Страница 152, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.154 а) Объём кабинета математики равен 120 м³, высота - 3 м, ширина - 5 м. Вычислите длину кабинета и площади пола, потолка и каждой стены.

б) Вычислите объём своего классного кабинета. Сколько кубических метров воздуха приходится на одного ученика?

а) $V = 120{м}^3$

$c = 3м$, $b = 5м$

$a - ?$, $S_{пола}$, потолка - ?, $S_{стен} - ?$

$V = abc$

$120 = a \cdot 5 \cdot 3$

$15a = 120$

$a = 120 : 15$

120 | 15

120 | 8

----

0

$a = 8м$

$S_{пола} = S_{потолка} = ab = 8 \cdot 5 = 40{м}^2$

$S_{против.стен1} = a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24{м}^2$

$S_{против.стен2} = b \cdot c = 5 \cdot 3 = 15{м}^2$

Ответ: $8м$, $40{м}^2$, $24{м}^2$, $15{м}^2$, $24{м}^2$, $15{м}^2$, $40{м}^2$

б) $a = 6м$, $b = 8м$, $c = 2м$

$V = abc = 6 \cdot 8 \cdot 2 = 48 \cdot 2 = 96{м}^3$

В классе 24 ученика

$96 : 24 = 4{м}^3$

Ответ: $96{м}^3$, $4{м}^3$

а)

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы для объёма и площади прямоугольного параллелепипеда (формы кабинета).

Дано:
Объём кабинета: $V = 120 \, м^3$
Высота: $h = 3 \, м$
Ширина: $w = 5 \, м$

1. Вычисление длины кабинета ($l$)
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$. Чтобы найти длину, нужно объём разделить на произведение ширины и высоты:
$l = \frac{V}{w \cdot h}$
Подставляем известные значения:
$l = \frac{120}{5 \cdot 3} = \frac{120}{15} = 8 \, м$.
Итак, длина кабинета равна 8 метрам.

2. Вычисление площади пола и потолка
Площадь пола ($S_{пола}$) вычисляется как произведение длины на ширину:
$S_{пола} = l \cdot w = 8 \cdot 5 = 40 \, м^2$.
Площадь потолка ($S_{потолка}$) равна площади пола, так как они имеют одинаковые размеры.
$S_{потолка} = 40 \, м^2$.

3. Вычисление площади каждой стены
В кабинете четыре стены, которые образуют две пары одинаковых по площади прямоугольников.
Площадь первой пары стен (длинные стены) равна произведению длины на высоту:
$S_{стены1} = l \cdot h = 8 \cdot 3 = 24 \, м^2$.
Площадь второй пары стен (короткие стены) равна произведению ширины на высоту:
$S_{стены2} = w \cdot h = 5 \cdot 3 = 15 \, м^2$.

Ответ: Длина кабинета — $8 \, м$, площадь пола — $40 \, м^2$, площадь потолка — $40 \, м^2$, площади двух стен — по $24 \, м^2$ каждая, площади двух других стен — по $15 \, м^2$ каждая.

б)

Эта часть задания является практической и требует реальных измерений вашего классного кабинета. Поскольку эти данные неизвестны, приведём пример расчёта для гипотетического класса.

Предположим, что размеры нашего классного кабинета следующие:
Длина: $l = 10 \, м$
Ширина: $w = 6 \, м$
Высота: $h = 3 \, м$
И в классе учится 28 учеников ($N = 28$).

1. Вычислим объём своего классного кабинета ($V_{класс}$)
Используем формулу объёма:
$V_{класс} = l \cdot w \cdot h = 10 \cdot 6 \cdot 3 = 180 \, м^3$.

2. Вычислим, сколько кубических метров воздуха приходится на одного ученика
Для этого разделим общий объём воздуха в кабинете на количество учеников:
$V_{на\_ученика} = \frac{V_{класс}}{N} = \frac{180}{28} \approx 6,43 \, м^3$.

Ответ: В приведённом примере объём кабинета составляет $180 \, м^3$, и на одного ученика приходится примерно $6,43 \, м^3$ воздуха. Чтобы получить точный ответ для вашего случая, измерьте свой кабинет и посчитайте количество учеников в классе.

4.155 Определите объём куба, ребро которого равно:

а) 9 м;

б) 4 дм 7 см;

в) 1 дм 5 мм.

Для определения объёма куба используется формула $V = a^3$, где $V$ — это объём, а $a$ — длина ребра куба.

а) Дано ребро куба $a = 9$ м.
Подставляем значение в формулу и вычисляем объём:
$V = (9 \text{ м})^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729 \text{ м}^3$.
Ответ: $729 \text{ м}^3$.

б) Дано ребро куба $a = 4$ дм $7$ см.
Для вычисления объёма необходимо привести длину ребра к одной единице измерения. Переведём её в сантиметры.
Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $4 \text{ дм} = 4 \times 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Таким образом, длина ребра составляет $a = 40 \text{ см} + 7 \text{ см} = 47 \text{ см}$.
Теперь вычисляем объём:
$V = (47 \text{ см})^3 = 47 \times 47 \times 47 = 2209 \times 47 = 103823 \text{ см}^3$.
Ответ: $103823 \text{ см}^3$.

в) Дано ребро куба $a = 1$ дм $5$ мм.
Приведём длину ребра к одной единице измерения. Переведём её в миллиметры.
Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$.
Таким образом, длина ребра составляет $a = 100 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 105 \text{ мм}$.
Теперь вычисляем объём:
$V = (105 \text{ мм})^3 = 105 \times 105 \times 105 = 11025 \times 105 = 1157625 \text{ мм}^3$.
Ответ: $1157625 \text{ мм}^3$.

4.156 Площадь поверхности куба равна 150 дм². Найдите, чему равен его объём.

Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ — это длина ребра куба. Поверхность куба состоит из шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом с площадью $a^2$.

По условию задачи, площадь поверхности равна 150 дм?. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$.

$6a^2 = 150$

Сначала найдем площадь одной грани ($a^2$), разделив общую площадь на количество граней:

$a^2 = \frac{150}{6} = 25$ дм?

Теперь найдем длину ребра $a$, извлекая квадратный корень из площади грани:

$a = \sqrt{25} = 5$ дм

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$. Зная длину ребра, мы можем найти объём:

$V = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ дм?

Ответ: 125 дм?.

4.157 Выразите в кубических:

а) Чтобы выразить объем в кубических миллиметрах, необходимо помнить, что в одном сантиметре 10 миллиметров. Следовательно, в одном кубическом сантиметре содержится $10 \times 10 \times 10 = 1000$ кубических миллиметров.
$1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Переведем заданные значения:
$6 \text{ см}^3 724 \text{ мм}^3 = 6 \times 1000 \text{ мм}^3 + 724 \text{ мм}^3 = 6000 \text{ мм}^3 + 724 \text{ мм}^3 = 6724 \text{ мм}^3$.
$13 \text{ см}^3 7 \text{ мм}^3 = 13 \times 1000 \text{ мм}^3 + 7 \text{ мм}^3 = 13000 \text{ мм}^3 + 7 \text{ мм}^3 = 13007 \text{ мм}^3$.
Ответ: $6724 \text{ мм}^3$; $13007 \text{ мм}^3$.

