляет собой ступенчатую конструкцию на основании 10?10. Она состоит из 10 рядов глубиной 10 кубиков, высота которых последовательно увеличивается от 1 до 10.
Количество кубиков: $N_Q = 10 \times (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 10 \times \frac{10 \times 11}{2} = 10 \times 55 = 550$.Объём фигуры: $V_Q = 550 \times 1 \text{ см?} = 550 \text{ см?}$.
Площадь поверхности состоит из:

• Нижняя грань: $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Верхние грани (горизонтальные части ступеней): проекция наверх даёт квадрат $10 \times 10$, так что площадь $100 \text{ см?}$.
• Задняя грань (высокая): $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Передние грани (вертикальные части ступеней): 10 ступеней, каждая площадью $1 \times 10$, итого $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.
• Левая и правая боковые грани (профили лестницы): площадь каждой равна $1 + 2 + ... + 10 = 55 \text{ см?}$.

$S_Q = 100 (\text{низ}) + 100 (\text{верх}) + 100 (\text{сзади}) + 100 (\text{спереди}) + 55 (\text{слева}) + 55 (\text{справа}) = 510 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_Q = 550 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_Q = 510 \text{ см?}$.

Фигура R

Фигура представляет собой куб 10?10?10.
Количество кубиков: $N_R = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.Объём фигуры: $V_R = 1000 \times 1 \text{ см?} = 1000 \text{ см?}$.
Площадь поверхности куба со стороной 10 см: 6 граней, каждая площадью $10 \times 10 = 100 \text{ см?}$.$S_R = 6 \times (10 \times 10) = 6 \times 100 = 600 \text{ см?}$.

Ответ: Объём $V_R = 1000 \text{ см?}$, площадь поверхности $S_R = 600 \text{ см?}$.

4.152 Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его трёх измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

а) Даны измерения: $a = 7$ см, $b = 4$ см, $c = 10$ см.
Все измерения даны в одной единице (сантиметрах), поэтому мы можем сразу подставить их в формулу.
$V = 7 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 28 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 280 \text{ см}^3$.
Ответ: $280 \text{ см}^3$.

б) Даны измерения: $a = 40$ дм, $b = 30$ дм, $c = 40$ дм.
Все измерения даны в дециметрах. Подставляем значения в формулу.
$V = 40 \text{ дм} \cdot 30 \text{ дм} \cdot 40 \text{ дм} = 1200 \text{ дм}^2 \cdot 40 \text{ дм} = 48000 \text{ дм}^3$.
Ответ: $48000 \text{ дм}^3$.

в) Даны измерения: $a = 4$ дм $2$ см, $b = 1$ дм $3$ см, $c = 80$ см.
Для вычисления объёма необходимо привести все измерения к одной единице. Переведём все значения в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$a = 4 \text{ дм } 2 \text{ см} = 4 \cdot 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 42 \text{ см}$.
$b = 1 \text{ дм } 3 \text{ см} = 1 \cdot 10 \text{ см} + 3 \text{ см} = 13 \text{ см}$.
$c = 80 \text{ см}$.
Теперь вычислим объём:
$V = 42 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} \cdot 80 \text{ см} = 546 \text{ см}^2 \cdot 80 \text{ см} = 43680 \text{ см}^3$.
Ответ: $43680 \text{ см}^3$.

г) Даны измерения: $a = 9$ м, $b = 5$ дм, $c = 14$ м.
Приведём все измерения к одной единице. Удобнее всего перевести их в дециметры, зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
$a = 9 \text{ м} = 9 \cdot 10 \text{ дм} = 90 \text{ дм}$.
$b = 5 \text{ дм}$.
$c = 14 \text{ м} = 14 \cdot 10 \text{ дм} = 140 \text{ дм}$.
Вычислим объём:
$V = 90 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} \cdot 140 \text{ дм} = 450 \text{ дм}^2 \cdot 140 \text{ дм} = 63000 \text{ дм}^3$.
Ответ: $63000 \text{ дм}^3$.

