Страница 159, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

В.1 Что такое натуральный ряд? Какие свойства натурального ряда вы знаете?

Что такое натуральный ряд?

Натуральный ряд — это последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Натуральными числами называют числа, которые возникают естественным образом при счете предметов (первый, второй, третий и т.д.).

Натуральный ряд начинается с единицы (1) и продолжается бесконечно, где каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Таким образом, натуральный ряд имеет вид:

$1, 2, 3, 4, 5, ..., n, n+1, ...$

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $\mathbb{N}$. Стоит отметить, что в некоторых математических школах (особенно в зарубежных) в состав натуральных чисел включают и 0. Однако в традиционной российской программе натуральные числа начинаются с 1.

Ответ: Натуральный ряд — это упорядоченная по возрастанию бесконечная последовательность всех натуральных чисел, начиная с 1: $1, 2, 3, ...$ .

Какие свойства натурального ряда вы знаете?

Натуральный ряд обладает рядом ключевых свойств, которые определяют его структуру и лежат в основе арифметики.

1. Наличие наименьшего элемента. В натуральном ряду существует самый первый и самый маленький элемент — это число 1. Нет натурального числа меньше единицы.

2. Бесконечность. Натуральный ряд бесконечен, то есть у него нет последнего, самого большого элемента. Для любого натурального числа $n$ всегда найдется число больше него, например, $n+1$.

3. Упорядоченность. Элементы натурального ряда строго упорядочены. Для любых двух различных натуральных чисел $a$ и $b$ всегда справедливо одно из соотношений: либо $a < b$, либо $a > b$.

4. Дискретность (прерывность). Для каждого натурального числа $n$ существует единственное следующее за ним натуральное число, которое равно $n+1$. Между любыми двумя соседними натуральными числами $n$ и $n+1$ не существует других натуральных чисел.

5. Наличие предшественника. Каждое натуральное число, за исключением 1, имеет единственное предыдущее ему натуральное число (предшественника). Для числа $n > 1$ предшественником является $n-1$. У числа 1 предшественника в множестве натуральных чисел нет.

6. Замкнутость относительно сложения и умножения. Сумма и произведение любых двух натуральных чисел также являются натуральными числами. Формально: если $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$, то их сумма $(a+b) \in \mathbb{N}$ и их произведение $(a \cdot b) \in \mathbb{N}$. Это свойство не всегда выполняется для вычитания и деления.

7. Принцип математической индукции. Это фундаментальное свойство, используемое для доказательства утверждений для всех натуральных чисел. Если некоторое утверждение верно для $n=1$, и из его верности для произвольного натурального числа $k$ следует его верность для $k+1$, то данное утверждение верно для всех натуральных чисел.

Ответ: Основные свойства натурального ряда: наличие наименьшего элемента (1), бесконечность, упорядоченность, дискретность, наличие предшественника для каждого числа, кроме 1, замкнутость относительно операций сложения и умножения, а также справедливость принципа математической индукции.

В.2 Что такое система счисления? Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?

Что такое система счисления?

Система счисления — это символический метод записи чисел, то есть совокупность правил и знаков, с помощью которых можно представить любое число. Знаки, используемые для записи чисел, называют цифрами.

Системы счисления делятся на два основных вида:

• Непозиционные — системы, в которых значение цифры не зависит от её положения в записи числа. Классическим примером является римская система счисления (в числе XXXV, каждый символ X означает 10).
• Позиционные — системы, в которых значение цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа. К таким системам относится привычная нам десятичная система.

Ответ: Система счисления — это совокупность правил и знаков (цифр) для представления чисел.

Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?

Используемую нами систему счисления называют позиционной, потому что количественное значение, которое несёт в себе каждая цифра, зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, в числе 747 первая цифра «7» обозначает семь сотен ($7 \cdot 10^2$), а последняя — семь единиц ($7 \cdot 10^0$). Таким образом, одна и та же цифра имеет разный «вес» в зависимости от своего положения.

