Страница 164, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.35 Найдите корень уравнения:

а) 26z + z - 20 = 61;

б) 19x - 6x + 74 = 100;

в) (13c - 8c) • 9 = 90;

г) (7a + a): 3 = 4.

а) Дано уравнение: $26z + z - 20 = 61$.
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$26z + z = (26 + 1)z = 27z$.
Уравнение принимает вид:
$27z - 20 = 61$.
Теперь перенесем $-20$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$27z = 61 + 20$
$27z = 81$
Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 27:
$z = 81 : 27$
$z = 3$
Ответ: 3

б) Дано уравнение: $19x - 6x + 74 = 100$.
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:
$19x - 6x = (19 - 6)x = 13x$.
Уравнение принимает вид:
$13x + 74 = 100$.
Перенесем $74$ из левой части в правую со сменой знака:
$13x = 100 - 74$
$13x = 26$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 13:
$x = 26 : 13$
$x = 2$
Ответ: 2

в) Дано уравнение: $(13c - 8c) \cdot 9 = 90$.
В этом уравнении выражение в скобках $(13c - 8c)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, нужно произведение (90) разделить на известный множитель (9):
$13c - 8c = 90 : 9$
$13c - 8c = 10$
Теперь упростим левую часть полученного уравнения:
$5c = 10$
Чтобы найти $c$, разделим обе части на 5:
$c = 10 : 5$
$c = 2$
Ответ: 2

г) Дано уравнение: $(7a + a) : 3 = 4$.
Здесь выражение в скобках $(7a + a)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (4) умножить на делитель (3):
$7a + a = 4 \cdot 3$
$7a + a = 12$
Упростим левую часть, сложив подобные слагаемые:
$8a = 12$
Теперь $a$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, нужно произведение (12) разделить на известный множитель (8):
$a = 12 : 8$
$a = 1.5$
Ответ: 1.5

П.36 Масса первого пакета с огурцами и помидорами 1,92 кг, а второго — 2,32 кг. Найдите массу огурца и массу помидора, если в каждом пакете по 6 огурцов, но в первом пакете 15 помидоров, а во втором — 20 помидоров. В пакетах лежат одинаковые огурцы и одинаковые помидоры.

П. 36

1) $20 - 15 = 5\left(\text{п.}\right)$ больше во II пакете

2) $2,32 - 1,92 = 0,4\left(\text{кг}\right)$ больше весит

II пакет

3) $0,4 : 5 = 0,40 : 5 = 0,08\left(\text{кг}\right)$ - масса

1 помидора

4) $15·0,08 = 1,2\left(\text{кг}\right)$ - масса помидоров

в I пакете

5) $1,92 - 1,2 = 0,72\left(\text{кг}\right)$ - масса огурцов

в I пакете

6) $0,72 : 6 = 0,12\left(\text{кг}\right)$ - масса 1

огурца

Ответ: 120г и 80г

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть масса одного огурца равна $x$ кг, а масса одного помидора — $y$ кг. Согласно условию, все огурцы имеют одинаковую массу, и все помидоры также имеют одинаковую массу.

Исходя из данных о первом пакете, мы можем составить первое уравнение. В нем 6 огурцов и 15 помидоров, а общая масса составляет 1,92 кг:

$6x + 15y = 1,92$

Из данных о втором пакете составим второе уравнение. В нем 6 огурцов и 20 помидоров, а общая масса — 2,32 кг:

$6x + 20y = 2,32$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 6x + 15y = 1,92 \\ 6x + 20y = 2,32 \end{cases}$

Чтобы найти массу одного помидора, можно вычесть первое уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от переменной $x$, так как количество огурцов в пакетах одинаково.

$(6x + 20y) - (6x + 15y) = 2,32 - 1,92$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$6x + 20y - 6x - 15y = 0,40$

$5y = 0,40$

Отсюда находим массу одного помидора ($y$):

$y = \frac{0,40}{5} = 0,08$ кг.