б) Чтобы выразить объем в кубических сантиметрах, используем соотношение между дециметрами и сантиметрами. В одном дециметре 10 сантиметров. Значит, в одном кубическом дециметре содержится $10 \times 10 \times 10 = 1000$ кубических сантиметров.
$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Выполним перевод:
$5 \text{ дм}^3 430 \text{ см}^3 = 5 \times 1000 \text{ см}^3 + 430 \text{ см}^3 = 5000 \text{ см}^3 + 430 \text{ см}^3 = 5430 \text{ см}^3$.
$6 \text{ дм}^3 45 \text{ см}^3 = 6 \times 1000 \text{ см}^3 + 45 \text{ см}^3 = 6000 \text{ см}^3 + 45 \text{ см}^3 = 6045 \text{ см}^3$.
Ответ: $5430 \text{ см}^3$; $6045 \text{ см}^3$.

в) Чтобы выразить объем в кубических метрах и дециметрах, нам понадобятся следующие соотношения: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см}$.
Из этого следует:
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
$1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$1 \text{ м}^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$.
Рассмотрим первое значение $13\;620\;000 \text{ см}^3$. Сначала переведем его в кубические дециметры, разделив на 1000:
$13\;620\;000 \text{ см}^3 = 13\;620 \text{ дм}^3$.
Теперь выразим $13\;620 \text{ дм}^3$ в метрах и дециметрах. Так как $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$, то:
$13\;620 \text{ дм}^3 = 13 \times 1000 \text{ дм}^3 + 620 \text{ дм}^3 = 13 \text{ м}^3 620 \text{ дм}^3$.
Рассмотрим второе значение $4590 \text{ дм}^3$. Выразим его в метрах и дециметрах:
$4590 \text{ дм}^3 = 4 \times 1000 \text{ дм}^3 + 590 \text{ дм}^3 = 4 \text{ м}^3 590 \text{ дм}^3$.
Ответ: $13 \text{ м}^3 620 \text{ дм}^3$; $4 \text{ м}^3 590 \text{ дм}^3$.

4.158 Картонная коробка с какими измерениями вместительнее: 10 см, 9 см, 18 см или 6 см, 12 см, 15 см?

x 18 90-----1620

x 72 15----- 360+ 72-----1080

Чтобы определить, какая из картонных коробок вместительнее, необходимо вычислить объём каждой из них и сравнить полученные значения. Вместительность коробки определяется её объёмом. Объём прямоугольного параллелепипеда, форму которого имеет коробка, вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина и высота).

10 см, 9 см, 18 см

Найдём объём первой коробки, обозначим его $V_1$.

$V_1 = 10 \text{ см} \times 9 \text{ см} \times 18 \text{ см} = 90 \text{ см}^2 \times 18 \text{ см} = 1620 \text{ см}^3$.

6 см, 12 см, 15 см

Найдём объём второй коробки, обозначим его $V_2$.

$V_2 = 6 \text{ см} \times 12 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 72 \text{ см}^2 \times 15 \text{ см} = 1080 \text{ см}^3$.

Теперь сравним объёмы двух коробок:

$V_1 = 1620 \text{ см}^3$

$V_2 = 1080 \text{ см}^3$

Поскольку $1620 > 1080$, то объём первой коробки больше объёма второй ($V_1 > V_2$).

Ответ: картонная коробка с измерениями 10 см, 9 см, 18 см вместительнее.

4.159 Длина бассейна 50 м, ширина 24 м, а глубина 2 м.

а) Сколько кубометров воды нужно, чтобы наполнить бассейн?

б) Сколько упаковок плитки размером 50 × 50 см понадобится, чтобы покрыть такой бассейн, если в упаковке 20 плиток?

а) Чтобы определить, сколько кубометров воды необходимо для заполнения бассейна, нужно рассчитать его объем. Бассейн представляет собой прямоугольный параллелепипед, объем которого находится по формуле:

$V = l \cdot w \cdot h$

где $l$ — длина, $w$ — ширина, а $h$ — глубина.

Подставим известные значения:

$l = 50$ м
$w = 24$ м
$h = 2$ м

Выполним расчет:

$V = 50 \text{ м} \cdot 24 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 1200 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м} = 2400 \text{ м}^3$

Таким образом, для заполнения бассейна потребуется 2400 кубических метров воды.

Ответ: 2400 м?.

б) Для расчета количества упаковок плитки необходимо выполнить несколько шагов: найти общую площадь поверхности, которую нужно покрыть плиткой (дно и боковые стенки), рассчитать количество плиток и затем — количество упаковок.

1. Найдем площадь дна бассейна ($S_{дна}$):

$S_{дна} = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 50 \text{ м} \cdot 24 \text{ м} = 1200 \text{ м}^2$

2. Найдем площадь боковых стенок ($S_{стенок}$). Она равна периметру дна, умноженному на глубину:

$P_{дна} = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина}) = 2 \cdot (50 \text{ м} + 24 \text{ м}) = 2 \cdot 74 \text{ м} = 148 \text{ м}$

$S_{стенок} = P_{дна} \cdot \text{глубина} = 148 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 296 \text{ м}^2$

3. Найдем общую площадь для укладки плитки ($S_{общая}$), сложив площадь дна и площадь стенок:

$S_{общая} = S_{дна} + S_{стенок} = 1200 \text{ м}^2 + 296 \text{ м}^2 = 1496 \text{ м}^2$

4. Рассчитаем площадь одной плитки. Размер плитки 50 см ? 50 см. Переведем сантиметры в метры: 50 см = 0,5 м.

$S_{плитки} = 0,5 \text{ м} \cdot 0,5 \text{ м} = 0,25 \text{ м}^2$

5. Определим общее количество плиток, которое потребуется:

$\text{Количество плиток} = \frac{S_{общая}}{S_{плитки}} = \frac{1496 \text{ м}^2}{0,25 \text{ м}^2} = 5984 \text{ шт.}$

6. В одной упаковке 20 плиток. Найдем необходимое количество упаковок:

$\text{Количество упаковок} = \frac{\text{Общее количество плиток}}{\text{Плиток в упаковке}} = \frac{5984}{20} = 299,2$

Поскольку упаковки плитки продаются только целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Ответ: 300 упаковок.

4.160 Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей.

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?

б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.

a) $V_{\mathrm{параллелепипеда}} = 10·7·12 = 70·12 = 840\left(\text{см}{}^3\right)$

$V_1 = 10·7·8 = 70·8 = 560\left(\text{см}{}^3\right)$

$V_2 = 10·7·4 = 70·4 = 280\left(\text{см}{}^3\right)$

$V_1 + V_2 = 560 + 280 = 840\left(\text{см}{}^3\right)$

$V_{\mathrm{параллелепипеда}} = V_1 + V_2$

Ответ: равен.

