Страница 163, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.26 Запишите координату какой-либо точки М, которая лежит между точками С и D на координатной прямой, если:

а) Чтобы найти координату точки M, которая лежит между точками C(3) и D(7), нужно выбрать любое число, которое больше 3 и меньше 7. Один из способов — найти среднее арифметическое координат этих точек. Координата M будет равна $m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.Ответ: 5.

б) Координата точки M должна находиться между 1 и 2. Поскольку между этими числами нет целых, выберем дробное число. Найдем среднее арифметическое: $m = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.Ответ: 1,5.

в) Координата точки M должна быть больше 4,6 и меньше 5,3. Найдем среднее арифметическое этих координат: $m = \frac{4,6 + 5,3}{2} = \frac{9,9}{2} = 4,95$.Ответ: 4,95.

г) Координата точки M должна быть больше 9,9 и меньше 10. Найдем среднее арифметическое этих значений: $m = \frac{9,9 + 10}{2} = \frac{19,9}{2} = 9,95$.Ответ: 9,95.

д) Требуется найти число между $C(\frac{3}{7})$ и $D(1)$. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$. Теперь нужно найти число между $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{7}$. Найдем среднее арифметическое: $m = \frac{\frac{3}{7} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{7} + \frac{7}{7}}{2} = \frac{\frac{10}{7}}{2} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.Ответ: $\frac{5}{7}$.

е) Требуется найти число между C(1) и $D(\frac{9}{8})$. Сначала сравним эти числа: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$, что больше 1. Значит, координата точки M должна быть в интервале от 1 до $\frac{9}{8}$. Найдем среднее арифметическое: $m = \frac{1 + \frac{9}{8}}{2} = \frac{\frac{8}{8} + \frac{9}{8}}{2} = \frac{\frac{17}{8}}{2} = \frac{17}{16}$.Ответ: $\frac{17}{16}$.

П.27 Сравните числа:

а) Чтобы сравнить натуральные числа 3279 и 899, нужно сравнить количество разрядов (цифр) в них. В числе 3279 четыре разряда, а в числе 899 — три. Число, у которого больше разрядов, всегда больше.

Следовательно, $3279 > 899$.

Ответ: $3279 > 899$.

б) Чтобы сравнить числа 8423 и 8421, имеющие одинаковое количество разрядов, сравниваем их поразрядно, слева направо. Цифры в разрядах тысяч, сотен и десятков у этих чисел совпадают. Сравниваем цифры в разряде единиц: у числа 8423 это 3, а у числа 8421 — это 1. Так как $3 > 1$, то и число 8423 больше числа 8421.

Ответ: $8423 > 8421$.

в) Сравниваем десятичную дробь 0,96 и число 1,000 (которое равно 1). Для этого в первую очередь сравниваем их целые части. Целая часть числа 0,96 равна 0. Целая часть числа 1,000 равна 1. Поскольку $0 < 1$, то $0,96 < 1,000$.

Ответ: $0,96 < 1,000$.

г) Для сравнения десятичных дробей 231,912 и 31,917 сначала сравниваем их целые части. Целая часть первого числа — 231, второго — 31. Так как $231 > 31$, то первое число больше второго, дальнейшее сравнение дробных частей не требуется.

Ответ: $231,912 > 31,917$.

д) Чтобы сравнить десятичную дробь 2,4 и смешанное число $2\frac{2}{5}$, необходимо привести их к одному виду. Преобразуем дробную часть смешанного числа в десятичную дробь. Для этого разделим числитель 2 на знаменатель 5:

$2 \div 5 = 0,4$

Таким образом, смешанное число $2\frac{2}{5} = 2 + 0,4 = 2,4$.

Теперь сравним 2,4 и 2,4. Они равны.

Ответ: $2,4 = 2\frac{2}{5}$.

е) Чтобы сравнить обыкновенные дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{9}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 это 10. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{5}$ на 2:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{10}$ и $\frac{9}{10}$. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители: $8 < 9$. Значит, $\frac{8}{10} < \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{4}{5} < \frac{9}{10}$.