Итак, масса одного помидора составляет 0,08 кг (или 80 грамм).

Теперь, зная массу помидора, мы можем найти массу огурца. Подставим значение $y = 0,08$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:

$6x + 15 \cdot 0,08 = 1,92$

$6x + 1,2 = 1,92$

Теперь выразим $6x$:

$6x = 1,92 - 1,2$

$6x = 0,72$

Отсюда находим массу одного огурца ($x$):

$x = \frac{0,72}{6} = 0,12$ кг.

Таким образом, масса одного огурца составляет 0,12 кг (или 120 грамм).

Проверим полученные результаты, подставив их во второе уравнение:

$6 \cdot 0,12 + 20 \cdot 0,08 = 0,72 + 1,60 = 2,32$ кг. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: масса огурца — 0,12 кг, масса помидора — 0,08 кг.

П.37 Стоимость 3 кг мытой моркови 96,6 р., а 5 кг немытой моркови 71,4 р. На сколько 1 кг мытой моркови дороже 1 кг немытой моркови?

П. 37

1) $\mathrm{96,6} : 3 = \mathrm{32,2}\text{(р.) - цена 1 кг мытой моркови}$

$\mathrm{96,6}3 - 9\mathrm{32,2}6 - 606 - 60$

2) $\mathrm{71,4} : 5 = \mathrm{14,28}\text{(р.) - цена 1 кг немытой моркови}$

$\mathrm{71,40}5 - 5\mathrm{14,28}21 - 2014 - 1040 - 400$

3) $\mathrm{32,2} - \mathrm{14,28} = \mathrm{17,92}\text{(р.)}$

$\mathrm{32,20} - \mathrm{14,28}\mathrm{17,92}$

Ответ: на 17,92 р.

Для ответа на вопрос задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдём стоимость 1 кг мытой моркови.
Для этого разделим общую стоимость (96,6 р.) на её массу (3 кг):
$96,6 \div 3 = 32,2$ р.

2. Найдём стоимость 1 кг немытой моркови.
Для этого разделим общую стоимость (71,4 р.) на её массу (5 кг):
$71,4 \div 5 = 14,28$ р.

3. Найдём разницу в стоимости.
Чтобы узнать, на сколько 1 кг мытой моркови дороже 1 кг немытой, вычтем из большей цены меньшую:
$32,2 - 14,28 = 17,92$ р.

Ответ: 1 кг мытой моркови дороже 1 кг немытой моркови на 17,92 р.

П.38 На дереве сидело в 4 раза меньше ворон, чем голубей. Пять голубей и четыре вороны улетели, но прилетели два голубя и семь ворон, и птиц на дереве стало 50. Сколько птиц было на дереве первоначально?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество ворон на дереве.

По условию, ворон было в 4 раза меньше, чем голубей. Следовательно, первоначальное количество голубей было $4x$.

Далее отследим изменения в количестве птиц. Количество ворон после того, как 4 улетели и 7 прилетели, стало $x - 4 + 7 = x + 3$. Количество голубей после того, как 5 улетели и 2 прилетели, стало $4x - 5 + 2 = 4x - 3$.

В итоге общее количество птиц на дереве стало 50. Составим уравнение, сложив новое количество ворон и голубей:

$(x + 3) + (4x - 3) = 50$

Решим это уравнение:

$x + 4x + 3 - 3 = 50$

$5x = 50$

$x = \frac{50}{5}$

$x = 10$

Мы нашли, что первоначально на дереве было 10 ворон. Теперь найдем первоначальное количество голубей:

$4x = 4 \cdot 10 = 40$

Чтобы найти, сколько всего птиц было на дереве первоначально, сложим количество ворон и голубей:

$10 + 40 = 50$

Также можно было решить задачу проще, проанализировав общее изменение количества птиц. Всего улетело: $5 + 4 = 9$ птиц. Всего прилетело: $2 + 7 = 9$ птиц. Так как количество улетевших и прилетевших птиц одинаково, общее количество птиц на дереве не изменилось. Если в конце их стало 50, значит, и вначале их было столько же.