Эту же систему называют десятичной, потому что для записи чисел в ней используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число 10 является основанием данной системы счисления. Это значит, что вес каждого разряда представляет собой степень числа 10. Любое число можно представить в виде суммы произведений цифр на степени основания (10). Например: $345,21 = 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2}$.

Ответ: Её называют позиционной, так как значение цифры зависит от её места (позиции) в числе, а десятичной — потому что для записи чисел используется десять цифр, и основание системы равно 10.

В.3 Что значит сравнить два числа? Сформулируйте правила сравнения натуральных чисел.

Что значит сравнить два числа?

Сравнить два числа — это значит определить, какое из них больше, какое меньше, или установить, что они равны. Результат сравнения записывают в виде равенства или неравенства, используя знаки сравнения: $>$ (больше), $<$ (меньше), $=$ (равно). Для любых двух чисел $a$ и $b$ всегда выполняется одно, и только одно, из трёх соотношений: $a > b$ (читается «$a$ больше $b$»), $a < b$ (читается «$a$ меньше $b$») или $a = b$ (читается «$a$ равно $b$»).

Ответ: Сравнить два числа — это значит установить, какое из них больше, какое меньше, или же что они равны.

Правила сравнения натуральных чисел

Существуют следующие основные правила для сравнения натуральных чисел:

1. Сравнение по количеству цифр. Из двух натуральных чисел больше то, в записи которого больше цифр (разрядов).
Например: $1024 > 999$, так как в первом числе 4 цифры, а во втором — 3.

2. Поразрядное сравнение. Если у двух натуральных чисел количество цифр одинаково, то их сравнивают поразрядно, слева направо (начиная со старшего разряда). Больше то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.
Например: чтобы сравнить числа $7852$ и $7839$, начинаем сравнение слева. Цифры тысяч ($7=7$) и сотен ($8=8$) совпадают. Первая неодинаковая цифра находится в разряде десятков: $5 > 3$. Следовательно, $7852 > 7839$. Если все цифры в соответствующих разрядах совпадают, то числа равны.

3. Сравнение по положению на числовом луче. Из двух натуральных чисел больше то, которое на координатном (числовом) луче расположено правее.
Например: число $8$ расположено правее числа $5$, поэтому $8 > 5$.

Ответ: Для сравнения натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр в них (больше то число, где цифр больше). Если количество цифр одинаково, то числа сравнивают поразрядно слева направо (больше то число, у которого первая отличающаяся цифра больше).

В.4 Как на координатной прямой расположены точки М(m) и N(n), если:

а) m > n;

б) m = n;

в) m < n?

Координатная прямая — это прямая, на которой выбрано начало отсчета (точка O), единичный отрезок и положительное направление. Каждой точке на этой прямой соответствует некоторое число, называемое её координатой. По определению, если число $a$ больше числа $b$ ($a > b$), то точка с координатой $a$ лежит правее точки с координатой $b$. Соответственно, если $a < b$, то точка с координатой $a$ лежит левее точки с координатой $b$. Если $a = b$, то точки совпадают.

Исходя из этого правила, рассмотрим данные случаи:

а) Если $m > n$, это означает, что координата точки M больше координаты точки N. Следовательно, на координатной прямой точка M расположена правее точки N.
Ответ: Точка M(m) расположена правее точки N(n).

б) Если $m = n$, это означает, что координаты точек M и N равны. Точки с одинаковыми координатами на прямой совпадают.
Ответ: Точки M(m) и N(n) совпадают.

в) Если $m < n$, это означает, что координата точки M меньше координаты точки N. Следовательно, на координатной прямой точка M расположена левее точки N.
Ответ: Точка M(m) расположена левее точки N(n).

В.5 Как сравнить:

а) трёхзначное и четырёхзначное натуральные числа;

б) два семизначных числа, первое из которых начинается цифрой 8, а второе — цифрой 3;

в) обыкновенные дроби с разными знаменателями;

г) десятичные дроби с одинаковыми целыми частями?