ж) Чтобы сравнить смешанные числа $2\frac{4}{5}$ и $2\frac{3}{4}$, сначала смотрим на их целые части. Они равны (2). Следовательно, нужно сравнить их дробные части: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 это 20.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$

Теперь сравним дроби $\frac{16}{20}$ и $\frac{15}{20}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$. Это означает, что $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$.

Ответ: $2\frac{4}{5} > 2\frac{3}{4}$.

з) Сравниваем смешанные числа $3\frac{3}{5}$ и $2\frac{8}{10}$. Начнем со сравнения целых частей. Целая часть первого числа — 3, второго — 2. Так как $3 > 2$, то первое число больше второго, сравнение дробных частей не требуется.

Ответ: $3\frac{3}{5} > 2\frac{8}{10}$.

и) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 это 9. Дробь $\frac{5}{9}$ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 9, умножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9}$

Теперь сравним дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{9}$. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $5 > 3$. Следовательно, $\frac{5}{9} > \frac{3}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9} > \frac{1}{3}$.

П.28 Вычислите.

а) Выполним вычисления по действиям:
1. Деление: $10 : 4 = 2,5$
2. Вычитание: $2,5 - 1,3 = 1,2$
3. Умножение: $1,2 \cdot 0,4 = 0,48$
4. Сложение: $0,48 + 0,32 = 0,8$
Ответ: 0,8

б) Выполним вычисления по действиям:
1. Вычитание: $4 - 3,4 = 0,6$
2. Умножение: $0,6 \cdot 1,4 = 0,84$
3. Сложение: $0,84 + 0,06 = 0,9$
4. Деление: $0,9 : 1,8 = 9 : 18 = 0,5$
Ответ: 0,5

в) Выполним вычисления по действиям:
1. Деление: $3 : 300 = 0,01$
2. Сложение: $0,01 + 0,37 = 0,38$
3. Деление: $0,38 : 1,9 = 3,8 : 19 = 0,2$
4. Умножение: $0,2 \cdot 8 = 1,6$
Ответ: 1,6

г) Выполним вычисления по действиям:
1. Деление: $70 : 20 = 3,5$
2. Деление: $3,5 : 10 = 0,35$
3. Умножение: $0,35 \cdot 4 = 1,4$
4. Сложение: $1,4 + 1,04 = 2,44$
Ответ: 2,44

д) Выполним вычисления по действиям:
1. Деление: $9,8 : 7 = 1,4$
2. Умножение: $1,4 \cdot 3 = 4,2$
3. Вычитание: $4,2 - 0,3 = 3,9$
4. Сложение: $3,9 + 2,1 = 6$
Ответ: 6

е) Выполним вычисления по действиям:
1. Деление: $49 : 70 = 0,7$
2. Сложение: $0,7 + 9,8 = 10,5$
3. Деление: $10,5 : 5 = 2,1$
4. Деление: $2,1 : 0,3 = 21 : 3 = 7$
Ответ: 7

ж) Выполним вычисления по действиям:
1. Сложение: $3,9 + 2,7 = 6,6$
2. Деление: $6,6 : 11 = 0,6$
3. Умножение: $0,6 \cdot 13 = 7,8$
4. Вычитание: $7,8 - 2,75 = 5,05$
Ответ: 5,05

з) Выполним вычисления по действиям:
1. Сложение: $4,6 + 2,2 = 6,8$
2. Деление: $6,8 : 0,2 = 68 : 2 = 34$
3. Вычитание: $34 - 30,5 = 3,5$
4. Умножение: $3,5 \cdot 0,1 = 0,35$
Ответ: 0,35

П.29 На рисунке 1 изображена шкала расстояний между муравейником L и деревом К. Каждое деление шкалы соответствует расстоянию 4 дм. Расстояния LP, PR, RF и FK муравей проползает за 1 мин.

Найдите:

а) время путешествия муравья от муравейника до дерева;

б) расстояние между L и К;

в) расстояние между Р и F;

г) расстояние, которое прополз муравей за первые 2 мин; за последние 2 мин;

д) на каком расстоянии от точки К был муравей через 2 мин после отправления из точки L.

П. 29

а) LP за 1 мин

PR за 1 мин

RF за 1 мин

FK за 1 мин

$\mathrm{LR} = \mathrm{LP} + \mathrm{PR} + \mathrm{RF} + \mathrm{FK}$ - расстояние от муравейника до дерева

1 мин + 1 мин + 1 мин + 1 мин = 4 мин

Ответ: 4 мин

б) расстояние между L и K равно 18 делений, где длина каждого деления равна 4 дм.