Ответ: 50 птиц.

П.39 Масса груза в упаковке равна 0,72 т. Найдите массу груза, если груз тяжелее упаковки в 8 раз.

п.39

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса упаковки равна $x$ тонн. Согласно условию, груз тяжелее упаковки в 8 раз, следовательно, масса самого груза составляет $8x$ тонн.

Общая масса груза вместе с упаковкой равна 0,72 тонны. Мы можем составить уравнение, сложив массу упаковки и массу груза:

$x + 8x = 0,72$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив подобные слагаемые:

$9x = 0,72$

Найдем $x$ (массу упаковки), разделив обе части уравнения на 9:

$x = \frac{0,72}{9}$

$x = 0,08$

Таким образом, масса упаковки составляет 0,08 тонны.

Нам необходимо найти массу груза, которая равна $8x$. Подставим найденное значение $x$:

Масса груза = $8 \times 0,08 = 0,64$ тонны.

Ответ: 0,64 т.

П.40 Лена на вопрос «Сколько тебе лет?» ответила: «Увеличив число моих лет в 4 раза, а потом ещё на 24, получим 68 лет». Сколько лет Лене?

Чтобы найти возраст Лены, решим задачу, составив уравнение. Обозначим возраст Лены за неизвестную переменную $x$.

Согласно условию, Лена описывает последовательность действий:

1. «Увеличив число моих лет в 4 раза...» — это действие можно записать как умножение возраста $x$ на 4, то есть $4 \cdot x$.
2. «...а потом ещё на 24...» — к результату предыдущего действия нужно прибавить 24. Получается выражение $4 \cdot x + 24$.
3. «...получим 68 лет» — это значит, что итоговое выражение равно 68.

Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$4 \cdot x + 24 = 68$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$.

1. Перенесём число 24 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный (то есть вычтем 24 из обеих частей уравнения):

$4 \cdot x = 68 - 24$
$4 \cdot x = 44$

2. Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:

$x = \frac{44}{4}$
$x = 11$

Итак, возраст Лены составляет 11 лет.

Выполним проверку, подставив найденный возраст в исходные условия:

Увеличиваем 11 лет в 4 раза: $11 \cdot 4 = 44$.
К полученному результату прибавляем 24: $44 + 24 = 68$.
Результат (68) совпадает с тем, что указан в условии задачи. Решение верное.

Ответ: Лене 11 лет.

П.41 Два раза в год наступают сутки, когда ночь на 300 мин длиннее дня. Сколько времени длится ночь в эти сутки?

П.41

День - ?

Ночь - на 300 мин больше

24ч

1 сутки = 24ч; 1ч = 60 мин

300 мин = $(300 : 60)/2 = 5\text{ч}$

1) Пусть х ч длится день, тогда

(х+5)ч длится ночь. Зная, что в сутках

24ч, составим и решим уравнение:

$x + x + 5 = 24$

$(1 + 1)x + 5 = 24$

$2x + 5 = 24$

$2x = 24 - 5$

$2x = 19$

$x = 19 : 2$

$x = \mathrm{9,5}$

$\begin{array}{rcl}19,0& |& 2\\ \underset{}{18}& |& 9,5\\ \phantom{1}10& & \\ \phantom{1}\underset{}{10}& & \\ \phantom{1}0& & \end{array}$

9,5ч длится день

2) 24 - 9,5 = 14,5 (ч) длится ночь.

$\begin{array}{cc} - & 24,0\\ & \underset{}{9,5}\\ & 14,5\end{array}$

или

$\mathrm{9,5} + 5 = \mathrm{14,5}\left(\text{ч}\right)$

Ответ: 14,5ч

Для решения задачи обозначим продолжительность ночи как $Н$ и продолжительность дня как $Д$. Общая продолжительность суток составляет 24 часа.