а) При сравнении двух натуральных чисел большим является то, в котором больше цифр (разрядов). Трёхзначное число состоит из трёх цифр, а четырёхзначное — из четырёх. Поскольку количество разрядов у четырёхзначного числа больше, чем у трёхзначного ($4 > 3$), любое четырёхзначное натуральное число всегда будет больше любого трёхзначного.

Например, самое большое трёхзначное число — 999, а самое маленькое четырёхзначное — 1000. Очевидно, что $999 < 1000$.

Ответ: Четырёхзначное число всегда больше трёхзначного, так как в нём больше разрядов.

б) Если натуральные числа имеют одинаковое количество цифр (в данном случае — по семь), их сравнивают поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда. Большим будет то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

В задаче сравниваются два семизначных числа. Первое начинается с цифры 8, а второе — с цифры 3. Сравнение начинается с самого старшего разряда (разряда миллионов). Поскольку $8 > 3$, первое число больше второго, независимо от всех последующих цифр.

Ответ: Число, начинающееся с цифры 8, больше числа, начинающегося с цифры 3, так как при поразрядном сравнении его цифра в старшем разряде больше.

в) Чтобы сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, их следует привести к общему знаменателю. Алгоритм сравнения следующий:

1. Найти общий знаменатель для данных дробей. Чаще всего в качестве общего знаменателя используют наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей.

2. Для каждой дроби вычислить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате получатся дроби, равные исходным, но с одинаковым знаменателем.

4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Например, сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$. Общий знаменатель — НОК(5, 7) = 35.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$

Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{35} < \frac{15}{35}$, а значит, $\frac{2}{5} < \frac{3}{7}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю и затем сравнить числители; больше та дробь, у которой числитель окажется больше.

г) Если у десятичных дробей одинаковые целые части, то для их сравнения нужно сравнивать их дробные части поразрядно, двигаясь слева направо (сначала десятые, затем сотые, тысячные и т.д.), пока не встретится первая пара неодинаковых цифр.

1. Сравниваем цифры в разряде десятых. Если они не равны, то больше та дробь, у которой эта цифра больше.

2. Если цифры в разряде десятых равны, переходим к сравнению цифр в разряде сотых. Если они не равны, то больше та дробь, у которой эта цифра больше.

3. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено различие.

Для упрощения можно уравнять количество цифр после запятой, дописав нули в конце дробной части у одной из дробей. Это не изменит её значение. После этого можно сравнить дробные части как обычные натуральные числа.

Например, сравним числа 23,47 и 23,465. Целые части (23) равны. Сравниваем дробные части:

- Цифры в разряде десятых равны: 4 = 4.

- Цифры в разряде сотых не равны: $7 > 6$.

Следовательно, $23,47 > 23,465$.

Другой способ: уравняем число знаков после запятой, получив 23,470 и 23,465. Теперь сравним дробные части: $470 > 465$. Значит, $23,470 > 23,465$.

Ответ: Десятичные дроби с одинаковыми целыми частями сравнивают поразрядно после запятой (слева направо); больше та дробь, у которой первая из неодинаковых цифр в дробной части больше.

В.6 Что такое числовое равенство; числовое неравенство?

Что такое числовое равенство

Числовое равенство — это утверждение, записанное с помощью знака равенства ($=$), которое соединяет два числовых выражения. Числовое равенство показывает, что значения выражений слева и справа от знака «$=$» одинаковы. Выражение слева называется левой частью равенства, а выражение справа — правой частью.

Числовые равенства бывают двух видов:

1. Верные числовые равенства, когда значение левой части действительно равно значению правой части.
Например:
$7 + 8 = 15$ (значение левой части равно 15, и правой тоже 15).
$3 \cdot 9 = 27$ (значение левой части равно 27, и правой тоже 27).

2. Неверные числовые равенства, когда значение левой части не равно значению правой части.
Например:
$10 - 4 = 5$ (значение левой части равно 6, а правой — 5, что неверно).

Ответ: Числовое равенство — это запись, в которой два числовых выражения соединены знаком «$=$». Оно является верным, если значения левой и правой частей совпадают, и неверным, если не совпадают.