б) $S_{\mathrm{пов}.\mathrm{параллелепипеда}} = 10·7·2 + 10·12·2 + 7·12·2 = 140 + 240 + 168 = 380 + 168 = 548\left(\text{см}{}^2\right)$

①

380

+ 168

———

548

$S_1 = 10·7·2 + 10·8·2 + 7·8·2 = 140 + 160 + 112 = 412\left(\text{см}{}^2\right)$

$S_2 = 10·7·2 + 10·4·2 + 7·4·2 = 140 + 80 + 56 = 276\left(\text{см}{}^2\right)$

$S_1 + S_2 = 412 + 276 = 688\left(\text{см}{}^2\right)$

$548<688$

$S_{\mathrm{пов}.\mathrm{параллелепипеда}}<S_1 + S_2$

Ответ: не равен, так как в площадь поверхности параллелепипеда не входят площадь нижней грани зелёной части и площадь верхней грани фиолетовой части.

а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.

1. Вычислим объём всего параллелепипеда (составного).
Его измерения: длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h = 12$ см.
$V_{общий} = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 840 \text{ см}^3$.

2. Вычислим объёмы его частей.
- Фиолетовая часть (нижняя): длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h_1 = 8$ см.
$V_1 = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 560 \text{ см}^3$.
- Зелёная часть (верхняя): длина $l = 10$ см, ширина $w = 7$ см, высота $h_2 = 4$ см.
$V_2 = 10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 280 \text{ см}^3$.

3. Сравним объём всего параллелепипеда с суммой объёмов его частей.
Сумма объёмов частей: $V_{сумма} = V_1 + V_2 = 560 \text{ см}^3 + 280 \text{ см}^3 = 840 \text{ см}^3$.
$V_{общий} = V_{сумма}$, так как $840 \text{ см}^3 = 840 \text{ см}^3$.

Ответ: Объём всего параллелепипеда равен $840 \text{ см}^3$. Объёмы его частей равны $560 \text{ см}^3$ и $280 \text{ см}^3$. Объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей.

б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(lw + lh + wh)$.

1. Вычислим площадь поверхности всего параллелепипеда (составного).
$S_{общая} = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 12 + 7 \cdot 12) = 2 \cdot (70 + 120 + 84) = 2 \cdot 274 = 548 \text{ см}^2$.

2. Вычислим площади поверхностей его частей.
- Фиолетовая часть (нижняя):
$S_1 = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 8 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot (70 + 80 + 56) = 2 \cdot 206 = 412 \text{ см}^2$.
- Зелёная часть (верхняя):
$S_2 = 2 \cdot (10 \cdot 7 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4) = 2 \cdot (70 + 40 + 28) = 2 \cdot 138 = 276 \text{ см}^2$.

3. Сравним площадь поверхности всего параллелепипеда с суммой площадей поверхностей его частей.
Сумма площадей поверхностей частей: $S_{сумма} = S_1 + S_2 = 412 \text{ см}^2 + 276 \text{ см}^2 = 688 \text{ см}^2$.
$S_{общая} \neq S_{сумма}$, так как $548 \text{ см}^2 \neq 688 \text{ см}^2$. Сумма площадей поверхностей частей больше.

Объяснение:
Площадь поверхности целого параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей его частей, потому что при разделении целого объекта на части образуются две новые внутренние поверхности в месте разреза. В данном случае это верхняя грань фиолетового параллелепипеда и нижняя грань зелёного. Эти грани соприкасаются друг с другом, когда параллелепипед собран, и не являются частью его внешней поверхности. При расчёте суммы площадей частей мы учитываем площади этих двух "внутренних" граней.
Площадь каждой из этих граней равна $10 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 70 \text{ см}^2$.
Суммарная площадь этих двух внутренних граней равна $2 \cdot 70 \text{ см}^2 = 140 \text{ см}^2$.
Именно на эту величину сумма площадей поверхностей частей больше площади поверхности исходного параллелепипеда: $688 \text{ см}^2 - 548 \text{ см}^2 = 140 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь поверхности всего параллелепипеда равна $548 \text{ см}^2$. Площади поверхностей его частей равны $412 \text{ см}^2$ и $276 \text{ см}^2$. Сумма площадей поверхностей частей ($688 \text{ см}^2$) не равна площади поверхности целого параллелепипеда. Это происходит потому, что при разделении целого объекта на части возникают новые поверхности (внутренние грани), площадь которых учитывается в сумме площадей частей, но не входит в площадь поверхности исходного объекта.

4.161 Найдите ребро куба, объём которого равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 9 см, 4 см и 6 см.

Для решения задачи сначала найдём объём прямоугольного параллелепипеда. Объём прямоугольного параллелепипеда ($V_{п}$) вычисляется как произведение его трёх измерений (длины, ширины и высоты):
$V_{п} = a \cdot b \cdot c$
Подставим в формулу данные значения: 9 см, 4 см и 6 см.
$V_{п} = 9 \cdot 4 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \text{ см}^3$.

По условию задачи, объём куба ($V_{к}$) равен объёму прямоугольного параллелепипеда. Следовательно,
$V_{к} = 216 \text{ см}^3$.

Объём куба вычисляется по формуле $V_{к} = a^3$, где $a$ – это длина его ребра. Чтобы найти длину ребра куба, необходимо извлечь кубический корень из его объёма:
$a = \sqrt[3]{V_{к}} = \sqrt[3]{216}$.
Так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$, то длина ребра куба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

4.162 Для строительства дома заказали деревянный брус размером 6000 × 200 × 100 мм. Какое целое количество штук такого бруса содержится в 1 м³?

Для решения этой задачи сначала необходимо вычислить объем одного деревянного бруса. Затем, чтобы найти, сколько таких брусьев поместится в 1 кубическом метре, нужно разделить 1 м? на объем одного бруса.

1. Преобразование единиц измерения

Размеры бруса даны в миллиметрах (мм), а итоговый объем — в кубических метрах (м?). Для удобства расчетов переведем размеры бруса в метры. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.

• Длина: $l = 6000 \text{ мм} = \frac{6000}{1000} \text{ м} = 6 \text{ м}$
• Ширина: $w = 200 \text{ мм} = \frac{200}{1000} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$
• Высота: $h = 100 \text{ мм} = \frac{100}{1000} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

2. Вычисление объема одного бруса

Объем бруса ($V_{бруса}$) вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты.

$V_{бруса} = l \times w \times h$

$V_{бруса} = 6 \text{ м} \times 0.2 \text{ м} \times 0.1 \text{ м} = 0.12 \text{ м}^3$

3. Расчет количества брусьев в 1 м?

Теперь разделим общий объем ($V_{общий} = 1 \text{ м}^3$) на объем одного бруса, чтобы найти их количество ($N$).

$N = \frac{V_{общий}}{V_{бруса}} = \frac{1 \text{ м}^3}{0.12 \text{ м}^3}$

$N = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.333...$

В вопросе требуется указать целое количество штук. Это означает, что мы должны взять целую часть от полученного числа, так как поместиться может только целое количество брусьев. Часть объема, равная $0.333...$ от объема бруса, останется незаполненной.

Таким образом, в 1 м? может содержаться 8 целых брусьев.

Ответ: 8.

4.163 Вычислите.

