Страница 162, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.13 Найдите значение выражения:

В данном задании символ $\uparrow$ используется вместо знака арифметической операции. Судя по структуре примеров, наиболее вероятно, что он заменяет знак вычитания "–".

а) $7\frac{5}{6} - (4\frac{4}{9} + 2\frac{4}{9}) + 6\frac{1}{6}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.
1. Первым действием выполним сложение в скобках:
$4\frac{4}{9} + 2\frac{4}{9} = (4+2) + (\frac{4}{9} + \frac{4}{9}) = 6 + \frac{4+4}{9} = 6\frac{8}{9}$.
2. Теперь выражение имеет вид:
$7\frac{5}{6} - 6\frac{8}{9} + 6\frac{1}{6}$.
3. Для удобства вычислений можно поменять местами слагаемые (сложение и вычитание — операции одного уровня, выполняются по порядку, но можно использовать свойство $a - b + c = a + c - b$):
$(7\frac{5}{6} + 6\frac{1}{6}) - 6\frac{8}{9}$.
4. Выполним сложение в скобках:
$7\frac{5}{6} + 6\frac{1}{6} = (7+6) + (\frac{5}{6} + \frac{1}{6}) = 13 + \frac{6}{6} = 13 + 1 = 14$.
5. Остается выполнить вычитание:
$14 - 6\frac{8}{9}$.
6. Для этого представим целое число 14 в виде смешанного числа со знаменателем 9, "заняв" единицу:
$14 = 13 + 1 = 13\frac{9}{9}$.
$13\frac{9}{9} - 6\frac{8}{9} = (13-6) + (\frac{9}{9} - \frac{8}{9}) = 7 + \frac{1}{9} = 7\frac{1}{9}$.
Ответ: $7\frac{1}{9}$.

б) $26\frac{5}{16} - 19\frac{3}{16} - (13\frac{5}{7} - 12\frac{5}{7})$

Решим выражение по действиям.
1. Первым действием выполним вычитание в скобках:
$13\frac{5}{7} - 12\frac{5}{7} = (13-12) + (\frac{5}{7} - \frac{5}{7}) = 1 + 0 = 1$.
2. Теперь выражение имеет вид:
$26\frac{5}{16} - 19\frac{3}{16} - 1$.
3. Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала первое вычитание:
$26\frac{5}{16} - 19\frac{3}{16} = (26-19) + (\frac{5}{16} - \frac{3}{16}) = 7 + \frac{5-3}{16} = 7 + \frac{2}{16} = 7\frac{2}{16}$.
4. Сократим дробную часть: $\frac{2}{16} = \frac{1}{8}$. Таким образом, результат первого вычитания равен $7\frac{1}{8}$.
5. Теперь выполним второе вычитание:
$7\frac{1}{8} - 1 = (7-1) + \frac{1}{8} = 6\frac{1}{8}$.
Ответ: $6\frac{1}{8}$.

П.14 Сравните числа:

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 3 равен их произведению: $2 \times 3 = 6$.

Приведем первую дробь к знаменателю 6, домножив числитель и знаменатель на 3: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 6, домножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$.

Теперь сравним числители полученных дробей. Так как $3 > 2$, то и соответствующая дробь больше.

Следовательно, $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 - это 10.

Первую дробь $\frac{2}{5}$ приводим к знаменателю 10, домножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$.

Вторая дробь $\frac{3}{10}$ уже имеет знаменатель 10.

Сравниваем числители: $4 > 3$.

Следовательно, $\frac{4}{10} > \frac{3}{10}$, а значит $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{10}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{5}{7}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 7 равен их произведению: $9 \times 7 = 63$.

Приводим первую дробь к знаменателю 63: $\frac{7}{9} = \frac{7 \times 7}{9 \times 7} = \frac{49}{63}$.

Приводим вторую дробь к знаменателю 63: $\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$.

Сравниваем числители: $49 > 45$.

Следовательно, $\frac{49}{63} > \frac{45}{63}$, а значит $\frac{7}{9} > \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{5}{7}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{15}$ и $\frac{7}{12}$, найдем для них наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \times 5$; $12 = 2^2 \times 3$.