Что такое числовое неравенство

Числовое неравенство — это утверждение, записанное с помощью знаков неравенства ($>$, $<$, $\geq$, $\leq$), которое соединяет два числовых выражения. Неравенство показывает, что значение одного выражения больше или меньше значения другого. Так же, как и в равенстве, есть левая и правая части.

Знаки неравенства и их значения:
$a > b$ — $a$ больше $b$.
$a < b$ — $a$ меньше $b$.
$a \geq b$ — $a$ больше или равно $b$.
$a \leq b$ — $a$ меньше или равно $b$.

Знаки $>$ и $<$ называются строгими, а знаки $\geq$ и $\leq$ — нестрогими.

Числовые неравенства, как и равенства, могут быть верными или неверными.

Примеры верных неравенств:
$12 > 5$ (строгое)
$3 + 4 < 10$ (строгое, так как $7 < 10$)
$8 \geq 8$ (нестрогое, так как выполняется условие равенства)
$15 \geq 10 - 2$ (нестрогое, так как $15 \geq 8$)

Примеры неверных неравенств:
$4 > 9$
$6 \leq 2$

Ответ: Числовое неравенство — это запись, в которой два числовых выражения соединены одним из знаков $ > $, $ < $, $ \geq $ или $ \leq $. Оно является верным, если соотношение между значениями левой и правой частей соответствует знаку неравенства, и неверным, если не соответствует.

В.7 Как называются компоненты и результат сложения; вычитания; умножения; деления?

сложения

Компоненты, участвующие в операции сложения, называются слагаемыми. Результат этой операции называется суммой. В математическом выражении, которое описывает сложение, например $a + b = c$, компоненты $a$ и $b$ являются слагаемыми, а результат $c$ — их суммой.

Ответ: компоненты — слагаемое, слагаемое; результат — сумма.

вычитания

В операции вычитания число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат вычитания — это разность. В выражении $a - b = c$ компонент $a$ — это уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, а $c$ — разность.

Ответ: компоненты — уменьшаемое, вычитаемое; результат — разность.

умножения

Компоненты, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями). Результат операции умножения называется произведением. В выражении $a \cdot b = c$ компоненты $a$ и $b$ являются множителями, а $c$ — это их произведение.

Ответ: компоненты — множитель, множитель; результат — произведение.

деления

В операции деления число, которое делят, называется делимым. Число, на которое делят, — делителем. Результат деления называется частным. В выражении $a : b = c$ компонент $a$ — это делимое, $b$ — делитель, а $c$ — частное. Делитель не может быть равен нулю.

Ответ: компоненты — делимое, делитель; результат — частное.

В.8 По какому правилу находится:

а) неизвестное слагаемое;

б) неизвестное уменьшаемое;

в) неизвестное вычитаемое;

г) неизвестный множитель;

д) неизвестное делимое;

е) неизвестный делитель?

а) неизвестное слагаемое
В операции сложения участвуют компоненты: слагаемое, слагаемое и сумма. Если одно из слагаемых неизвестно, его можно найти, выполнив обратное действие — вычитание.
Рассмотрим уравнение вида $x + a = c$, где $x$ — неизвестное слагаемое, $a$ — известное слагаемое, а $c$ — сумма.
Чтобы найти $x$, нужно из суммы $c$ вычесть известное слагаемое $a$: $x = c - a$.
Например: в уравнении $x + 8 = 20$, неизвестное слагаемое $x$ находится как $x = 20 - 8 = 12$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

б) неизвестное уменьшаемое
В операции вычитания участвуют компоненты: уменьшаемое (число, из которого вычитают), вычитаемое (число, которое вычитают) и разность (результат).
Рассмотрим уравнение вида $x - b = c$, где $x$ — неизвестное уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, $c$ — разность.
Чтобы найти $x$, нужно к разности $c$ прибавить вычитаемое $b$: $x = c + b$.
Например: в уравнении $x - 7 = 15$, неизвестное уменьшаемое $x$ находится как $x = 15 + 7 = 22$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