1. Переведем все единицы времени в минуты для удобства вычислений. В сутках 24 часа, что составляет:

$24 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 1440 \text{ минут}$

2. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

• Сумма продолжительности дня и ночи равна общей продолжительности суток: $Н + Д = 1440$
• Ночь на 300 минут длиннее дня: $Н = Д + 300$

3. Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти продолжительность дня:

$(Д + 300) + Д = 1440$

$2Д + 300 = 1440$

$2Д = 1440 - 300$

$2Д = 1140$

$Д = \frac{1140}{2} = 570 \text{ минут}$

Таким образом, продолжительность дня составляет 570 минут.

4. Теперь, зная продолжительность дня, найдем продолжительность ночи, используя второе уравнение:

$Н = Д + 300 = 570 + 300 = 870 \text{ минут}$

5. Для наглядности можно перевести полученное значение в часы и минуты:

$870 \text{ мин} = 14 \text{ часов и } 30 \text{ минут}$, так как $870 = 14 \times 60 + 30$.

Ответ: Ночь в эти сутки длится 870 минут (или 14 часов 30 минут).

П.42 На уроке физкультуры легкоатлетические упражнения заняли в 2 раза больше времени, чем разминка. Сколько минут заняли упражнения, если на разминку потребовалось на 15 мин меньше, чем на упражнения?

П. 42

Упражнения - в 2 р больше ?

Разминка - ? на 15 мин меньше

1) Пусть x мин заняла разминка, тогда 2x мин заняли упражнения. Зная, что на разминку потребовалось на 15 мин меньше, чем на упражнения, составим и решим уравнение

15 мин заняла разминка

2) $15 · 2 = 30\text{мин}$ - упражнения

Ответ: 30 мин

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть время, затраченное на легкоатлетические упражнения, равно $y$ минут.

Из условия известно, что упражнения заняли в 2 раза больше времени, чем разминка. Это значит, что разминка заняла в 2 раза меньше времени, чем упражнения, то есть $\frac{y}{2}$ минут.

Также в условии сказано, что на разминку потребовалось на 15 минут меньше, чем на упражнения. Это означает, что разница между временем, потраченным на упражнения, и временем, потраченным на разминку, составляет 15 минут. Составим уравнение:

$y - \frac{y}{2} = 15$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $y$:

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{2y}{2} - \frac{y}{2} = 15$

$\frac{y}{2} = 15$

Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на 2:

$y = 15 \cdot 2$

$y = 30$

Таким образом, мы нашли, что легкоатлетические упражнения заняли 30 минут.

Ответ: 30 минут.

П.43 На рисунке 2 изображены прямые, лучи, отрезки и окружность.

а) Назовите лучи, отрезки и прямые, которые пересекаются.

б) Какие лучи, отрезки и прямые пересекают окружность?

а) Назовите лучи, отрезки и прямые, которые пересекаются.

Проанализируем взаимное расположение изображенных на рисунке фигур. Пересекающимися являются фигуры, имеющие хотя бы одну общую точку. На рисунке мы видим, что отрезок GH пересекается с двумя другими отрезками: RO и SR. В свою очередь, отрезки SR и RO также пересекаются, так как имеют общую точку R. Остальные фигуры не имеют общих точек друг с другом. Таким образом, в пересечениях участвуют только отрезки.

Ответ: Пересекаются отрезки GH, RO и SR.

б) Какие лучи, отрезки и прямые пересекают окружность?

Фигура пересекает окружность, если у неё есть общие точки с линией самой окружности. Рассмотрим все фигуры на рисунке:

Отрезки AB и CD расположены полностью внутри круга, ограниченного данной окружностью, и её не касаются. Следовательно, они не пересекают окружность.

Все остальные отрезки (GH, MN, RO, SR, YZ), лучи (TX, VW) и прямая KL расположены полностью вне окружности и также её не пересекают.

