Страница 161, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.1 В семизначном числе переставили две последние цифры, и оно не изменилось. Какая цифра была предпоследней, если последняя цифра 8?

Так как при перестановке цифр число не изменилось, то переставили одинаковые цифры. Значит, предпоследней цифрой была цифра $8$.

Ответ: $8$

Пусть искомое семизначное число можно представить в виде $ABCDE\underline{x}\underline{y}$, где $A, B, C, D, E$ — первые пять цифр, $x$ — предпоследняя цифра, а $y$ — последняя цифра.

По условию задачи, последняя цифра равна 8, то есть $y=8$. Таким образом, число имеет вид $ABCDE\underline{x}\underline{8}$.

В этом числе переставили две последние цифры. Новое число будет иметь вид $ABCDE\underline{8}\underline{x}$.

По условию, после перестановки число не изменилось. Это означает, что исходное число равно новому числу: $ABCDE\underline{x}\underline{8} = ABCDE\underline{8}\underline{x}$

Чтобы это равенство выполнялось, цифры на соответствующих позициях должны быть одинаковыми. Первые пять цифр ($A, B, C, D, E$) в обоих числах совпадают. Чтобы числа были равны, их последние две цифры также должны совпадать.

Сравнивая последние две цифры, получаем: предпоследняя цифра исходного числа должна быть равна предпоследней цифре нового числа: $x = 8$.
последняя цифра исходного числа должна быть равна последней цифре нового числа: $8 = x$.

Оба сравнения приводят к одному и тому же выводу: $x = 8$.

Действительно, если в числе, оканчивающемся на ...88, поменять местами две последние цифры, оно не изменится.

Ответ: 8.

П.2 Девятизначное число оканчивается на 60. На сколько изменится число, если эти цифры поменять местами?

Пусть исходное девятизначное число можно представить в виде $A \cdot 100 + 60$, где $A$ — это число, образованное первыми семью цифрами исходного числа. Например, если число было 123456760, то $A = 1234567$.

Исходное число: $N_1 = A \cdot 100 + 60$.

После того как мы поменяем местами последние две цифры (6 и 0), они образуют число 06. Новое число будет иметь те же первые семь цифр, что и исходное.

Новое число: $N_2 = A \cdot 100 + 6$.

Чтобы найти, на сколько изменилось число, нужно вычислить разность между исходным и новым числом:

$N_1 - N_2 = (A \cdot 100 + 60) - (A \cdot 100 + 6)$

Раскроем скобки:

$N_1 - N_2 = A \cdot 100 + 60 - A \cdot 100 - 6$

Как видно, $A \cdot 100$ и $-A \cdot 100$ взаимно уничтожаются, и у нас остается:

$N_1 - N_2 = 60 - 6 = 54$

Поскольку разность положительна, это означает, что исходное число было больше нового, то есть число уменьшилось.

Ответ: Число уменьшится на 54.

П.3 Справедливо ли утверждение: «Если четырёхзначное число записать в обратном порядке, то снова получим четырёхзначное число»?

2300 - четырёхзначное число.

Запишем его в обратном порядке:

$0032 = 32$ - двузначное число

Ответ: утверждение не справерливо.

Для того чтобы определить справедливость данного утверждения, необходимо проанализировать, что такое четырехзначное число и что происходит при записи его цифр в обратном порядке.

Четырехзначным называется натуральное число от 1000 до 9999. Особенность такого числа в том, что оно состоит из четырех цифр, и первая цифра (в разряде тысяч) не может быть нулем.

Представим любое четырехзначное число в виде $\overline{abcd}$, где $a, b, c, d$ — его цифры. Согласно определению, цифра $a$ должна принадлежать множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а цифры $b, c, d$ могут быть любыми от 0 до 9, то есть $b, c, d \in \{0, 1, 2, ..., 9\}$.

Если записать цифры этого числа в обратном порядке, мы получим последовательность цифр $\overline{dcba}$. Чтобы это новое число было четырехзначным, его первая цифра, то есть $d$, не должна быть равна нулю ($d \neq 0$).

Теперь зададимся вопросом: всегда ли последняя цифра $d$ исходного четырехзначного числа отлична от нуля? Ответ — нет. Существует множество четырехзначных чисел, которые оканчиваются на 0.

Рассмотрим контрпример, чтобы опровергнуть утверждение.

Возьмем четырехзначное число 5830. Оно удовлетворяет всем условиям четырехзначного числа.

Запишем его цифры в обратном порядке: 0385.

Полученное число 0385 принято записывать как 385. Число 385 является трехзначным, а не четырехзначным, так как незначащий ноль в начале числа отбрасывается.

Другие примеры:

• Число 2700 (четырехзначное) $\rightarrow$ 0072 (что является числом 72 — двузначным).
• Число 9000 (четырехзначное) $\rightarrow$ 0009 (что является числом 9 — однозначным).

Таким образом, утверждение «Если четырёхзначное число записать в обратном порядке, то снова получим четырёхзначное число» не является справедливым, поскольку оно не выполняется для всех четырехзначных чисел, оканчивающихся на ноль.

Ответ: Утверждение не является справедливым. Если четырехзначное число оканчивается на ноль (например, 1230), то при записи его цифр в обратном порядке (0321) получится число, которое не является четырехзначным (в данном случае — трехзначное число 321).

П.4 Вычислите.