а) $52 : 2 = (40 + 12) : 2 = 40 : 2 + 12 : 2 =$

$= 20 + 6 = 26$

$26 + 24 = 50$

$50 : 25 = 2$

$2 · 36 = 2 · (30 + 6) = 2 · 30 + 2 · 6 =$

$= 60 + 12 = 72$

$72 : 18 = 4$

б) $72 : 24 = 3$

$3 · 12 = 3 · (10 + 2) = 3 · 10 + 3 · 2 =$

$= 30 + 6 = 36$

$36 + 34 = 70$

$70 : 5 = (50 + 20) : 5 = 50 : 5 + 20 : 5 =$

$= 10 + 4 = 14$

$14 + 56 = 70$

в) $95 : 5 = (50 + 45) : 5 = 50 : 5 + 45 : 5 =$

$= 10 + 9 = 19$

$19 + 56 = 75$

$75 : 3 = (60 + 15) : 3 = 60 : 3 + 15 : 3 =$

$= 20 + 5 = 25$

$25 · 8 = (20 + 5) · 8 = 20 · 8 + 5 · 8 =$

$= 160 + 40 = 200$

$200 · 3 = 600$

2) $96 : 3 = 32$

$32 + 28 = 60$

$60 : 4 = (40 + 20) : 4 = 40 : 4 + 20 : 4 =$

$= 10 + 5 = 15$

$15 · 5 = (10 + 5) · 5 = 10 · 5 + 5 · 5 =$

$= 50 + 25 = 75$

$75 : 25 = 3$

д) $84 : 28 = 3$

$3 · 18 = 3 · (10 + 8) = 3 · 10 + 3 · 8 =$

$= 30 + 24 = 54$

$54 + 46 = 100$

$100 : 20 = 5$

$5 · 3 = 15$

а)

1) $52 : 2 = 26$
2) $26 + 24 = 50$
3) $50 : 25 = 2$
4) $2 \cdot 36 = 72$
5) $72 : 18 = 4$

Ответ: 4

б)

1) $72 : 24 = 3$
2) $3 \cdot 12 = 36$
3) $36 + 34 = 70$
4) $70 : 5 = 14$
5) $14 + 56 = 70$

Ответ: 70

в)

1) $95 : 5 = 19$
2) $19 + 56 = 75$
3) $75 : 3 = 25$
4) $25 \cdot 8 = 200$
5) $200 \cdot 3 = 600$

Ответ: 600

г)

1) $96 : 3 = 32$
2) $32 + 28 = 60$
3) $60 : 4 = 15$
4) $15 \cdot 5 = 75$
5) $75 : 25 = 3$

Ответ: 3

д)

1) $84 : 28 = 3$
2) $3 \cdot 18 = 54$
3) $54 + 46 = 100$
4) $100 : 20 = 5$
5) $5 \cdot 3 = 15$

Ответ: 15

4.164 Найдите первое число цепочки.

а)

Чтобы найти первое число в цепочке, необходимо выполнить все действия в обратном порядке, заменяя каждую операцию на противоположную. Мы начнем с конечного числа 90 и будем двигаться влево к началу цепочки.

Исходная последовательность действий: вычесть 21, разделить на 7, умножить на 14, прибавить 2, вычесть 10.

Выполним обратные операции в обратном порядке:

1. Последнее действие было "вычесть 10", в результате чего получилось 90. Обратное действие — "прибавить 10":
   $90 + 10 = 100$
2. Предпоследнее действие было "прибавить 2". Обратное действие — "вычесть 2":
   $100 - 2 = 98$
3. До этого было "умножить на 14". Обратное действие — "разделить на 14":
   $98 : 14 = 7$
4. До этого было "разделить на 7". Обратное действие — "умножить на 7":
   $7 \cdot 7 = 49$
5. Первое действие было "вычесть 21". Обратное действие — "прибавить 21":
   $49 + 21 = 70$

Таким образом, первое число в цепочке — 70.

Проверка: $(((70 - 21) : 7) \cdot 14 + 2) - 10 = ((49 : 7) \cdot 14 + 2) - 10 = (7 \cdot 14 + 2) - 10 = (98 + 2) - 10 = 100 - 10 = 90$.

Ответ: 70

б)

Действуем аналогично, выполняя обратные операции для второй цепочки, начиная с числа 90.

Исходная последовательность действий: разделить на 3, умножить на 6, разделить на 5, умножить на 4, прибавить 18.

Выполним обратные операции в обратном порядке:

1. Последнее действие было "прибавить 18", в результате чего получилось 90. Обратное действие — "вычесть 18":
   $90 - 18 = 72$
2. Предпоследнее действие было "умножить на 4". Обратное действие — "разделить на 4":
   $72 : 4 = 18$
3. До этого было "разделить на 5". Обратное действие — "умножить на 5":
   $18 \cdot 5 = 90$
4. До этого было "умножить на 6". Обратное действие — "разделить на 6":
   $90 : 6 = 15$
5. Первое действие было "разделить на 3". Обратное действие — "умножить на 3":
   $15 \cdot 3 = 45$

Таким образом, первое число в цепочке — 45.

Проверка: $ ((((45 : 3) \cdot 6) : 5) \cdot 4) + 18 = (((15 \cdot 6) : 5) \cdot 4) + 18 = ((90 : 5) \cdot 4) + 18 = (18 \cdot 4) + 18 = 72 + 18 = 90$.

Ответ: 45

4.165 Вычислите:

а) 3³ + 5²;

б) 2³ + 6²;

в) 5³ + 5;

г) 10³ - 100.

а) Чтобы вычислить значение выражения $3^3 + 5^2$, необходимо сначала выполнить возведение в степень для каждого слагаемого, а затем сложить полученные результаты.

1. Возводим 3 в третью степень (в куб): $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

2. Возводим 5 во вторую степень (в квадрат): $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

3. Складываем полученные значения: $3^3 + 5^2 = 27 + 25 = 52$.

Ответ: 52

б) В выражении $2^3 + 6^2$ порядок действий аналогичен: сначала возведение в степень, затем сложение.

1. Возводим 2 в третью степень: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

2. Возводим 6 во вторую степень: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.

3. Складываем результаты: $2^3 + 6^2 = 8 + 36 = 44$.

Ответ: 44

в) Для вычисления выражения $5^3 + 5$ сначала выполним операцию возведения в степень, а затем сложение.

1. Возводим 5 в третью степень: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. К полученному результату прибавляем 5: $5^3 + 5 = 125 + 5 = 130$.

Ответ: 130

г) В выражении $10^3 - 100$ сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возводим 10 в третью степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Из полученного результата вычитаем 100: $10^3 - 100 = 1000 - 100 = 900$.

Ответ: 900

7.40 Какую часть от 800 составляет число:

а) 800; б) 1000; в) 8; г) 80; д) 160; е) 800; ж) 1200?

а) Чтобы найти, какую часть число 800 составляет от 800, необходимо разделить первое число на второе. В данном случае, одно число равно другому, поэтому оно составляет одну целую часть.$ \frac{800}{800} = 1 $.Ответ: 1.

б) Чтобы найти, какую часть число 1000 составляет от 800, нужно разделить 1000 на 800 и сократить полученную дробь:$ \frac{1000}{800} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} $.Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{4} $.Ответ: $ \frac{5}{4} $.