Луч EF начинается в точке E, которая находится внутри окружности, а точка F на луче находится снаружи. Это означает, что луч EF при своем продолжении из точки E обязательно пересечет линию окружности.

Ответ: Окружность пересекает луч EF.

П.44 а) Проведите прямую и отметьте точку на ней. Какие ещё фигуры вы получили?

б) Проведите отрезок и отметьте две точки: лежащую и не лежащую на нём.

в) Проведите два луча так, чтобы они пересекались; они не пересекались; один луч лежал на другом луче.

г) Проведите прямую и отрезок так, чтобы они пересекались; они не пересекались; отрезок лежал на прямой.

П.44

а) точка С лежит на прямой $\mathrm{AB}$; получили два луча $\mathrm{CA}$ и $\mathrm{CB}$

б) $\mathrm{AB}$- отрезок

точка С лежит на отрезке $\mathrm{AB}$, точка D не лежит на отрезке $\mathrm{AB}$.

лучи $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$ пересекаются;

лучи $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$ не пересекаются;

Луч $\mathrm{CD}$ лежит на луче $\mathrm{AB}$.

г) прямая $\mathrm{AB}$ и отрезок $\mathrm{CD}$ пересекаются;

прямая $\mathrm{AB}$ и отрезок $\mathrm{CD}$ не пересекаются;

отрезок $\mathrm{CD}$ лежит на прямой $\mathrm{AB}$.

а)

Проведем прямую, обозначим ее буквой $a$. Отметим на этой прямой произвольную точку, назовем ее $A$.

Точка $A$, принадлежащая прямой $a$, делит эту прямую на две части. Каждая из этих частей является новой геометрической фигурой — лучом (или полупрямой). У нас получилось два луча, которые начинаются в точке $A$ и направлены в противоположные стороны. Такие лучи также называют дополнительными друг другу.

Ответ: Мы получили два луча.

б)

Проведем отрезок, обозначим его концы точками $A$ и $B$. Таким образом, у нас есть отрезок $AB$.

Теперь отметим две точки. Первая точка, назовем ее $C$, должна лежать на отрезке $AB$. Это означает, что точка $C$ находится между точками $A$ и $B$ или совпадает с одной из них. Вторую точку, назовем ее $D$, отметим так, чтобы она не лежала на отрезке $AB$. Точка $D$ может находиться в любом месте на плоскости за пределами отрезка $AB$.

Ответ: Построены отрезок $AB$, точка $C$, лежащая на отрезке $AB$, и точка $D$, не лежащая на отрезке $AB$.

в)

Рассмотрим три случая расположения двух лучей:

1. Лучи пересекаются. Чтобы два луча пересекались, можно провести их из одной точки. Например, проведем два луча, $OA$ и $OB$, с общим началом в точке $O$. Эти лучи имеют одну общую точку — их начало $O$, то есть они пересекаются в точке $O$.

2. Лучи не пересекаются. Чтобы лучи не пересекались, можно расположить их на параллельных прямых. Проведем прямую $a$ и параллельную ей прямую $b$. На прямой $a$ возьмем любой луч, а на прямой $b$ — другой. Так как прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек, то и лучи, лежащие на них, пересекаться не будут. Другой пример: на одной прямой можно взять два луча, направленных в разные стороны и не имеющих общих точек (например, на прямой последовательно отмечены точки $A, B, C, D$; лучи $AB$ и $DC$ не пересекаются).

3. Один луч лежит на другом луче. Проведем луч с началом в точке $O$. Отметим на этом луче точку $A$. Теперь рассмотрим луч с началом в точке $A$, направленный в ту же сторону, что и исходный луч. Этот новый луч (луч $A$) будет полностью лежать на исходном луче (луче $O$).

Ответ: Представлены три варианта взаимного расположения двух лучей: они пересекаются, они не пересекаются, один луч лежит на другом.