НОК(15, 12) = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

Приводим первую дробь к знаменателю 60: $\frac{8}{15} = \frac{8 \times 4}{15 \times 4} = \frac{32}{60}$.

Приводим вторую дробь к знаменателю 60: $\frac{7}{12} = \frac{7 \times 5}{12 \times 5} = \frac{35}{60}$.

Сравниваем числители: $32 < 35$.

Следовательно, $\frac{32}{60} < \frac{35}{60}$, а значит $\frac{8}{15} < \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{15} < \frac{7}{12}$.

д) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{8}$, можно заметить, что у них одинаковые числители.

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, так как целое делится на меньшее количество частей, и каждая часть получается больше.

Сравниваем знаменатели: $7 < 8$.

Следовательно, $\frac{5}{7} > \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{7} > \frac{5}{8}$.

е) Чтобы сравнить дроби $\frac{19}{57}$ и $\frac{7}{21}$, сначала упростим (сократим) каждую из них.

Сократим первую дробь. Заметим, что $57 = 19 \times 3$. Поэтому: $\frac{19}{57} = \frac{19 \div 19}{57 \div 19} = \frac{1}{3}$.

Сократим вторую дробь. Заметим, что $21 = 7 \times 3$. Поэтому: $\frac{7}{21} = \frac{7 \div 7}{21 \div 7} = \frac{1}{3}$.

После сокращения обе дроби стали равны $\frac{1}{3}$.

Следовательно, исходные дроби равны между собой.

Ответ: $\frac{19}{57} = \frac{7}{21}$.

П.15 Узнайте:

а) что меньше: 78 или 89; 911 или 1517;

б) что больше: 1314 или 2528; 1315 или 2125.

а) что меньше:

Для сравнения дробей $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 9 — это их произведение, так как они взаимно простые: $8 \times 9 = 72$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 72:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{63}{72}$
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{64}{72}$

Теперь сравним полученные дроби. Так как числитель $63$ меньше, чем числитель $64$, то $\frac{63}{72} < \frac{64}{72}$. Следовательно, $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

Для сравнения дробей $\frac{9}{11}$ и $\frac{15}{17}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 17 равен их произведению: $11 \times 17 = 187$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 187:
$\frac{9}{11} = \frac{9 \cdot 17}{11 \cdot 17} = \frac{153}{187}$
$\frac{15}{17} = \frac{15 \cdot 11}{17 \cdot 11} = \frac{165}{187}$

Сравниваем числители: $153 < 165$. Следовательно, $\frac{153}{187} < \frac{165}{187}$, а значит $\frac{9}{11} < \frac{15}{17}$.

Ответ: $\frac{9}{11}$.

б) что больше:

Для сравнения дробей $\frac{13}{14}$ и $\frac{25}{28}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 28 — это 28, так как 28 делится на 14.

Приведем дробь $\frac{13}{14}$ к знаменателю 28:
$\frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{26}{28}$

Теперь сравним дроби $\frac{26}{28}$ и $\frac{25}{28}$. Так как числитель $26$ больше, чем числитель $25$, то $\frac{26}{28} > \frac{25}{28}$. Следовательно, $\frac{13}{14} > \frac{25}{28}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$.

Для сравнения дробей $\frac{13}{15}$ и $\frac{21}{25}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$25 = 5^2$
Наименьшее общее кратное (НОК) будет: НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 75$.

Приведем дроби к знаменателю 75:
$\frac{13}{15} = \frac{13 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{65}{75}$
$\frac{21}{25} = \frac{21 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{63}{75}$

Сравниваем числители: $65 > 63$. Следовательно, $\frac{65}{75} > \frac{63}{75}$, а значит $\frac{13}{15} > \frac{21}{25}$.

Ответ: $\frac{13}{15}$.