в) неизвестное вычитаемое
Если в операции вычитания неизвестно вычитаемое, его находят, зная уменьшаемое и разность.
Рассмотрим уравнение вида $a - x = c$, где $a$ — уменьшаемое, $x$ — неизвестное вычитаемое, $c$ — разность.
Чтобы найти $x$, нужно из уменьшаемого $a$ вычесть разность $c$: $x = a - c$.
Например: в уравнении $30 - x = 18$, неизвестное вычитаемое $x$ находится как $x = 30 - 18 = 12$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

г) неизвестный множитель
В операции умножения участвуют компоненты: множитель, множитель и произведение. Если один из множителей неизвестен, его находят, выполнив обратное действие — деление.
Рассмотрим уравнение вида $x \cdot a = c$, где $x$ — неизвестный множитель, $a$ — известный множитель, $c$ — произведение.
Чтобы найти $x$, нужно произведение $c$ разделить на известный множитель $a$: $x = c / a$.
Например: в уравнении $x \cdot 6 = 54$, неизвестный множитель $x$ находится как $x = 54 / 6 = 9$.
Ответ: Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

д) неизвестное делимое
В операции деления участвуют компоненты: делимое (число, которое делят), делитель (число, на которое делят) и частное (результат).
Рассмотрим уравнение вида $x \div b = c$, где $x$ — неизвестное делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное.
Чтобы найти $x$, нужно частное $c$ умножить на делитель $b$: $x = c \cdot b$.
Например: в уравнении $x \div 4 = 7$, неизвестное делимое $x$ находится как $x = 7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

е) неизвестный делитель
Если в операции деления неизвестен делитель, его находят, зная делимое и частное.
Рассмотрим уравнение вида $a \div x = c$, где $a$ — делимое, $x$ — неизвестный делитель, $c$ — частное.
Чтобы найти $x$, нужно делимое $a$ разделить на частное $c$: $x = a / c$.
Например: в уравнении $63 \div x = 9$, неизвестный делитель $x$ находится как $x = 63 / 9 = 7$.
Ответ: Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

В.9 Какие вы знаете свойства числа 0; числа 1?

Свойства числа 0

Число 0 (ноль) обладает уникальными свойствами в арифметике и алгебре:

1. Сложение и вычитание: Ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддитивной единицей). Это означает, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число.
Формула: $a + 0 = 0 + a = a$.
Аналогично, вычитание нуля не меняет число: $a - 0 = a$.
Вычитание любого числа из самого себя дает ноль: $a - a = 0$.

2. Умножение: При умножении любого числа на ноль в результате всегда получается ноль. Ноль называют поглощающим элементом для умножения.
Формула: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.

3. Деление: Деление нуля на любое число, не равное нулю, дает в результате ноль.
Формула: $0 / a = 0$ при $a \neq 0$.
Деление на ноль является неопределенной операцией и запрещено в стандартной арифметике.

4. Возведение в степень:
• Любое ненулевое число, возведенное в степень ноль, равно единице: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.
• Ноль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю: $0^n = 0$ при $n > 0$.
• Выражение $0^0$ (ноль в степени ноль) является математической неопределенностью.

5. Другие свойства:
• Ноль — это целое число.
• Ноль — чётное число, так как он делится на 2 без остатка ($0 / 2 = 0$).
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Он разделяет числовую прямую на положительные и отрицательные числа.

Ответ: Основные свойства числа 0 включают его роль как нейтрального элемента для сложения (аддитивной единицы), поглощающего элемента для умножения (любое число, умноженное на 0, равно 0), а также особые правила при делении (делить на 0 нельзя) и возведении в степень.

Свойства числа 1

Число 1 (единица) также имеет ряд фундаментальных свойств:

1. Умножение и деление: Единица является нейтральным элементом для операции умножения (мультипликативной единицей). Умножение или деление любого числа на единицу не изменяет это число.
Формулы: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ и $a / 1 = a$.

2. Возведение в степень:
• Любое число, возведенное в степень один, равно самому себе: $a^1 = a$.
• Единица, возведенная в любую степень, всегда равна единице: $1^n = 1$.