д) Даны измерения: $a = 13$ м, $b = 5$ дм, $c = 30$ см.
Приведём все измерения к одной единице. Переведём всё в дециметры, используя соотношения: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ (или $10 \text{ см} = 1 \text{ дм}$).
$a = 13 \text{ м} = 13 \cdot 10 \text{ дм} = 130 \text{ дм}$.
$b = 5 \text{ дм}$.
$c = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}$.
Вычислим объём:
$V = 130 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм} = 650 \text{ дм}^2 \cdot 3 \text{ дм} = 1950 \text{ дм}^3$.
Ответ: $1950 \text{ дм}^3$.

4.153 Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда, если площадь его верхней грани равна 32 см², а объём - 224 см³.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле произведения площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$:
$V = S_{осн} \cdot h$

В прямоугольном параллелепипеде верхняя и нижняя грани (основания) равны, следовательно, площадь основания равна площади верхней грани.

По условию задачи нам известны:

• Площадь верхней грани (основания): $S_{осн} = 32 \text{ см}^2$
• Объём параллелепипеда: $V = 224 \text{ см}^3$

Чтобы найти высоту $h$, выразим её из формулы объёма:
$h = \frac{V}{S_{осн}}$

Теперь подставим известные значения в формулу и произведём вычисление:
$h = \frac{224 \text{ см}^3}{32 \text{ см}^2} = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см.

7.28 Минутная стрелка указывала на точку С, через 10 мин она показывала на точку D, за следующие 15 мин она переместилась к точке Е, а ещё через 10 мин — к точке F (рис. 7.11).

а) Сравните углы COD и DOE, DOE и EOF, СОЕ и COD, СОЕ и EOF.

б) Определите вид этих углов.

Для решения задачи сначала определим, на какой угол поворачивается минутная стрелка за одну минуту. Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$. Минутная стрелка проходит его за 60 минут. Следовательно, за одну минуту стрелка поворачивается на угол:

$360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ \text{ в минуту}$

Теперь, зная это, мы можем вычислить величину каждого угла, образованного движением стрелки между указанными точками.

• Угол $\angle COD$ образован движением стрелки в течение 10 минут. Его величина равна:
  $\angle COD = 10 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 60^\circ$
• Угол $\angle DOE$ образован движением стрелки в течение 15 минут. Его величина равна:
  $\angle DOE = 15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$
• Угол $\angle EOF$ образован движением стрелки в течение 10 минут. Его величина равна:
  $\angle EOF = 10 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 60^\circ$
• Угол $\angle COE$ — это угол, который стрелка описывает, двигаясь от точки C до точки E. Это движение занимает $10 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 25 \text{ минут}$. Его величина равна:
  $\angle COE = 25 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 150^\circ$.
  Также его можно найти, сложив углы $\angle COD$ и $\angle DOE$:
  $\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$

Используя вычисленные градусные меры, проведем сравнение:

• $\angle COD = 60^\circ$ и $\angle DOE = 90^\circ$. Поскольку $60 < 90$, то $\angle COD < \angle DOE$.
• $\angle DOE = 90^\circ$ и $\angle EOF = 60^\circ$. Поскольку $90 > 60$, то $\angle DOE > \angle EOF$.
• $\angle COE = 150^\circ$ и $\angle COD = 60^\circ$. Поскольку $150 > 60$, то $\angle COE > \angle COD$.
• $\angle COE = 150^\circ$ и $\angle EOF = 60^\circ$. Поскольку $150 > 60$, то $\angle COE > \angle EOF$.

Ответ: $\angle COD < \angle DOE$; $\angle DOE > \angle EOF$; $\angle COE > \angle COD$; $\angle COE > \angle EOF$.