г)

Рассмотрим три случая взаимного расположения прямой и отрезка:

1. Прямая и отрезок пересекаются. Проведем прямую $a$. Проведем отрезок $AB$ так, чтобы его концы, точки $A$ и $B$, находились в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. В этом случае отрезок $AB$ будет пересекать прямую $a$ в некоторой точке $C$, которая лежит между $A$ и $B$.

2. Прямая и отрезок не пересекаются. Проведем прямую $a$. Проведем отрезок $AB$ так, чтобы обе его концевые точки, $A$ и $B$, лежали в одной полуплоскости относительно прямой $a$. В этом случае у прямой и отрезка не будет общих точек. Частным случаем является расположение, когда прямая, содержащая отрезок $AB$, параллельна прямой $a$.

3. Отрезок лежит на прямой. Проведем прямую $a$. Выберем на этой прямой две любые различные точки, например, $A$ и $B$. Отрезок $AB$, соединяющий эти точки, будет целиком принадлежать прямой $a$, то есть лежать на ней.

Ответ: Представлены три варианта взаимного расположения прямой и отрезка: они пересекаются, они не пересекаются, отрезок лежит на прямой.

П.45 На луче АВ отметили точку С так, что длина отрезка АС равна 6 см. Сколько можно отложить на луче АВ от точки С отрезков длиной: а) 2 см; б) 9 см?

П. 45. $\mathrm{RM} = 26$

АВ-луч

С принадлежит лучу АВ

$\mathrm{AC} = 6\mathrm{cm}$

а) На луче АВ от точки С можно отложить два отрезка СМ и СN длиной 2 см влево и вправо;

б) На луче АВ от точки С можно отложить один отрезок длиной 9 см вправо. Влево такой отрезок отложить нельзя, так как $\mathrm{CA} = 6\mathrm{cm}$ а $9\mathrm{cm}>6\mathrm{cm}$.

Ответ: а) 2 отрезка; б) 1 отрезок.

На луче AB с началом в точке A отмечена точка C так, что длина отрезка $AC$ равна 6 см. От точки C можно откладывать отрезки в двух направлениях вдоль прямой, на которой лежит луч:

• В сторону начала луча, то есть к точке A.
• В противоположную сторону от точки A, то есть дальше по лучу.

Главное условие заключается в том, что новый отложенный отрезок должен целиком находиться на луче AB. Это значит, что его конечная точка не может оказаться за пределами луча (то есть "левее" точки A).

а)

Рассмотрим, сколько можно отложить отрезков длиной 2 см от точки C.

1. Если отложить отрезок длиной 2 см в сторону начала луча A, то его конец (назовем его D) будет находиться на расстоянии $AD = AC - 2 \text{ см} = 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 4$ см от точки A. Так как расстояние $AD$ положительно, точка D лежит на луче AB. Это первый возможный отрезок.

2. Если отложить отрезок длиной 2 см в сторону, противоположную A, то его конец (назовем его E) будет на расстоянии $AE = AC + 2 \text{ см} = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8$ см от точки A. Точка E также лежит на луче AB. Это второй возможный отрезок.

Таким образом, можно отложить два отрезка.

Ответ: 2.

б)

Рассмотрим, сколько можно отложить отрезков длиной 9 см от точки C.

1. Если отложить отрезок длиной 9 см в сторону начала луча A, то его конец (назовем его F) должен был бы находиться на расстоянии $AF = AC - 9 \text{ см} = 6 \text{ см} - 9 \text{ см} = -3$ см от точки A. Расстояние не может быть отрицательным. Это означает, что точка F находится вне луча AB. Следовательно, такой отрезок отложить нельзя.

2. Если отложить отрезок длиной 9 см в сторону, противоположную A, то его конец (назовем его G) будет на расстоянии $AG = AC + 9 \text{ см} = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 15$ см от точки A. Точка G лежит на луче AB. Это единственный возможный отрезок.