в) Чтобы найти, какую часть число 8 составляет от 800, нужно разделить 8 на 800 и сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:$ \frac{8}{800} = \frac{8 \div 8}{800 \div 8} = \frac{1}{100} $.Ответ: $ \frac{1}{100} $.

г) Чтобы найти, какую часть число 80 составляет от 800, нужно разделить 80 на 800 и сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 80:$ \frac{80}{800} = \frac{80 \div 80}{800 \div 80} = \frac{1}{10} $.Ответ: $ \frac{1}{10} $.

д) Чтобы найти, какую часть число 160 составляет от 800, нужно разделить 160 на 800. Для сокращения дроби можно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 160:$ \frac{160}{800} = \frac{160 \div 160}{800 \div 160} = \frac{1}{5} $.Ответ: $ \frac{1}{5} $.

е) Данный пункт полностью повторяет пункт а). Чтобы найти, какую часть число 800 составляет от 800, нужно разделить 800 на 800:$ \frac{800}{800} = 1 $.Ответ: 1.

ж) Чтобы найти, какую часть число 1200 составляет от 800, нужно разделить 1200 на 800 и сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 400:$ \frac{1200}{800} = \frac{1200 \div 400}{800 \div 400} = \frac{3}{2} $.Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{2} $.Ответ: $ \frac{3}{2} $.

7.41 Какую часть сплава составляет олово в куске бронзы, если в сплаве 3 кг олова и 17 кг меди?

Олово - 3 кг

Медь - 17 кг

1) $3 + 17 = 20$ (кг) - масса сплава

2) $3 : 20 = \frac{3}{20} = \frac{3·5}{20·5} = \frac{15}{100} = \mathrm{0,15}$

Ответ: 0,15

Чтобы определить, какую часть сплава составляет олово, необходимо найти отношение массы олова к общей массе всего сплава.

1. Сначала найдем общую массу сплава. Она складывается из массы олова и массы меди. Согласно условию, в сплаве содержится $3$ кг олова и $17$ кг меди.

Общая масса сплава = (масса олова) + (масса меди)

$3 \text{ кг} + 17 \text{ кг} = 20 \text{ кг}$

2. Теперь, зная общую массу сплава ($20$ кг) и массу олова ($3$ кг), мы можем найти, какую часть олово составляет от всего сплава. Для этого массу олова разделим на общую массу сплава.

Часть олова = $\frac{\text{масса олова}}{\text{общая масса сплава}} = \frac{3}{20}$

Таким образом, олово составляет $\frac{3}{20}$ от всего куска бронзы.

Ответ: $\frac{3}{20}$.

7.42 Нарисуйте квадрат со стороной 10 см. Пусть он изображает огород. Свёкла занимает 320 огорода, морковь — 13100, картофель — 1325, фасоль — 7100, а остальная часть огорода занята редькой. Закрасьте на рисунке часть огорода, занятую каждой культурой. Какую часть огорода занимает редька?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два основных действия: сначала рассчитать, какую часть огорода занимает редька, а затем описать, как можно графически изобразить распределение всех культур на огороде.

1. Расчёт части огорода, занятой редькой

Сначала найдём, какую общую часть огорода занимают свёкла, морковь, картофель и фасоль. Для этого сложим их доли.

Даны доли:

• Свёкла: $ \frac{3}{20} $
• Морковь: $ \frac{13}{100} $
• Картофель: $ \frac{13}{25} $
• Фасоль: $ \frac{7}{100} $

Чтобы сложить эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20, 100 и 25 — это 100.

Приведём дроби к знаменателю 100:

Свёкла: $ \frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} $

Картофель: $ \frac{13}{25} = \frac{13 \times 4}{25 \times 4} = \frac{52}{100} $

Теперь сложим доли всех четырёх культур:

$ \frac{15}{100} (\text{свёкла}) + \frac{13}{100} (\text{морковь}) + \frac{52}{100} (\text{картофель}) + \frac{7}{100} (\text{фасоль}) = \frac{15+13+52+7}{100} = \frac{87}{100} $

Таким образом, эти четыре культуры занимают $ \frac{87}{100} $ всего огорода.

Весь огород мы принимаем за единицу (1). Чтобы найти часть, занятую редькой, вычтем из 1 долю остальных культур:

$ 1 - \frac{87}{100} = \frac{100}{100} - \frac{87}{100} = \frac{100 - 87}{100} = \frac{13}{100} $

Ответ: редька занимает $ \frac{13}{100} $ часть огорода.

2. Рекомендации по закрашиванию частей огорода на рисунке

Чтобы выполнить эту часть задания, нужно нарисовать квадрат со стороной 10 см. Его площадь будет равна $ 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2 $. Этот квадрат удобно разделить на 100 маленьких квадратиков размером 1x1 см, начертив сетку 10x10. Каждый такой квадратик будет представлять $ \frac{1}{100} $ огорода.

Далее следует закрасить на рисунке количество квадратиков, которое соответствует доле каждой культуры:

• Свёкла ($ \frac{15}{100} $): закрасить 15 квадратиков.
• Морковь ($ \frac{13}{100} $): закрасить 13 квадратиков.
• Картофель ($ \frac{52}{100} $): закрасить 52 квадратика.
• Фасоль ($ \frac{7}{100} $): закрасить 7 квадратиков.
• Редька ($ \frac{13}{100} $): закрасить оставшиеся 13 квадратиков.

Для проверки можно сложить количество всех квадратиков: $ 15 + 13 + 52 + 7 + 13 = 100 $, что составляет весь огород.

7.43 Во время новогодних каникул 1725 учащихся 5 класса посетили театр или музей, а остальные — каток. Сколько учащихся в 5 классе, если на каток выбрались 8 учеников класса?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим, какая часть учащихся класса пошла на каток, а затем, зная количество этих учащихся, найдем общее число учеников в классе.

1. Примем всех учащихся 5 класса за единицу (1). Известно, что $ \frac{17}{25} $ всех учащихся посетили театр или музей. Чтобы найти долю учащихся, которые пошли на каток, вычтем из общего числа долю тех, кто был в театре или музее:

$ 1 - \frac{17}{25} = \frac{25}{25} - \frac{17}{25} = \frac{25 - 17}{25} = \frac{8}{25} $

Таким образом, $ \frac{8}{25} $ учащихся класса пошли на каток.

2. В условии сказано, что на каток пошли 8 учеников. Это означает, что $ \frac{8}{25} $ от общего числа учеников составляют 8 человек. Чтобы найти общее количество учеников в классе (найти целое по его части), нужно число, соответствующее части (8), разделить на эту часть (дробь $ \frac{8}{25} $):

$ 8 \div \frac{8}{25} = 8 \times \frac{25}{8} = \frac{8 \times 25}{8} = 25 $ (учащихся).

Следовательно, в 5 классе всего 25 учащихся.

Ответ: в 5 классе 25 учащихся.

7.44 Александрийский маяк — одно из семи чудес света — был выше Троицкой башни Московского Кремля в 1,75 раза, но ниже здания МГУ на 100 м. Найдите высоту этих сооружений, если Троицкая башня на 60 м ниже Александрийского маяка.