П.16 Запишите числа в порядке возрастания:

П. 16

а) Приведём дроби к общему знаме-

нателю 8

б) Приведём дроби к общему знаме-

нателю 12

а) Чтобы расположить числа $ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8} $ в порядке возрастания, нужно привести их к общему виду, например, к дробям с одинаковым знаменателем.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $.
2. Теперь наш ряд чисел выглядит так: $ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8} $.
3. Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. Знаменатели у нас 2, 4 и 8. Наименьшее общее кратное для них - это 8.
4. Приведем все дроби к знаменателю 8:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} $
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} $
Дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{3}{8} $ уже имеют знаменатель 8.
5. Теперь у нас есть набор дробей: $ \frac{4}{8}, \frac{6}{8}, \frac{12}{8}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8} $.
6. Сравним дроби по их числителям. Расположив числители в порядке возрастания (3, 4, 6, 7, 12), получаем следующий ряд дробей: $ \frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{6}{8} < \frac{7}{8} < \frac{12}{8} $.
7. Запишем соответствующий ряд из исходных чисел.
Ответ: $ \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, 1\frac{1}{2} $.

б) Чтобы расположить числа $ \frac{1}{3}, 1\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}, \frac{7}{12} $ в порядке возрастания, выполним аналогичные действия.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $.
2. Теперь наш ряд чисел: $ \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}, \frac{7}{12} $.
3. Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. Знаменатели у нас 3, 6 и 12. Наименьшее общее кратное для них - это 12.
4. Приведем все дроби к знаменателю 12:
$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $
$ \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{20}{12} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
Дробь $ \frac{7}{12} $ уже имеет знаменатель 12.
5. Теперь у нас есть набор дробей: $ \frac{4}{12}, \frac{20}{12}, \frac{10}{12}, \frac{8}{12}, \frac{7}{12} $.
6. Сравним дроби по их числителям. Расположив числители в порядке возрастания (4, 7, 8, 10, 20), получаем следующий ряд дробей: $ \frac{4}{12} < \frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{10}{12} < \frac{20}{12} $.
7. Запишем соответствующий ряд из исходных чисел.
Ответ: $ \frac{1}{3}, \frac{7}{12}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}, 1\frac{2}{3} $.

П.17 Выполните действие:

Пример П. 17

а) $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 · 2}{3 · 2} + \frac{1 · 3}{2 · 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$

б) $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2 · 2}{5 · 2} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4 + 3}{10} = \frac{7}{10}$

в) $\frac{7}{8} - \frac{3}{16} = \frac{7 · 2}{8 · 2} - \frac{3}{16} = \frac{14}{16} - \frac{3}{16} = \frac{14 - 3}{16} = \frac{11}{16}$

г) $\frac{11}{12} - \frac{3}{4} = \frac{11}{12} - \frac{3 · 3}{4 · 3} = \frac{11}{12} - \frac{9}{12} = \frac{11 - 9}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1 · 2}{6 · 2} = \frac{1}{6}$

д) $\frac{4}{15} + \frac{3}{12} = \frac{4 · 4}{15 · 4} + \frac{3 · 5}{12 · 5} = \frac{16}{60} + \frac{15}{60} = \frac{16 + 15}{60} = \frac{31}{60}$

е) $\frac{2}{9} + \frac{11}{15} = \frac{2 · 5}{9 · 5} + \frac{11 · 3}{15 · 3} = \frac{10}{45} + \frac{33}{45} = \frac{10 + 33}{45} = \frac{43}{45}$

а) Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 3 и 2 равен 6.

Приведем каждую дробь к знаменателю 6. Дополнительный множитель для первой дроби равен $6 \div 3 = 2$, для второй — $6 \div 2 = 3$.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{10}$, приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 5 и 10 равен 10.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{5}$ равен $10 \div 5 = 2$. Вторая дробь уже имеет знаменатель 10.

$\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$

в) Для вычитания дробей $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{16}$ приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 8 и 16 равен 16.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{7}{8}$ равен $16 \div 8 = 2$. Вторая дробь уже имеет знаменатель 16.

$\frac{7}{8} - \frac{3}{16} = \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{3}{16} = \frac{14}{16} - \frac{3}{16} = \frac{14-3}{16} = \frac{11}{16}$.

Ответ: $\frac{11}{16}$

г) Для вычитания дробей $\frac{11}{12}$ и $\frac{3}{4}$ приведем их к общему знаменателю. НОЗ для 12 и 4 равен 12.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3}{4}$ равен $12 \div 4 = 3$. Первая дробь уже имеет знаменатель 12.