Определим вид каждого угла на основе его градусной меры:

• $\angle COD = 60^\circ$. Угол, меньший $90^\circ$, является острым.
• $\angle DOE = 90^\circ$. Угол, равный $90^\circ$, является прямым.
• $\angle EOF = 60^\circ$. Угол, меньший $90^\circ$, является острым.
• $\angle COE = 150^\circ$. Угол, больший $90^\circ$, но меньший $180^\circ$, является тупым.

Ответ: $\angle COD$ — острый; $\angle DOE$ — прямой; $\angle EOF$ — острый; $\angle COE$ — тупой.

7.29 а) Используя чертёжный треугольник, найдите и запишите прямые углы (рис. 7.12).

б) Запишите все прямые, острые и тупые углы (см. рис. 7.9).

Для нахождения прямых углов на рисунке используется чертёжный треугольник (угольник), один из углов которого является прямым ($90^\circ$). Этот прямой угол угольника последовательно прикладывается к каждой вершине углов, изображённых на рисунке.

Приложив угольник к вершине B, можно увидеть, что стороны угла $\angle ABC$ полностью совпадают со сторонами прямого угла треугольника. Следовательно, $\angle ABC$ — прямой угол. При проверке остальных вершин (C, N, F, P) их углы не совпадают с прямым углом угольника.

Ответ: Прямой угол — $\angle ABC$.

Для выполнения этого задания необходимо классифицировать все углы на рисунке как прямые, острые или тупые. Вспомним определения:
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

На основе визуального сравнения с прямым углом и с помощью чертёжного треугольника определим тип каждого угла на рисунке 7.12:

Прямые углы: $\angle ABC$.

Острые углы: $\angle EFD$, $\angle TPS$. Эти углы визуально меньше прямого угла.

Тупые углы: $\angle BCN$, $\angle MNL$. Эти углы визуально больше прямого угла.

Ответ: Прямой угол: $\angle ABC$. Острые углы: $\angle EFD$, $\angle TPS$. Тупые углы: $\angle BCN$, $\angle MNL$.

7.30 Есть ли прямые углы в школьном кабинете?

В школьном кабинете есть прямые

углы: доска, окно, двери, шкаф и т.д.

Да, в школьном кабинете можно найти очень много прямых углов. Прямой угол — это угол, величина которого составляет ровно $90^\circ$. Он образуется при пересечении двух перпендикулярных прямых. Прямые углы широко используются в архитектуре, дизайне и производстве, поскольку они обеспечивают прочность конструкций, простоту сборки и эффективное использование пространства.

Рассмотрим, где именно в школьном кабинете можно их встретить.

Геометрия самого помещения

Большинство кабинетов проектируются в форме прямоугольного параллелепипеда, поэтому прямые углы образуются в местах стыков:

• Между двумя стенами (внутренние углы комнаты).
• Между стеной и полом.
• Между стеной и потолком.

Также прямые углы имеют оконные рамы и дверные проемы.

Мебель и оборудование

Предметы обстановки в кабинете почти всегда имеют прямоугольные элементы:

• Углы столешницы парты и поверхности сиденья стула.
• Углы школьной доски (независимо от того, меловая она, маркерная или интерактивная).
• Углы книжных шкафов, стеллажей, полок и ящиков стола.

Учебные принадлежности

Многие предметы, используемые в процессе обучения, также являются источником прямых углов:

• Углы листа бумаги, страницы тетради или учебника.
• Угольник — специальный чертежный инструмент, предназначенный для построения прямых углов.
• Обычная линейка, если она имеет прямоугольную форму.
• Пересечение линий сетки в тетради в клетку или на миллиметровой бумаге.

Таким образом, школьный кабинет является прекрасным наглядным пособием для изучения понятия прямого угла и его роли в окружающем мире.

Ответ: Да, в школьном кабинете содержится множество прямых углов, которые можно найти в геометрии самой комнаты, в мебели, оборудовании и учебных принадлежностях.

7.31 Постройте прямоугольник, длина и ширина которого 7 см и 3,5 см, и квадрат, сторона которого 4,5 см. Найдите площади прямоугольника и квадрата.