Александрийский маяк - В 1,75 р. выше

на 100м ниже

Троицкая башня - ?

на 60м ниже

МГУ - ?

Пусть Хм - высота Троицкой башни,

тогда 1,75х м - высота Александрийского маяка. Зная, что Троицкая башня на 60м ниже Александрийского маяка, составили и решили уравнение

1) $1.75x - x = 60$

$(1.75 - 1)x = 60$

$0.75x = 60$

$x = 60 : 0.75$

$x = 60.00 : 0.75$

$x = 6000 : 75$

- 6000 | 75
600 | 80
---
0

$x = 80$

80м - высота Троицкой башни

2) $80·1.75 = 140\left(\text{м}\right)$ - высота Александрийского маяка

х 1,75
80
----
140,00 = 140

3) $140 + 100 = 240\left(\text{м}\right)$ - высота здания МГУ

Ответ: 80м, 140м, 240м

Для решения задачи введем переменные для высот сооружений в метрах:
$H_А$ — высота Александрийского маяка.
$H_Т$ — высота Троицкой башни.
$H_М$ — высота здания МГУ.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Александрийский маяк был выше Троицкой башни в 1,75 раза: $H_А = 1,75 \cdot H_Т$.
2. Александрийский маяк был ниже здания МГУ на 100 м: $H_А = H_М - 100$.
3. Троицкая башня на 60 м ниже Александрийского маяка: $H_Т = H_А - 60$.

Решение

Для нахождения высот решим полученную систему уравнений. Можно заметить, что первое и третье уравнения связывают только высоты Александрийского маяка ($H_А$) и Троицкой башни ($H_Т$). Подставим выражение для $H_Т$ из третьего уравнения в первое:
$H_А = 1,75 \cdot (H_А - 60)$
Теперь решим это уравнение относительно $H_А$:
$H_А = 1,75 \cdot H_А - 1,75 \cdot 60$
$H_А = 1,75 H_А - 105$
$1,75 H_А - H_А = 105$
$0,75 H_А = 105$
$H_А = \frac{105}{0,75} = 140$
Таким образом, высота Александрийского маяка составляет 140 м.

Теперь, зная высоту Александрийского маяка, можем найти высоты остальных сооружений.

Высота Троицкой башни
Используем третье уравнение:
$H_Т = H_А - 60 = 140 - 60 = 80$ м.

Высота здания МГУ
Используем второе уравнение, выразив из него $H_М$:
$H_М = H_А + 100 = 140 + 100 = 240$ м.

Ответ: высота Александрийского маяка — 140 м, высота Троицкой башни — 80 м, высота здания МГУ — 240 м.

7.45 Вычислите:

а) $(\frac{1}{2} : \frac{3}{4} - \frac{4}{9}) : \frac{3}{5}$
Решим по действиям. Сначала выполняем операции в скобках, соблюдая порядок действий (деление, затем вычитание).
1. Деление в скобках: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{4:2}{6:2} = \frac{2}{3}$.
2. Вычитание в скобках: $\frac{2}{3} - \frac{4}{9}$. Для вычитания дробей их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 — это 9. Дополнительный множитель для первой дроби равен $9:3=3$.
$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{6-4}{9} = \frac{2}{9}$.
3. Теперь выполним деление результата в скобках на дробь $\frac{3}{5}$.
$\frac{2}{9} : \frac{3}{5} = \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{10}{27}$.
Ответ: $\frac{10}{27}$.

б) $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} - \frac{4}{9} : \frac{3}{5}$
Согласно порядку действий, сначала выполняются умножение и деление слева направо, а затем вычитание.
1. Первое действие — умножение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6}$. Сократим дробь на 2: $\frac{8:2}{6:2} = \frac{4}{3}$.
2. Второе действие — деление: $\frac{4}{9} : \frac{3}{5} = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{20}{27}$.
3. Третье действие — вычитание: $\frac{4}{3} - \frac{20}{27}$. Приведем дроби к общему знаменателю 27. Дополнительный множитель для первой дроби равен $27:3=9$.
$\frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{20}{27} = \frac{36}{27} - \frac{20}{27} = \frac{36-20}{27} = \frac{16}{27}$.
Ответ: $\frac{16}{27}$.

в) $\frac{7}{5} : (\frac{9}{10} - \frac{2}{5} \cdot \frac{8}{9})$
Сначала выполняем действия в скобках, начиная с умножения.
1. Умножение в скобках: $\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 9} = \frac{16}{45}$.
2. Вычитание в скобках: $\frac{9}{10} - \frac{16}{45}$. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 10 и 45. НОК(10, 45) = 90. Приведем дроби к знаменателю 90.
Дополнительный множитель для первой дроби: $90:10=9$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $90:45=2$.
$\frac{9 \cdot 9}{10 \cdot 9} - \frac{16 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{81}{90} - \frac{32}{90} = \frac{81-32}{90} = \frac{49}{90}$.
3. Теперь выполним деление за скобками: $\frac{7}{5} : \frac{49}{90}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{7}{5} \cdot \frac{90}{49}$. Сократим дроби перед умножением для упрощения вычислений. Числитель 7 и знаменатель 49 можно сократить на 7. Знаменатель 5 и числитель 90 можно сократить на 5.
$\frac{7:7}{5:5} \cdot \frac{90:5}{49:7} = \frac{1}{1} \cdot \frac{18}{7} = \frac{18}{7}$.
Ответ: $\frac{18}{7}$.

7.46 Найдите значение выражения:

$(\mathrm{20,74} : \mathrm{6,8} - \mathrm{7,6} : 19) · \mathrm{4,06} - \mathrm{2,75}) · \mathrm{2,5} =$

$= \mathrm{20,0225}$

1) $$\begin{gathered} \mathrm{20,74} : \mathrm{6,8} = \mathrm{207,4} : 68 = \mathrm{3,05} \\ \begin{array}{cc}\hfill \mathrm{207,4}& 68\hfill \\ \hfill - 204& \mathrm{3,05}\hfill \\ \hfill \text{———}& \hfill \\ \hfill 340& \hfill \\ \hfill - 340& \hfill \\ \hfill \text{———}& \hfill \\ \hfill 0& \hfill \end{array} \end{gathered}$$

2) $$\begin{gathered} \mathrm{7,6} : 19 = \mathrm{0,4} \\ \begin{array}{cc}\hfill \mathrm{7,6}& 19\hfill \\ \hfill 76& \mathrm{0,4}\hfill \\ \hfill \text{——}& \hfill \\ \hfill 0& \hfill \end{array} \end{gathered}$$

3) $\begin{array}{r} - \mathrm{3,05}\\ \mathrm{0,40}\\ \text{———}\\ \mathrm{2,65}\end{array}$

4) $\begin{array}{r}\times \mathrm{2,65}\\ \mathrm{4,06}\\ \text{————}\\ 1590\\ + 1060\\ \text{—————}\\ 107590 = \mathrm{10,759}\end{array}$

5) $\begin{array}{r} - \mathrm{10,759}\\ \mathrm{2,750}\\ \text{—————}\\ \mathrm{8,009}\end{array}$