Таким образом, можно отложить только один отрезок.

Ответ: 1.

П.46 Длины отрезков MN и РК равны (рис. 3). Сравните отрезки:

a) NM и КР;

б) МР и PN;

в) МР и NK;

г) МК и NP.

П. 46

$\mathrm{MN} = \mathrm{PK}$

а) $\mathrm{NM} = \mathrm{KP}$ (красные отрезки)

б) $\mathrm{MP}>\mathrm{PN}$ (Т.к. отрезок PN лежит на отрезке MP)

в) $\mathrm{MP} = \mathrm{MN} + \mathrm{PN}$

$\mathrm{NR} = \mathrm{PK} + \mathrm{PN}$

Так как $\mathrm{MN} = \mathrm{PK}$, то $\mathrm{MP} = \mathrm{NR}$

г) $\mathrm{MK}>\mathrm{NP}$ (так как отрезок NP лежит на отрезке MK)

а) NM и KP;

Длина отрезка не зависит от порядка букв, которыми он обозначается. Поэтому длина отрезка $NM$ равна длине отрезка $MN$, то есть $NM = MN$. Аналогично, длина отрезка $KP$ равна длине отрезка $PK$, то есть $KP = PK$.
По условию задачи дано, что длины отрезков $MN$ и $PK$ равны: $MN = PK$.
Сопоставляя все равенства, получаем: $NM = MN = PK = KP$.
Следовательно, отрезки $NM$ и $KP$ равны.
Ответ: $NM = KP$.

б) MP и PN;

Согласно расположению точек на прямой (рис. 3), точка $N$ находится между точками $M$ и $P$. По аксиоме измерения отрезков, длина отрезка $MP$ равна сумме длин отрезков, на которые он делится точкой $N$: $MP = MN + NP$.
Нам нужно сравнить отрезок $MP$ с отрезком $PN$. Длина отрезка $PN$ равна длине отрезка $NP$.
Сравниваем $MP = MN + NP$ и $PN = NP$.
Так как $MN$ — это длина существующего отрезка, его длина положительна: $MN > 0$.
Если к положительному числу $NP$ прибавить положительное число $MN$, результат будет больше, чем $NP$. Таким образом, $MN + NP > NP$, а значит $MP > PN$.
Ответ: $MP > PN$.

в) MP и NK;

Выразим длины отрезков $MP$ и $NK$ через составляющие их части.
Отрезок $MP$ состоит из отрезков $MN$ и $NP$, поэтому его длина равна $MP = MN + NP$.
Отрезок $NK$ состоит из отрезков $NP$ и $PK$, поэтому его длина равна $NK = NP + PK$.
По условию задачи нам известно, что $MN = PK$.
Заменим в выражении для длины $NK$ отрезок $PK$ на равный ему отрезок $MN$: $NK = NP + MN$.
Теперь сравним полученные выражения для длин отрезков $MP$ и $NK$:
$MP = MN + NP$
$NK = NP + MN$
Так как от перестановки мест слагаемых сумма не меняется (коммутативный закон сложения), то $MN + NP = NP + MN$.
Следовательно, $MP = NK$.
Ответ: $MP = NK$.

г) MK и NP.

Выразим длину отрезка $MK$. Он состоит из трех последовательных отрезков $MN$, $NP$ и $PK$. Его длина равна сумме длин этих отрезков: $MK = MN + NP + PK$.
Нам нужно сравнить длину отрезка $MK$ с длиной отрезка $NP$.
Сравним выражения: $MK = MN + NP + PK$ и $NP$.
Длины отрезков $MN$ и $PK$ являются положительными числами ($MN > 0$ и $PK > 0$), значит, их сумма также положительна: $MN + PK > 0$.
Длина отрезка $MK$ получается прибавлением к длине $NP$ положительного числа $MN+PK$.
Следовательно, $MK > NP$.
Ответ: $MK > NP$.