Задача состоит из двух частей: работа с прямоугольником и работа с квадратом. Решим каждую часть поочередно.

Прямоугольник

Сначала необходимо построить прямоугольник. Для этого с помощью линейки чертим отрезок длиной 7 см. От одного из его концов с помощью угольника или транспортира откладываем прямой угол (90°) и чертим отрезок длиной 3,5 см. Затем достраиваем фигуру до прямоугольника, проводя стороны, параллельные уже начерченным.

Далее найдем площадь построенного прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется по формуле как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$).

Формула площади прямоугольника: $S_{пр} = a \cdot b$.

Подставим в формулу заданные значения: $a = 7$ см, $b = 3,5$ см.

$S_{пр} = 7 \cdot 3,5 = 24,5$ см?.

Ответ: площадь прямоугольника равна 24,5 см?.

Квадрат

Сначала необходимо построить квадрат. С помощью линейки чертим отрезок длиной 4,5 см. От его концов под прямыми углами чертим еще два отрезка такой же длины (4,5 см). Соединяем концы этих отрезков, чтобы завершить построение квадрата.

Далее найдем площадь квадрата. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$).

Формула площади квадрата: $S_{кв} = a^2$.

Подставим в формулу заданное значение: $a = 4,5$ см.

$S_{кв} = (4,5)^2 = 4,5 \cdot 4,5 = 20,25$ см?.

Ответ: площадь квадрата равна 20,25 см?.

7.32 Используя чертёжный треугольник, постройте две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Сколько развёрнутых углов получилось?

Используя чертёжный треугольник, постройте две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

Для того чтобы построить две прямые, пересекающиеся под прямым углом, с помощью чертёжного треугольника, необходимо выполнить следующие действия:
1. На листе бумаги проведите произвольную прямую линию, используя линейку или любую прямую сторону чертёжного треугольника. Обозначим эту прямую буквой a.
2. Приложите чертёжный треугольник к построенной прямой a так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол (катет), легла точно на эту прямую.
3. Проведите вторую прямую линию вдоль другой стороны треугольника, образующей прямой угол. Обозначим эту прямую буквой b.
В результате этого построения прямые a и b будут пересекаться под прямым углом, то есть под углом $90^\circ$.

Сколько развёрнутых углов получилось?

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются двумя лучами, выходящими из одной точки и лежащими на одной прямой (являются противоположными друг другу). Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$.
При пересечении двух прямых, независимо от угла их пересечения, всегда образуется два развёрнутых угла. Каждая из пересекающихся прямых линий образует развёрнутый угол с вершиной в точке их пересечения.
Пусть наши прямые a и b пересекаются в точке O. Тогда:
- Прямая a образует один развёрнутый угол с вершиной в точке O.
- Прямая b образует второй развёрнутый угол с вершиной в точке O.
Таким образом, при пересечении двух прямых получается два развёрнутых угла.
Ответ: 2.

7.33 Вычислите.

а)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в столбик последовательно сверху вниз:

1) Сложение: $2,8 + 0,7 = 3,5$

2) Деление: $3,5 : 5 = 0,7$

3) Умножение: $0,7 \cdot 90 = 63$

4) Вычитание: $63 - 3,5 = 59,5$

Ответ: 59,5

б)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в столбик последовательно сверху вниз:

1) Вычитание: $6 - 1,2 = 4,8$

2) Деление: $4,8 : 8 = 0,6$

3) Умножение: $0,6 \cdot 9 = 5,4$

4) Сложение: $5,4 + 1,9 = 7,3$

Ответ: 7,3

в)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в столбик последовательно сверху вниз:

1) Деление: $8,7 : 3 = 2,9$

2) Сложение: $2,9 + 2,6 = 5,5$

3) Вычитание: $5,5 - 1,5 = 4$

4) Умножение: $4 \cdot 0,6 = 2,4$

Ответ: 2,4

г)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в столбик последовательно сверху вниз:

1) Умножение: $0,4 \cdot 5 = 2$

2) Умножение: $2 \cdot 0,01 = 0,02$

3) Сложение: $0,02 + 0,28 = 0,3$

4) Деление: $0,3 : 0,15 = 2$

Ответ: 2

д)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в столбик последовательно сверху вниз:

1) Деление: $14 : 70 = 0,2$

2) Умножение: $0,2 \cdot 1,5 = 0,3$

3) Сложение: $0,3 + 3,7 = 4$

4) Умножение: $4 \cdot 0,25 = 1$

Ответ: 1

7.34 Проведите окружность с центром S и радиусом 3,5 см. Разделите круг на восемь долей и закрасьте 58 круга. Какая часть круга осталась не закрашенной?

Для решения задачи представим весь круг как единицу, то есть 1.

По условию, круг разделен на 8 равных долей. Следовательно, весь круг можно представить в виде дроби $\frac{8}{8}$.

Закрашенная часть круга составляет $\frac{5}{8}$.

Какая часть круга осталась незакрашенной?

Чтобы найти незакрашенную часть, нужно из всего круга (1 или $\frac{8}{8}$) вычесть закрашенную часть ($\frac{5}{8}$).
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{8 - 5}{8} = \frac{3}{8}$

Таким образом, $\frac{3}{8}$ круга остались незакрашенными.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

7.35 Какое действие надо выполнить, умножение или деление числа на 1,5; 0,8; 0,01; 1,001, чтобы оно уменьшилось?

1,5

Для того чтобы определить, какое действие (умножение или деление) уменьшит исходное положительное число, необходимо сравнить число, на которое производится действие, с единицей. Если это число больше 1, то для уменьшения исходного числа нужно выполнить деление. Если же оно находится в интервале от 0 до 1, то нужно выполнить умножение. В данном случае число $1,5$ больше единицы ($1,5 > 1$), следовательно, чтобы уменьшить число, его надо разделить на $1,5$.

Ответ: деление.

0,8

Число $0,8$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,8 < 1$). Согласно правилу, чтобы уменьшить исходное число, его необходимо умножить на число из этого интервала. Деление на $0,8$ увеличит число, так как это равносильно умножению на $\frac{1}{0,8} = 1,25$.

Ответ: умножение.

0,01

Число $0,01$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < 0,01 < 1$). Поэтому, чтобы уменьшить исходное число, его следует умножить на $0,01$.

Ответ: умножение.

1,001

Число $1,001$ больше единицы ($1,001 > 1$). Следовательно, для уменьшения исходного числа необходимо выполнить деление на $1,001$.

Ответ: деление.

7.36 Найдите:

а) 0,7 числа 200;

б) 25 числа 10;

в) 14 числа 32.

а) Чтобы найти 0,7 от числа 200, необходимо умножить это число на десятичную дробь 0,7.

Выполним вычисление:

$200 \cdot 0,7 = 140$

Ответ: 140.

б) Чтобы найти $\frac{2}{5}$ от числа 10, необходимо умножить это число на дробь $\frac{2}{5}$.

Выполним вычисление:

$10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4.

в) Чтобы найти $\frac{1}{4}$ от числа 32, необходимо умножить это число на дробь $\frac{1}{4}$. Это эквивалентно делению числа 32 на 4.

Выполним вычисление:

$32 \cdot \frac{1}{4} = \frac{32}{4} = 8$

Ответ: 8.

7.37 Найдите число, если 15 этого числа равны:

а) 30; б) 45; в) 100; г) 0,2; д) 0,7; е) 5,5.

Чтобы найти число по его части, необходимо значение этой части разделить на дробь, которая выражает эту часть. Пусть искомое число это $x$. По условию задачи, $\frac{1}{5}$ этого числа равна заданному значению $y$.

$\frac{1}{5} \cdot x = y$

Чтобы найти $x$, мы должны умножить обе стороны уравнения на 5:

$x = y \cdot 5$

Теперь применим эту формулу для каждого из подпунктов.

а) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 30. Чтобы найти число, умножим 30 на 5.
$30 \cdot 5 = 150$
Ответ: 150

б) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 45. Чтобы найти число, умножим 45 на 5.
$45 \cdot 5 = 225$
Ответ: 225

в) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 100. Чтобы найти число, умножим 100 на 5.
$100 \cdot 5 = 500$
Ответ: 500

г) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 0,2. Чтобы найти число, умножим 0,2 на 5.
$0,2 \cdot 5 = 1$
Ответ: 1

д) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 0,7. Чтобы найти число, умножим 0,7 на 5.
$0,7 \cdot 5 = 3,5$
Ответ: 3,5

е) Дано, что $\frac{1}{5}$ искомого числа равна 5,5. Чтобы найти число, умножим 5,5 на 5.
$5,5 \cdot 5 = 27,5$
Ответ: 27,5

7.38 Составьте условие задачи по числовому выражению:

а) 0,07 • 300;

б) 304 • 0,8;

в) 120 • 0,1 + 70 • 0,1.

а)

Условие задачи: В книге 300 страниц. Мальчик прочитал 0,07 всей книги. Сколько страниц прочитал мальчик?

Решение: Чтобы найти часть от целого, нужно целое (общее количество страниц) умножить на дробь, выражающую эту часть. В данном случае, общее количество страниц — 300, а часть, которую прочитал мальчик, составляет 0,07.

$300 \cdot 0,07 = 21$ (страница)

Ответ: Мальчик прочитал 21 страницу.

б)

Условие задачи: Автомобиль должен был проехать 304 км. Он проехал 0,8 всего пути. Какое расстояние проехал автомобиль?

Решение: Чтобы найти, какую часть пути проехал автомобиль, нужно общую длину пути умножить на долю, которую он преодолел.

$304 \cdot 0,8 = 243,2$ (км)

Ответ: Автомобиль проехал 243,2 км.

в)

Условие задачи: Мама купила 120 г конфет одного вида и 70 г конфет другого вида. Дети съели 0,1 всех купленных конфет. Сколько граммов конфет съели дети?

Решение: Это выражение позволяет найти, сколько граммов конфет каждого вида съели дети, а затем сложить эти значения. $120 \cdot 0,1$ — это количество съеденных конфет первого вида, а $70 \cdot 0,1$ — второго. Также можно было бы сначала сложить общую массу конфет $(120+70)$, а затем умножить на 0,1.

$120 \cdot 0,1 + 70 \cdot 0,1 = 12 + 7 = 19$ (г)

Ответ: Дети съели 19 г конфет.

7.39 Развивай мышление. Определите закономерность и поставьте число в пустой клетке.

Задание требует определить закономерность в расположении чисел и на её основе найти число для пустой клетки. Однако на предоставленном изображении содержится только текст этого задания, но отсутствует сама таблица (или ряд) с числами и пустой клеткой.

Для того чтобы найти решение, необходимо проанализировать исходные данные. Закономерности в подобных задачах могут быть разнообразными. Например:

1. Арифметические операции. Число в клетке может быть результатом сложения, вычитания, умножения или деления других чисел в той же строке или столбце. Например, если в строке есть числа $A$, $B$ и $C$, закономерность может быть $A + B = C$.

2. Последовательности. Числа могут образовывать арифметическую или геометрическую прогрессию, последовательность Фибоначчи или ряд квадратов чисел.

3. Комбинированные правила. Часто используется комбинация операций. Например, число в третьем столбце может вычисляться по формуле $C = 2 \cdot A + B$, где $A$ и $B$ — числа из первого и второго столбцов той же строки.

Без визуального представления сетки с числами невозможно установить, какая именно закономерность применяется в данном случае, и, следовательно, невозможно вычислить недостающее число.

Ответ: Предоставить решение невозможно, так как в условии задачи отсутствует сама числовая таблица, необходимая для определения закономерности.