$\frac{11}{12} - \frac{3}{4} = \frac{11}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{11}{12} - \frac{9}{12} = \frac{11-9}{12} = \frac{2}{12}$.

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

д) Чтобы сложить дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{3}{12}$, найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ для 15 и 12 равен 60.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $60 \div 15 = 4$, для второй — $60 \div 12 = 5$.

$\frac{4}{15} + \frac{3}{12} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{16}{60} + \frac{15}{60} = \frac{16+15}{60} = \frac{31}{60}$.

Дробь $\frac{31}{60}$ несократимая, так как 31 — простое число.

Ответ: $\frac{31}{60}$

е) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{11}{15}$, найдем их наименьший общий знаменатель. НОЗ для 9 и 15 равен 45.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $45 \div 9 = 5$, для второй — $45 \div 15 = 3$.

$\frac{2}{9} + \frac{11}{15} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{11 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{10}{45} + \frac{33}{45} = \frac{10+33}{45} = \frac{43}{45}$.

Дробь $\frac{43}{45}$ несократимая, так как 43 — простое число.

Ответ: $\frac{43}{45}$

П.18 В магазине продаётся 20 платьев, 45 юбок и 60 блузок. Какую часть всей одежды составляют платья, юбки и блузки?

Чтобы определить, какую часть от всей одежды составляет каждый вид, необходимо сначала найти общее количество единиц одежды в магазине.

1. Найдем общее количество одежды, сложив количество платьев, юбок и блузок:

$20 \text{ (платья)} + 45 \text{ (юбки)} + 60 \text{ (блузки)} = 125 \text{ (единиц одежды)}$

Всего в магазине 125 единиц одежды. Это будет знаменателем в наших дробях.

Теперь вычислим, какую часть составляет каждый вид одежды.

платья

Чтобы найти, какую часть составляют платья, разделим их количество на общее число единиц одежды. Полученную дробь сократим.

Часть платьев = $\frac{\text{количество платьев}}{\text{общее количество одежды}} = \frac{20}{125}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{20 \div 5}{125 \div 5} = \frac{4}{25}$

Ответ: платья составляют $\frac{4}{25}$ всей одежды.

юбки

Чтобы найти, какую часть составляют юбки, разделим их количество на общее число единиц одежды.

Часть юбок = $\frac{\text{количество юбок}}{\text{общее количество одежды}} = \frac{45}{125}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{45 \div 5}{125 \div 5} = \frac{9}{25}$

Ответ: юбки составляют $\frac{9}{25}$ всей одежды.

блузки

Чтобы найти, какую часть составляют блузки, разделим их количество на общее число единиц одежды.

Часть блузок = $\frac{\text{количество блузок}}{\text{общее количество одежды}} = \frac{60}{125}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{60 \div 5}{125 \div 5} = \frac{12}{25}$

Ответ: блузки составляют $\frac{12}{25}$ всей одежды.

П.19 Сколькими способами 4 зрителя могут разместиться на четырёх соседних креслах в одном ряду кинотеатра?

Вп.19

Эта задача относится к разделу комбинаторики, а именно к перестановкам. Нам нужно найти количество способов, которыми можно расположить 4 различных объекта (зрителей) на 4 различных местах (креслах). Поскольку порядок размещения важен (рассадка "Зритель 1, Зритель 2" отличается от "Зритель 2, Зритель 1"), мы используем формулу для числа перестановок.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле $n$-факториал:
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

В данном случае у нас 4 зрителя и 4 кресла, поэтому $n=4$.

Рассмотрим процесс рассадки пошагово:
- Для выбора зрителя на первое кресло есть 4 варианта.
- После того, как первый зритель сел, для второго кресла остается 3 варианта выбора.
- Для третьего кресла остается 2 варианта.
- Для последнего, четвертого, кресла остается только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить число вариантов на каждом шаге (согласно правилу произведения):
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 различных способа разместить 4 зрителей на 4 соседних креслах.

Ответ: 24.