$18 · 4 = 72$ (дм); $72\mathrm{дм} = 7м2\mathrm{дм}$

Ответ: 72 дм или 7 м 2 дм

в) расстояние между P и F равно 10 делений, длина каждого деления равна 4 дм

$10 · 4 = 40$ дм; $40\mathrm{дм} = 4м$

Ответ: 40 дм или 4 м

г) за первые 2 мин муравей прополз расстояние LR, которое равно 11 делений; длина каждого деления равна 4 дм

$11 · 4 = 44$ дм; $44\mathrm{дм} = 4м4\mathrm{дм}$

за последние 2 мин муравей прополз расстояние RK, которое равно 7 делений, длина каждого деления равна 4 дм.

$7 · 4 = 28$ дм; $28\mathrm{дм} = 2м8\mathrm{дм}$

Ответ: 44 дм или 4 м 4 дм; 28 дм или 2 м 8 дм

д) через 2 мин после отправления из точки L муравей был в точке R; расстояние от точки K до точки R равно 7 делений, длина каждого деления равна 4 дм

$7 · 4 = 28$ дм; $28\mathrm{дм} = 2м8\mathrm{дм}$

Ответ: 28 дм или 2 м 8 дм

Для решения задачи сначала определим основные параметры из условия и рисунка:

• Цена деления шкалы: Каждое деление соответствует 4 дм.
• Расположение точек:
  • Точка L (муравейник) находится на отметке 0.
  • Точка P находится на 2-м делении от L. Расстояние LP = $2 \times 4 = 8$ дм.
  • Точка R находится на 4-м делении от L. Расстояние PR = $(4-2) \times 4 = 8$ дм.
  • Точка F находится на 6-м делении от L. Расстояние RF = $(6-4) \times 4 = 8$ дм.
  • Точка K (дерево) находится на 8-м делении от L. Расстояние FK = $(8-6) \times 4 = 8$ дм.
• Время и скорость: Муравей проползает каждый из участков LP, PR, RF, FK за 1 минуту. Так как длина каждого из этих участков равна 8 дм, скорость муравья составляет 8 дм/мин.

а) время путешествия муравья от муравейника до дерева;

Путь от муравейника L до дерева K состоит из четырех равных по времени прохождения участков: LP, PR, RF и FK. Время прохождения каждого участка — 1 минута. Чтобы найти общее время, нужно сложить время прохождения всех участков.

Общее время $= \text{Время (LP)} + \text{Время (PR)} + \text{Время (RF)} + \text{Время (FK)} = 1 \text{ мин} + 1 \text{ мин} + 1 \text{ мин} + 1 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.

Ответ: 4 мин.

б) расстояние между L и K;

Расстояние от L до K — это вся длина шкалы. На шкале от точки L (0) до точки K 8 делений. Каждое деление равно 4 дм.

Расстояние (LK) $= \text{количество делений} \times \text{длина деления} = 8 \times 4 \text{ дм} = 32 \text{ дм}$.

Ответ: 32 дм.

в) расстояние между P и F;

Расстояние между точками P и F состоит из двух участков: PR и RF. Мы уже определили, что длина каждого из этих участков равна 8 дм.

Расстояние (PF) $= \text{Расстояние (PR)} + \text{Расстояние (RF)} = 8 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$.

Также можно посчитать по делениям: точка P находится на 2-м делении, а F — на 6-м. Между ними $6 - 2 = 4$ деления. Расстояние равно $4 \times 4 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$.

Ответ: 16 дм.

г) расстояние, которое прополз муравей за первые 2 мин; за последние 2 мин;

Скорость муравья составляет 8 дм/мин. Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время.

Расстояние за первые 2 минуты: $8 \frac{\text{дм}}{\text{мин}} \times 2 \text{ мин} = 16 \text{ дм}$. За это время муравей доберется из L до R.

Общее время путешествия — 4 минуты. Последние 2 минуты — это промежуток времени с конца 2-й минуты до конца 4-й минуты. За это время муравей проползет от R до K. Расстояние также будет равно:

$8 \frac{\text{дм}}{\text{мин}} \times 2 \text{ мин} = 16 \text{ дм}$.