3. Делимость: Любое целое число делится на 1 без остатка. Единица является делителем всех целых чисел.

4. Статус в теории чисел:
• Единица — это первое и наименьшее натуральное число.
• Единица не является ни простым, ни составным числом. Простое число имеет ровно два различных натуральных делителя (1 и само себя), а у единицы только один делитель — 1.

5. Другие свойства:
• Факториал единицы равен единице: $1! = 1$.
• Число, обратное единице, равно самой единице: $1^{-1} = 1/1 = 1$.

Ответ: Ключевые свойства числа 1 — это его роль как нейтрального элемента для умножения (мультипликативной единицы), что означает, что умножение или деление на 1 не меняет число. Также 1 является основанием для натуральных чисел, имеет особые свойства при возведении в степень и не относится ни к простым, ни к составным числам.

В.10 Что такое квадрат числа; куб числа?

Квадрат числа

Квадратом числа a (или числом во второй степени) называется результат умножения этого числа на само себя. Обозначается это как $a^2$ (читается «а в квадрате»), а вычисляется по формуле $a^2 = a \cdot a$. Например, квадрат числа 5 равен $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$, а квадрат числа -3 равен $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$. Название «квадрат» происходит от того, что площадь геометрического квадрата со стороной a равна $a^2$.

Ответ: Квадрат числа — это произведение числа на само себя.

Куб числа

Кубом числа a (или числом в третьей степени) называется результат умножения этого числа на само себя три раза (то есть произведение трех множителей, равных a). Обозначается это как $a^3$ (читается «а в кубе»), а вычисляется по формуле $a^3 = a \cdot a \cdot a$. Например, куб числа 2 равен $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, а куб числа -2 равен $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Название «куб» происходит от того, что объем геометрического куба с ребром a равен $a^3$.

Ответ: Куб числа — это произведение трех множителей, каждый из которых равен этому числу.

В.11 В каком порядке следует выполнять действия в выражении без скобок, если в нём содержится по одному разу вычитание, возведение числа в квадрат и умножение?

B.11

Согласно общепринятым правилам порядка выполнения арифметических действий, в выражении без скобок операции выполняются в соответствии с их приоритетом. Существует иерархия, или ступени, математических операций:

• Действие 3-й ступени (наивысший приоритет): Возведение в степень.
• Действие 2-й ступени: Умножение и деление.
• Действие 1-й ступени (низший приоритет): Сложение и вычитание.

Операции более высокой ступени выполняются раньше, чем операции более низкой ступени. Операции одной ступени (например, несколько умножений и делений) выполняются по порядку слева направо.

В рассматриваемом выражении без скобок присутствуют три операции разных ступеней:

• Возведение числа в квадрат (3-я ступень).
• Умножение (2-я ступень).
• Вычитание (1-я ступень).

Следовательно, порядок выполнения действий будет следующим:

1. Сначала выполняется возведение числа в квадрат, так как это операция наивысшей, третьей ступени.
2. Затем выполняется умножение, операция второй ступени, так как оно имеет более высокий приоритет, чем вычитание.
3. В последнюю очередь выполняется вычитание, как операция самой низкой, первой ступени.

Для наглядности рассмотрим пример выражения $20 - 3 \times 2^2$. Порядок вычислений будет таким:

1. Возведение в квадрат: $2^2 = 4$. Выражение принимает вид $20 - 3 \times 4$.
2. Умножение: $3 \times 4 = 12$. Выражение принимает вид $20 - 12$.
3. Вычитание: $20 - 12 = 8$.

Ответ: 1. возведение числа в квадрат; 2. умножение; 3. вычитание.

В.12 Что такое буквенное выражение? Как из буквенного выражения получаются числовые выражения?

Что такое буквенное выражение?

Буквенное выражение — это математическая запись, которая состоит из чисел, букв (называемых переменными), знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок. Буквы в таких выражениях обозначают некоторые числа, которые могут принимать различные значения.