П.20 Выполните действие:

а) Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед выполнением умножения можно сократить числитель первой дроби и знаменатель второй (16 и 4), а также знаменатель первой дроби и числитель второй (27 и 9).

$\frac{16}{27} \cdot \frac{9}{4} = \frac{16 \cdot 9}{27 \cdot 4}$

Сократим 16 и 4 на их общий делитель 4: $16 \div 4 = 4$, $4 \div 4 = 1$.

Сократим 27 и 9 на их общий делитель 9: $27 \div 9 = 3$, $9 \div 9 = 1$.

$\frac{^4\sout{16}}{_3\sout{27}} \cdot \frac{^1\sout{9}}{_1\sout{4}} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$

Можно выделить целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

б) Выполняем умножение дробей. Сначала перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем получившуюся дробь.

$\frac{42}{5} \cdot \frac{55}{7} = \frac{42 \cdot 55}{5 \cdot 7}$

Сократим 42 и 7 на их общий делитель 7: $42 \div 7 = 6$, $7 \div 7 = 1$.

Сократим 55 и 5 на их общий делитель 5: $55 \div 5 = 11$, $5 \div 5 = 1$.

$\frac{^6\sout{42}}{_1\sout{5}} \cdot \frac{^{11}\sout{55}}{_1\sout{7}} = \frac{6 \cdot 11}{1 \cdot 1} = \frac{66}{1} = 66$

Ответ: $66$

в) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная $\frac{3}{12}$, это $\frac{12}{3}$.

$\frac{7}{12} : \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{3}$

Сократим 12 в числителе и знаменателе.

$\frac{7}{\sout{12}} \cdot \frac{\sout{12}}{3} = \frac{7}{3}$

Можно выделить целую часть: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

г) Для деления дробей умножаем делимое на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная $\frac{7}{22}$, это $\frac{22}{7}$.

$\frac{14}{55} : \frac{7}{22} = \frac{14}{55} \cdot \frac{22}{7}$

Сократим 14 и 7 на их общий делитель 7: $14 \div 7 = 2$, $7 \div 7 = 1$.

Сократим 55 и 22 на их общий делитель 11: $55 \div 11 = 5$, $22 \div 11 = 2$.

$\frac{^2\sout{14}}{_5\sout{55}} \cdot \frac{^2\sout{22}}{_1\sout{7}} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

П.21 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5}{12} : \frac{10}{3} - \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15} $
Выполним действия в соответствии с их порядком: сначала деление и умножение, а затем вычитание.
1. Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{5}{12} : \frac{10}{3} = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{10} $
Сократим дроби перед умножением: 5 и 10 на 5, 3 и 12 на 3.
$ \frac{5^1}{12_4} \cdot \frac{3^1}{10_2} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} $
2. Выполним умножение:
$ \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15} $
Сократим дроби перед умножением: 5 и 15 на 5, 2 и 6 на 2.
$ \frac{5^1}{6_3} \cdot \frac{2^1}{15_3} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} $
3. Выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 9 это 72.
$ \frac{1}{8} - \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9}{72} - \frac{1 \cdot 8}{72} = \frac{9 - 8}{72} = \frac{1}{72} $
Ответ: $ \frac{1}{72} $

б) $ \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{16} + \frac{7}{16} \cdot \frac{4}{5} $
Выполним сначала два умножения, а затем сложение.
1. Выполним первое умножение. Сократим 4 и 16 на 4, 5 и 25 на 5:
$ \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{16} = \frac{4^1}{25_5} \cdot \frac{5^1}{16_4} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20} $
2. Выполним второе умножение. Сократим 16 и 4 на 4:
$ \frac{7}{16} \cdot \frac{4}{5} = \frac{7}{16_4} \cdot \frac{4^1}{5} = \frac{7 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{7}{20} $
3. Выполним сложение. Знаменатели одинаковы, поэтому складываем числители:
$ \frac{1}{20} + \frac{7}{20} = \frac{1+7}{20} = \frac{8}{20} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{8 \div 4}{20 \div 4} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $

в) $ \frac{9}{8} : \frac{5}{8} : \frac{3}{10} $
Выполним деления последовательно слева направо.
1. Выполним первое деление:
$ \frac{9}{8} : \frac{5}{8} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{5} $
Сократим 8 в числителе и знаменателе:
$ \frac{9}{8_1} \cdot \frac{8^1}{5} = \frac{9}{5} $
2. Теперь результат разделим на третью дробь:
$ \frac{9}{5} : \frac{3}{10} = \frac{9}{5} \cdot \frac{10}{3} $
Сократим 9 и 3 на 3, 10 и 5 на 5:
$ \frac{9^3}{5_1} \cdot \frac{10^2}{3_1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6 $
Ответ: $ 6 $

П.22 Для показа коллекции школьной одежды салону за три месяца надо было сшить 45 комплектов школьной формы. В марте было сшито 11 комплектов, в апреле — 17 комплектов. Какую часть комплектов школьной формы осталось сшить в мае?

П. 22

Март - 11к.

Апрель - 17к.

Май - ?

1) $11 + 17 = 28\text{к}.$ сшили в марте и апреле

2) $45-28 = 17\text{к}.$ сшили в мае

3) $17 : 45 = \frac{17}{45}$ осталось сшить в мае

Ответ: $\frac{17}{45}$

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько всего комплектов школьной формы было сшито за два месяца (март и апрель).

Суммируем количество комплектов, сшитых в марте и апреле:

$11 + 17 = 28$ (комплектов)

Таким образом, за март и апрель было сшито 28 комплектов.

2. Определим, сколько комплектов школьной формы осталось сшить в мае.

Вычтем из общего плана количество уже сшитых комплектов:

$45 - 28 = 17$ (комплектов)

Значит, в мае осталось сшить 17 комплектов.

3. Найдем, какую часть от общего количества составляют комплекты, которые осталось сшить в мае.

Чтобы найти эту часть, нужно количество оставшихся комплектов разделить на общее плановое количество комплектов. Результат запишем в виде дроби:

$\frac{\text{Количество оставшихся комплектов}}{\text{Общее количество комплектов}} = \frac{17}{45}$

Данная дробь является несократимой, так как числитель 17 — это простое число, а знаменатель 45 на 17 без остатка не делится.

Ответ: в мае осталось сшить $\frac{17}{45}$ часть всех комплектов школьной формы.

П.23 Стоимость джинсов составляет 413 стоимости покупки, а стоимость ветровки — 313 покупки. Найдите стоимость покупки, если за джинсы и ветровку заплатили 2100 р.

Для решения этой задачи нужно сначала найти, какую общую часть от всей покупки составляют джинсы и ветровка.

1. Сложим доли стоимости джинсов и ветровки от общей стоимости покупки:

Стоимость джинсов составляет $ \frac{4}{13} $ стоимости покупки.

Стоимость ветровки составляет $ \frac{3}{13} $ стоимости покупки.

Их общая доля: $ \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{4+3}{13} = \frac{7}{13} $.

Таким образом, джинсы и ветровка вместе составляют $ \frac{7}{13} $ от общей стоимости покупки.

2. Теперь, зная, что $ \frac{7}{13} $ от общей стоимости равны 2100 р., мы можем найти полную стоимость покупки. Для этого нужно найти целое по его части.

Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби (2100 р.) разделить на саму дробь ($ \frac{7}{13} $).

$ 2100 \div \frac{7}{13} = 2100 \times \frac{13}{7} = \frac{2100 \times 13}{7} $

Выполним вычисление:

$ \frac{2100}{7} \times 13 = 300 \times 13 = 3900 $ р.

Следовательно, общая стоимость всей покупки составляет 3900 рублей.

Ответ: 3900 р.

П.24 В первый день было засеяно 49 всего поля, во второй день — 35 оставшейся части. Сколько гектаров осталось засеять, если площадь поля равна 360 га?

1. Найдем площадь поля, засеянную в первый день.
Согласно условию, в первый день было засеяно $\frac{4}{9}$ от общей площади поля, которая составляет 360 га. Чтобы найти эту площадь, умножим общую площадь на соответствующую дробь:
$360 \cdot \frac{4}{9} = \frac{360 \cdot 4}{9} = 40 \cdot 4 = 160$ га.