6) $\begin{array}{r}\times \mathrm{8,009}\\ \mathrm{2,5}\\ \text{—————}\\ 40045\\ + 16018\\ \text{——————}\\ 200225\end{array}$

$(\mathrm{2,88} : \mathrm{0,48} · \mathrm{7,5} - \mathrm{5,6}) · \left(\right(\mathrm{5,4} - \mathrm{2,9}) · (\mathrm{4,7} + \mathrm{0,06}\left)\right) =$

$= \mathrm{468,86}$

1) $$\begin{gathered} \mathrm{2,88} : \mathrm{0,48} = 288 : 48 = 6 \\ \begin{array}{cc}\hfill 288& 48\hfill \\ \hfill - 288& 6\hfill \\ \hfill \text{———}& \hfill \\ \hfill 0& \hfill \end{array} \end{gathered}$$

2) $\begin{array}{r}\times \mathrm{7,5}\\ 6\\ \text{——}\\ \mathrm{45,0} = 45\end{array}$

3) $\begin{array}{r} - \mathrm{45,0}\\ \mathrm{5,6}\\ \text{———}\\ \mathrm{39,4}\end{array}$

4) $\begin{array}{r} - \mathrm{5,4}\\ \mathrm{2,9}\\ \text{——}\\ \mathrm{2,5}\end{array}$

5) $\begin{array}{r} + \mathrm{4,70}\\ \mathrm{0,06}\\ \text{———}\\ \mathrm{4,76}\end{array}$

6) $\begin{array}{r}\times \mathrm{4,76}\\ \mathrm{2,5}\\ \text{———}\\ 2380\\ + 952\\ \text{————}\\ \mathrm{11,900} = \mathrm{11,9}\end{array}$

7) $\begin{array}{r}\times \mathrm{39,4}\\ \mathrm{11,9}\\ \text{————}\\ 3546\\ + 394\\ 394\\ \text{—————}\\ 46886\end{array}$

1) $((20,74 : 6,8 - 7,6 : 19) \cdot 4,06 - 2,75) \cdot 2,5$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Выполним деление в первых скобках: $20,74 : 6,8 = 3,05$.

2. Выполним второе деление в первых скобках: $7,6 : 19 = 0,4$.

3. Выполним вычитание в первых скобках: $3,05 - 0,4 = 2,65$.

4. Результат первых скобок умножим на $4,06$: $2,65 \cdot 4,06 = 10,759$.

5. Из полученного произведения вычтем $2,75$: $10,759 - 2,75 = 8,009$.

6. Результат умножим на $2,5$: $8,009 \cdot 2,5 = 20,0225$.

Ответ: 20,0225.

2) $(2,88 : 0,48 \cdot 7,5 - 5,6) : ((5,4 - 2,9) \cdot (4,7 + 0,06))$

Решим по действиям. Сначала вычислим значение делимого (первая скобка), затем делителя (вторая скобка) и после этого выполним деление.

Вычисляем делимое $(2,88 : 0,48 \cdot 7,5 - 5,6)$:

1. Выполним деление: $2,88 : 0,48 = 6$.

2. Выполним умножение: $6 \cdot 7,5 = 45$.

3. Выполним вычитание: $45 - 5,6 = 39,4$.

Вычисляем делитель $((5,4 - 2,9) \cdot (4,7 + 0,06))$:

4. Выполним вычитание в первой внутренней скобке: $5,4 - 2,9 = 2,5$.

5. Выполним сложение во второй внутренней скобке: $4,7 + 0,06 = 4,76$.

6. Перемножим результаты: $2,5 \cdot 4,76 = 11,9$.

Теперь выполним деление результата делимого на результат делителя:

7. $39,4 : 11,9 = \frac{39,4}{11,9} = \frac{394}{119}$.

Так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, оставим ответ в виде дроби. Выделим целую часть:

$394 : 119 = 3$ (остаток $394 - 3 \cdot 119 = 394 - 357 = 37$).

Следовательно, $\frac{394}{119} = 3 \frac{37}{119}$.

Ответ: $3 \frac{37}{119}$.

7.47 Проведите лучи ОК и ОМ. Отметьте две точки:

а) внутри угла КОМ;

б) вне угла КОМ;

в) на каждой стороне угла КОМ.

O

K

N

L

C

A

B

P

S

M

D

a) A, B

б) C, D

в) N, L u P, S

Для решения этой задачи сначала построим угол. Возьмем точку $O$ — это будет вершина угла. Из точки $O$ проведем два луча — $OK$ и $OM$. Эти лучи являются сторонами угла, который обозначается как $\angle KOM$. Плоскость, на которой лежит угол, делится им на три части: внутреннюю область угла, внешнюю область угла и сами стороны угла (лучи $OK$ и $OM$).

Наглядно это можно представить на следующем чертеже, где показано решение для всех пунктов задачи:

а) внутри угла КОМ;

Внутренняя область угла $\angle KOM$ — это часть плоскости, которая находится между лучами $OK$ и $OM$. Чтобы отметить две точки внутри угла, нужно выбрать любые две точки в этой области. На нашем чертеже это точки $A$ и $B$. Они обе лежат в пространстве, ограниченном сторонами угла.

Ответ: Точки $A$ и $B$ расположены внутри угла $\angle KOM$.

б) вне угла КОМ;

Внешняя область угла $\angle KOM$ — это вся часть плоскости, которая не принадлежит ни внутренней области угла, ни его сторонам. Отметим две точки, $C$ и $D$, в этой внешней области. Как видно на чертеже, эти точки не лежат ни на лучах $OK$ и $OM$, ни между ними.

Ответ: Точки $C$ и $D$ расположены вне угла $\angle KOM$.

в) на каждой стороне угла КОМ.

Сторонами угла $\angle KOM$ являются лучи $OK$ и $OM$. Задание требует отметить две точки так, чтобы они находились на сторонах угла. Наиболее логичное прочтение — отметить по одной точке на каждой стороне. Отметим точку $P$ на луче $OK$ и точку $Q$ на луче $OM$. Точки $K$ и $M$, задающие лучи, также лежат на сторонах угла.

Ответ: Точка $P$ лежит на стороне $OK$, а точка $Q$ — на стороне $OM$.

7.48 На рисунке 7.13 изображены углы и точки. Запишите:

а) углы, изображённые на рисунке;

б) точки, лежащие на сторонах угла PQK;

в) точки, лежащие вне угла PQK, но внутри угла PQR.

a) $\angle RQP$, $\angle RQK$, $\angle PQK$

б) $Q$, $E$, $K$, $P$

в) $T$, $X$

а) На рисунке изображены углы с общей вершиной в точке Q. Лучи, выходящие из этой точки, образуют следующие углы: $\angle RQS$, $\angle SQK$, $\angle KQP$. Также можно рассмотреть углы, которые являются объединением нескольких соседних углов: $\angle RQK$ (состоящий из $\angle RQS$ и $\angle SQK$), $\angle SQP$ (состоящий из $\angle SQK$ и $\angle KQP$), и самый большой угол $\angle RQP$ (состоящий из трех углов $\angle RQS$, $\angle SQK$ и $\angle KQP$).
Ответ: $\angle PQK$, $\angle KQS$, $\angle SQR$, $\angle PQS$, $\angle KQR$, $\angle PQR$.