Ответ: за первые 2 мин — 16 дм; за последние 2 мин — 16 дм.

д) на каком расстоянии от точки K был муравей через 2 мин после отправления из точки L.

Через 2 минуты после отправления из точки L муравей проползет расстояние $16$ дм и окажется в точке R.

Нужно найти расстояние от текущего положения муравья (точка R) до конечной цели (точка K). Это расстояние (RK) состоит из участков RF и FK.

Расстояние (RK) $= \text{Расстояние (RF)} + \text{Расстояние (FK)} = 8 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$.

Также можно найти это расстояние, вычтя пройденный путь из общего расстояния:

Расстояние (RK) $= \text{Расстояние (LK)} - \text{Расстояние (LR)} = 32 \text{ дм} - 16 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$.

Ответ: 16 дм.

П.30 Выполните действия:

а) $124301 - (73645 + 83 \cdot 408) - 792$
Решение по действиям:
1) Сначала выполняем действия в скобках, начиная с умножения: $83 \cdot 408 = 33864$.
2) Далее выполняем сложение в скобках: $73645 + 33864 = 107509$.
3) Теперь выражение имеет вид: $124301 - 107509 - 792$. Выполняем вычитание слева направо: $124301 - 107509 = 16792$.
4) Завершающее действие: $16792 - 792 = 16000$.
Ответ: 16000.

б) $9935 + 203515 : (39635 - 72 \cdot 507)$
Решение по действиям:
1) Сначала выполняем действия в скобках, начиная с умножения: $72 \cdot 507 = 36504$.
2) Далее вычитание в скобках: $39635 - 36504 = 3131$.
3) Выражение принимает вид: $9935 + 203515 : 3131$. Выполняем деление: $203515 : 3131 = 65$.
4) Последнее действие — сложение: $9935 + 65 = 10000$.
Ответ: 10000.

в) $17,36 \cdot 6,88 - 5,36 \cdot 6,88 + 17,36 \cdot 3,12 - 8,36 \cdot 3,12$
Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки (используем распределительный закон):
$(17,36 \cdot 6,88 - 5,36 \cdot 6,88) + (17,36 \cdot 3,12 - 8,36 \cdot 3,12)$
1) Выносим общий множитель $6,88$ из первой группы:
$(17,36 - 5,36) \cdot 6,88 = 12 \cdot 6,88 = 82,56$.
2) Выносим общий множитель $3,12$ из второй группы:
$(17,36 - 8,36) \cdot 3,12 = 9 \cdot 3,12 = 28,08$.
3) Теперь сложим полученные результаты: $82,56 + 28,08 = 110,64$.
Ответ: 110,64.

г) $(10,5 : 1,4 - 0,12) : 0,012 + 1,6 \cdot (0,548 - 0,023)$
Решение по действиям:
1) Выполним деление в первой скобке: $10,5 : 1,4 = 105 : 14 = 7,5$.
2) Выполним вычитание в первой скобке: $7,5 - 0,12 = 7,38$.
3) Выполним деление полученного результата на $0,012$: $7,38 : 0,012 = 7380 : 12 = 615$.
4) Теперь выполним вычитание во второй скобке: $0,548 - 0,023 = 0,525$.
5) Выполним умножение: $1,6 \cdot 0,525 = 0,84$.
6) Сложим результаты, полученные в пунктах 3 и 5: $615 + 0,84 = 615,84$.
Ответ: 615,84.

П.31 Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $4 \cdot (7,7a + 17,3b) + 15 \cdot (0,9a - 0,7b)$ при $a = 1$ и $b = 1$, сначала упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

$4 \cdot 7,7a + 4 \cdot 17,3b + 15 \cdot 0,9a - 15 \cdot 0,7b = 30,8a + 69,2b + 13,5a - 10,5b$

2. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с одинаковыми переменными):

$(30,8a + 13,5a) + (69,2b - 10,5b) = 44,3a + 58,7b$

3. Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = 1$ и $b = 1$:

$44,3 \cdot 1 + 58,7 \cdot 1 = 44,3 + 58,7 = 103$

Ответ: 103

б) Чтобы найти значение выражения $5 \cdot (4,5n - 2,5c) + 4 \cdot (4,6n + 1,4c)$ при $n = 0,01$ и $c = 0$, также сначала упростим его.