Например, следующие записи являются буквенными выражениями:

• $a + 5$
• $2x - y$
• $(m + n) \div 10$
• $S = v \cdot t$ (формула пути)

Буквенные выражения позволяют записывать законы и свойства чисел в общем виде, а также формулы для решения типовых задач.

Ответ: Буквенное выражение — это выражение, содержащее не только числа и знаки действий, но и буквы (переменные).

Как из буквенного выражения получаются числовые выражения?

Чтобы из буквенного выражения получить числовое, нужно вместо каждой буквы (переменной) подставить её конкретное числовое значение. Если в выражении несколько одинаковых букв, то вместо них подставляется одно и то же число.

Рассмотрим пример. Пусть дано буквенное выражение $3c - 8$. Если мы примем, что переменная $c$ равна 5, то есть $c=5$, мы можем подставить это значение в выражение:

$3 \cdot 5 - 8$

Мы получили числовое выражение. Выполнив действия, найдем его значение: $15 - 8 = 7$. Число 7 называют значением буквенного выражения $3c - 8$ при $c=5$.

Если в выражении несколько переменных, например, $2a + 4b$, то для получения числового выражения нужно подставить значения для каждой из них. Например, при $a=1$ и $b=3$ мы получим:

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14$

Ответ: Чтобы получить из буквенного выражения числовое, необходимо вместо каждой переменной (буквы) подставить её числовое значение.

В.13 Что такое формула?

В.13 Формула (от лат. formula — «форма, правило, предписание») — это символическая запись, которая выражает зависимость между величинами или какое-либо утверждение в рамках формальной системы (например, в математике, физике, химии). По сути, это точное и краткое правило или закон, выраженный с помощью символов.

Основные компоненты формулы включают: переменные (символы для изменяющихся величин, например, $x, r, t$), константы (величины с постоянным значением, например, число $\pi$ или скорость света $c$), операторы (знаки операций, такие как +, ?, =) и функции (обозначения для определенных преобразований, например, $\sin(x), \sqrt{x}$).

Вот несколько примеров из разных областей:

В математике: формула площади круга $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус; формула для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

В физике: второй закон Ньютона $F = ma$, связывающий силу $F$, массу $m$ и ускорение $a$; формула эквивалентности массы и энергии Эйнштейна $E = mc^2$.

В химии: химическая формула воды $H_2O$, показывающая, что её молекула состоит из двух атомов водорода (H) и одного атома кислорода (O).

Таким образом, формула является универсальным языком для точного описания связей, выполнения расчетов и компактного представления научных законов и принципов.

Ответ: Формула — это символическая запись, которая с помощью переменных, констант, операторов и функций выражает какое-либо соотношение между величинами, утверждение или правило.

В.14 Что такое уравнение? Что значит решить уравнение?

Что такое уравнение?

Уравнение — это математическое равенство, которое содержит одну или несколько неизвестных величин, называемых переменными. Эти переменные обычно обозначаются буквами (например, $x, y, a, b$). Равенство в уравнении является верным не при любых значениях переменных, а только при определённых, которые и требуется найти.

Структурно уравнение состоит из двух частей — левой и правой, соединённых знаком равенства «=». Например, в уравнении $3x - 5 = 4$, выражение $3x - 5$ является левой частью, а число $4$ — правой.

Ответ: Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его решения (или, как их ещё называют, корни) или доказать, что таких решений не существует.

Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого в исходное уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Например, для уравнения $3x - 5 = 4$ корнем является число $x=3$, потому что при его подстановке получается верное равенство:

$3 \cdot 3 - 5 = 4$

$9 - 5 = 4$

$4 = 4$ (верно)

Если же подставить любое другое число, например $x=2$, равенство будет неверным: $3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1 \neq 4$.

Результатом решения уравнения является множество его корней. Это множество может быть:

• пустым (уравнение не имеет корней, например, $0 \cdot x = 5$);
• состоять из одного или нескольких чисел (например, $x^2 = 9$ имеет два корня: $3$ и $-3$);
• состоять из бесконечного числа значений (например, $x + 2 = 2 + x$, где корнем является любое число).

Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.