б) Угол $\angle PQK$ образован двумя лучами (сторонами), исходящими из вершины Q: лучом QP и лучом QK. На луче QP расположены точки Q, N, F, P. На луче QK расположены точки Q, E, K. Таким образом, все эти точки лежат на сторонах угла $\angle PQK$.
Ответ: Q, P, N, F, K, E.

в) Точки, лежащие "внутри угла $\angle PQR$", — это точки, находящиеся в области между лучами QP и QR. Точки, лежащие "вне угла $\angle PQK$", — это точки, которые не принадлежат ни самому углу (его внутренней области), ни его сторонам. Таким образом, мы ищем точки, которые находятся в области угла $\angle PQR$, но за пределами области угла $\angle PQK$. Эта область соответствует внутренней части угла $\angle KQR$. На рисунке в этой области расположены точки S, T и X.
Ответ: S, T, X.

7.49 Используя чертёжный треугольник, определите вид углов на рисунках 7.13 и 7.14.

Для определения вида углов воспользуемся воображаемым чертёжным треугольником (угольником), который имеет прямой угол, равный $90^\circ$. Сравнивая углы на рисунках с прямым углом угольника, мы можем классифицировать их как острые (меньше $90^\circ$), прямые (равны $90^\circ$) или тупые (больше $90^\circ$).

Рисунок 7.13

На данном рисунке изображены углы с общей вершиной в точке $Q$. Определим вид основных из них, сравнивая их с прямым углом:
- Угол $\angle RQS$ меньше $90^\circ$, следовательно, он острый.
- Угол $\angle SQA$ меньше $90^\circ$, следовательно, он острый.
- Угол $\angle AQF$ меньше $90^\circ$, следовательно, он острый.
- Угол $\angle FQP$ меньше $90^\circ$, следовательно, он острый.
- Общий угол $\angle RQP$ заметно больше $90^\circ$, следовательно, он тупой.
Ответ: Острые углы: $\angle RQS, \angle SQA, \angle AQF, \angle FQP$. Тупой угол: $\angle RQP$.

Рисунок 7.14

На этом рисунке изображен многоугольник. Определим вид его внутренних углов:
- Угол при вершине $D$ ($\angle MDB$) при сравнении с угольником совпадает с прямым углом. Это прямой угол ($=90^\circ$).
- Угол при вершине $B$ ($\angle DBS$) шире прямого угла. Это тупой угол ($>90^\circ$).
- Угол при вершине $S$ ($\angle BST$) шире прямого угла. Это тупой угол ($>90^\circ$).
- Угол при вершине $T$ ($\angle STL$) шире прямого угла. Это тупой угол ($>90^\circ$).
- Угол при вершине $L$ ($\angle TLK$) шире прямого угла. Это тупой угол ($>90^\circ$).
- Угол при вершине $K$ ($\angle LKM$) уже прямого угла. Это острый угол ($<90^\circ$).
- Угол при вершине $M$ ($\angle KMD$) уже прямого угла. Это острый угол ($<90^\circ$).
Ответ: Прямой угол: $\angle D$. Острые углы: $\angle K, \angle M$. Тупые углы: $\angle B, \angle S, \angle T, \angle L$.

7.50 Постройте квадрат, сторона которого равна 3,7 см. Найдите его периметр и площадь.

Построение квадрата

Чтобы построить квадрат со стороной 3,7 см, необходимо выполнить следующие действия с помощью линейки и угольника (или транспортира):

1. Начертить отрезок AB длиной 3,7 см.
2. Из точки A провести луч, перпендикулярный отрезку AB.
3. На этом луче отложить отрезок AD длиной 3,7 см.
4. Из точки B провести луч, перпендикулярный отрезку AB, в ту же сторону, что и луч из точки A.
5. На этом луче отложить отрезок BC длиной 3,7 см.
6. Соединить точки D и C.

Получившаяся фигура ABCD является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны 3,7 см и все углы прямые.

Нахождение периметра

Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у квадрата все четыре стороны равны, его периметр вычисляется по формуле:
$P = 4 \cdot a$
где $a$ — длина стороны квадрата.
Подставим в формулу известное значение стороны $a = 3,7$ см:
$P = 4 \cdot 3,7 = 14,8$ см.
Ответ: 14,8 см.

Нахождение площади

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как произведение его смежных сторон, или, что то же самое, как квадрат его стороны. Формула для вычисления площади:
$S = a^2$
где $a$ — длина стороны квадрата.
Подставим в формулу известное значение стороны $a = 3,7$ см:
$S = (3,7)^2 = 3,7 \cdot 3,7 = 13,69$ $\text{см}^2$.
Ответ: 13,69 $\text{см}^2$.

7.51 Вычислите:

а) Чтобы вычислить значение выражения $41,354 : m + 170,79 : n$ при $m = 100$ и $n = 10$, подставим данные значения в выражение:
$41,354 : 100 + 170,79 : 10$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. Делим 41,354 на 100. Для этого переносим запятую влево на два знака (так как у числа 100 два нуля):
$41,354 : 100 = 0,41354$
2. Делим 170,79 на 10. Для этого переносим запятую влево на один знак:
$170,79 : 10 = 17,079$
3. Складываем полученные результаты:
$0,41354 + 17,079 = 17,49254$
Ответ: 17,49254.

б) Чтобы вычислить значение выражения $633,74x - 9878 : y$ при $x = 100$ и $y = 1000$, подставим данные значения. Выражение $633,74x$ означает $633,74 \cdot x$.
$633,74 \cdot 100 - 9878 : 1000$
Сначала выполняем умножение и деление, а затем вычитание.
1. Умножаем 633,74 на 100. Для этого переносим запятую вправо на два знака:
$633,74 \cdot 100 = 63374$
2. Делим 9878 на 1000. Для этого переносим запятую влево на три знака:
$9878 : 1000 = 9,878$
3. Вычитаем из первого результата второй:
$63374 - 9,878 = 63364,122$
Ответ: 63364,122.

в) Чтобы вычислить значение выражения $6,57 : (c + 0,2) + 7,56 : (c - 0,2)$ при $c = 0,3$, подставим данное значение в выражение:
$6,57 : (0,3 + 0,2) + 7,56 : (0,3 - 0,2)$
Сначала выполняем действия в скобках.
1. $0,3 + 0,2 = 0,5$
2. $0,3 - 0,2 = 0,1$
Теперь выражение принимает вид:
$6,57 : 0,5 + 7,56 : 0,1$
Выполняем деление.
3. Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2, или можно перенести запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $65,7 : 5$.
$6,57 : 0,5 = 13,14$
4. Деление на 0,1 эквивалентно умножению на 10:
$7,56 : 0,1 = 75,6$
Теперь выполняем сложение:
5. $13,14 + 75,6 = 88,74$
Ответ: 88,74.

7.52 Найдите массу груза, если контейнер с грузом весит 4,4 т и масса контейнера в 3 раза меньше массы груза.