1. Раскроем скобки:

$5 \cdot 4,5n - 5 \cdot 2,5c + 4 \cdot 4,6n + 4 \cdot 1,4c = 22,5n - 12,5c + 18,4n + 5,6c$

2. Приведем подобные слагаемые:

$(22,5n + 18,4n) + (-12,5c + 5,6c) = 40,9n - 6,9c$

3. Подставим в упрощенное выражение значения $n = 0,01$ и $c = 0$:

$40,9 \cdot 0,01 - 6,9 \cdot 0 = 0,409 - 0 = 0,409$

Ответ: 0,409

П.32 Развивай внимание. Найдите в записи числа 57874967347567879384 две последовательные цифры, которые в сумме дают 12.

Чтобы найти две последовательные цифры в числе 57874967347567879384, которые в сумме дают 12, необходимо последовательно проверять суммы пар соседних цифр, двигаясь по числу слева направо.

Первая пара соседних цифр в данном числе — это 5 и 7. Проверим их сумму:

$5 + 7 = 12$

Сумма первой же пары цифр оказалась равна 12, что полностью соответствует условию задачи. Следовательно, искомые цифры найдены.

Ответ: 5 и 7.

П.33 Бабушке 57 лет, внучке 3 года. Во сколько раз внучка будет младше бабушки через 3 года? На сколько лет внучка младше бабушки сейчас и на сколько лет будет младше через 3 года?

Во сколько раз внучка будет младше бабушки через 3 года?
Чтобы ответить на этот вопрос, сначала определим возраст бабушки и внучки через 3 года.
1. Возраст бабушки через 3 года: $57 + 3 = 60$ лет.
2. Возраст внучки через 3 года: $3 + 3 = 6$ лет.
Теперь, чтобы найти, во сколько раз внучка будет младше бабушки, разделим возраст бабушки на возраст внучки:
$60 \div 6 = 10$.
Ответ: внучка будет младше бабушки в 10 раз.

На сколько лет внучка младше бабушки сейчас?
Чтобы найти текущую разницу в возрасте, нужно из возраста бабушки вычесть возраст внучки:
$57 - 3 = 54$ года.
Ответ: сейчас внучка младше бабушки на 54 года.

На сколько лет будет младше через 3 года?
Разница в возрасте между людьми остается постоянной на протяжении всей их жизни. Поэтому через 3 года внучка будет младше бабушки на то же количество лет, что и сейчас.
Можно также проверить это расчетом, используя их возраст через 3 года:
$60 - 6 = 54$ года.
Ответ: через 3 года внучка будет младше бабушки на 54 года.

П.34 Егору 11 лет, а его сестре Полине 1 год. Сколько лет будет Егору, когда он станет в 3 раза старше Полины? Через сколько лет это произойдёт?

Через сколько лет это произойдёт?

Пусть $x$ — это искомое количество лет. В настоящий момент Егору 11 лет, а Полине 1 год. Через $x$ лет Егору будет $11+x$ лет, а Полине — $1+x$ год.
По условию задачи, через $x$ лет Егор должен стать в 3 раза старше Полины. Это можно выразить уравнением:
$11 + x = 3 \cdot (1 + x)$
Теперь решим это уравнение:
$11 + x = 3 + 3x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, а числа — в левую, чтобы найти значение $x$:
$11 - 3 = 3x - x$
$8 = 2x$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
Таким образом, это произойдёт через 4 года.
Ответ: через 4 года.

Сколько лет будет Егору, когда он станет в 3 раза старше Полины?

Из решения предыдущего пункта мы знаем, что событие произойдёт через 4 года. Чтобы узнать возраст Егора в тот момент, нужно к его текущему возрасту (11 лет) прибавить 4 года:
$11 + 4 = 15$ лет.
Для проверки можно вычислить возраст Полины через 4 года: $1 + 4 = 5$ лет. Мы видим, что 15 действительно в 3 раза больше, чем 5 ($15 = 3 \cdot 5$), так что наше решение верно.
Ответ: 15 лет.