2. Найдем площадь поля, оставшуюся незасеянной после первого дня.
Для этого из общей площади поля вычтем площадь, засеянную в первый день:
$360 - 160 = 200$ га.

3. Найдем площадь поля, засеянную во второй день.
Во второй день было засеяно $\frac{3}{5}$ от оставшейся части. Оставшаяся после первого дня часть, как мы вычислили, равна 200 га. Найдем $\frac{3}{5}$ от этого числа:
$200 \cdot \frac{3}{5} = \frac{200 \cdot 3}{5} = 40 \cdot 3 = 120$ га.

4. Найдем, сколько гектаров осталось засеять.
Для этого из площади, оставшейся после первого дня (200 га), вычтем площадь, засеянную во второй день (120 га):
$200 - 120 = 80$ га.

Ответ: 80 га.

П.25 Отметьте на координатной прямой с единичным отрезком в 10 клеток точки, координаты которых равны:

а)

По условию задачи, единичный отрезок на координатной прямой равен 10 клеткам. Это означает, что цена одного деления (одной клетки) составляет $1 \div 10 = 0,1$.

Чтобы отметить заданные точки, найдем их положение на координатной прямой в клетках от начала отсчета (точки 0). Для этого умножим координату каждой точки на 10. Для дробных координат предварительно переведем их в десятичные дроби.

• Точка с координатой 0 находится в начале отсчета, то есть на 0-й клетке.
• Точка с координатой 1 соответствует концу единичного отрезка и находится на $1 \times 10 = 10$-й клетке.
• Точка с координатой 0,7 находится на $0,7 \times 10 = 7$-й клетке.
• Точка с координатой $\frac{2}{5}$. Переведем дробь в десятичную: $\frac{2}{5} = 0,4$. Эта точка находится на $0,4 \times 10 = 4$-й клетке.
• Точка с координатой 0,4 находится на $0,4 \times 10 = 4$-й клетке. Она совпадает с точкой $\frac{2}{5}$.
• Точка с координатой $1\frac{1}{2}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь: $1\frac{1}{2} = 1,5$. Эта точка находится на $1,5 \times 10 = 15$-й клетке.
• Точка с координатой 1,8 находится на $1,8 \times 10 = 18$-й клетке.

Изобразим эти точки на координатной прямой:

Ответ: Точки располагаются на следующих клетках от начала отсчета (0): точка 0 — на 0-й клетке; точки $\frac{2}{5}$ и 0,4 — на 4-й клетке; точка 0,7 — на 7-й клетке; точка 1 — на 10-й клетке; точка $1\frac{1}{2}$ — на 15-й клетке; точка 1,8 — на 18-й клетке.

б)

Аналогично пункту а), используем масштаб, где 10 клеток равны единичному отрезку, а 1 клетка равна 0,1.

Найдем положение каждой точки в клетках:

• Точка с координатой 0 находится в начале отсчета (0-я клетка).
• Точка с координатой 1 находится на $1 \times 10 = 10$-й клетке.
• Точка с координатой 0,5 находится на $0,5 \times 10 = 5$-й клетке.
• Точка с координатой $\frac{1}{5}$. Переведем дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$. Эта точка находится на $0,2 \times 10 = 2$-й клетке.
• Точка с координатой 0,7 находится на $0,7 \times 10 = 7$-й клетке.
• Точка с координатой $1\frac{1}{4}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь: $1\frac{1}{4} = 1,25$. Эта точка находится на $1,25 \times 10 = 12,5$-й клетке, то есть ровно посередине между 12-й и 13-й клетками.
• Точка с координатой 1,9 находится на $1,9 \times 10 = 19$-й клетке.

Изобразим эти точки на координатной прямой:

Ответ: Точки располагаются на следующих клетках от начала отсчета (0): точка 0 — на 0-й клетке; точка $\frac{1}{5}$ — на 2-й клетке; точка 0,5 — на 5-й клетке; точка 0,7 — на 7-й клетке; точка 1 — на 10-й клетке; точка $1\frac{1}{4}$ — на 12,5-й клетке (между 12-й и 13-й); точка 1,9 — на 19-й клетке.