а)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $6 : 1,2 = 60 : 12 = 5$
2. $5 - 5 = 0$
3. $0 \cdot 0,97 = 0$
4. $0 + 3,15 = 3,15$

Ответ: 3,15

б)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $9 : 1,5 = 90 : 15 = 6$
2. $6 - 5 = 1$
3. $1 \cdot 0,25 = 0,25$
4. $0,25 + 6 = 6,25$

Ответ: 6,25

в)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $3 \cdot 1,6 = 4,8$
2. $4,8 - 1,2 = 3,6$
3. $3,6 : 12 = 0,3$
4. $0,3 + 1,2 = 1,5$

Ответ: 1,5

г)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $0,6 \cdot 6 = 3,6$
2. $3,6 + 1,2 = 4,8$
3. $4,8 : 40 = 0,12$
4. $0,12 \cdot 50 = 6$

Ответ: 6

д)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $30 \cdot 0,3 = 9$
2. $9 - 4,8 = 4,2$
3. $4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6$
4. $6 \cdot 0,01 = 0,06$

Ответ: 0,06

е)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $2 \cdot 1,9 = 3,8$
2. $3,8 - 2,2 = 1,6$
3. $1,6 : 0,8 = 16 : 8 = 2$
4. $2 : 0,1 = 20 : 1 = 20$

Ответ: 20

ж)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $7 - 0,7 = 6,3$
2. $6,3 : 0,9 = 63 : 9 = 7$
3. $7 \cdot 0,02 = 0,14$
4. $0,14 + 0,66 = 0,8$

Ответ: 0,8

з)

Решим пример, выполняя действия последовательно сверху вниз:

1. $1,5 \cdot 6 = 9$
2. $9 : 5 = 1,8$
3. $1,8 \cdot 2 = 3,6$
4. $3,6 + 2,4 = 6$

Ответ: 6

П.5 Найдите значение выражения:

а) Для нахождения значения выражения $(4347 - 3490) \cdot 31 - 4400 : 275$ выполним действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание.
1. Вычитание в скобках: $4347 - 3490 = 857$.
2. Умножение: $857 \cdot 31 = 26\,567$.
3. Деление: $4400 : 275 = 16$.
4. Вычитание: $26\,567 - 16 = 26\,551$.
Ответ: 26551.

б) Для выражения $(72\,198 + 72\,186) : 48 + 61 \cdot 27$ выполняем действия по порядку:
1. Сложение в скобках: $72\,198 + 72\,186 = 144\,384$.
2. Деление: $144\,384 : 48 = 3008$.
3. Умножение: $61 \cdot 27 = 1647$.
4. Сложение: $3008 + 1647 = 4655$.
Ответ: 4655.

в) В выражении $433\,159 : 851 - 479\,987 : 943 + 468\,000 : 2340 + 331\,331 : 331$ нет скобок, поэтому сначала выполняем все операции деления слева направо, а затем сложение и вычитание.
1. Первое деление: $433\,159 : 851 = 509$.
2. Второе деление: $479\,987 : 943 = 509$.
3. Третье деление: $468\,000 : 2340 = 200$.
4. Четвертое деление: $331\,331 : 331 = 1001$.
5. Теперь подставляем результаты в исходное выражение и вычисляем: $509 - 509 + 200 + 1001 = 0 + 200 + 1001 = 1201$.
Ответ: 1201.

г) Для выражения $423\,328 + (49\,007 - 52\,275 : 615)$ начинаем с вычислений в скобках, где деление имеет приоритет.
1. Деление в скобках: $52\,275 : 615 = 85$.
2. Вычитание в скобках: $49\,007 - 85 = 48\,922$.
3. Сложение: $423\,328 + 48\,922 = 472\,250$.
Ответ: 472250.

д) Для выражения $232 \cdot (336\,392 : 56 - 3862) + 666$ сначала выполняем действия в скобках, начиная с деления.
1. Деление в скобках: $336\,392 : 56 = 6007$.
2. Вычитание в скобках: $6007 - 3862 = 2145$.
3. Умножение: $232 \cdot 2145 = 497\,640$.
4. Сложение: $497\,640 + 666 = 498\,306$.
Ответ: 498306.

П.6 Найдите условия, при которых:

а) сумма двух чисел равна одному из них;

б) разность равна уменьшаемому; нулю;

в) произведение равно одному из множителей; нулю;

г) частное равно делимому; нулю; единице.

а) сумма двух чисел равна одному из них;

Пусть даны два числа, $a$ и $b$. Их сумма равна $a + b$. Рассмотрим два возможных случая, когда сумма равна одному из слагаемых.

Первый случай: сумма равна первому числу. Математически это записывается как $a + b = a$. Если вычесть $a$ из обеих частей этого равенства, мы получим $b = 0$.

Второй случай: сумма равна второму числу. Это записывается как $a + b = b$. Если вычесть $b$ из обеих частей равенства, мы получим $a = 0$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что одно из чисел должно быть равно нулю.

Ответ: если одно из чисел равно нулю.

б) разность равна уменьшаемому; нулю;

Пусть дана разность $a - b$, где $a$ — это уменьшаемое, а $b$ — вычитаемое.

Разность равна уменьшаемому. Это условие означает, что $a - b = a$. Если вычесть $a$ из обеих частей уравнения, получится $-b = 0$, что эквивалентно $b = 0$. Таким образом, разность равна уменьшаемому, когда вычитаемое равно нулю.

Разность равна нулю. Это условие означает, что $a - b = 0$. Если прибавить $b$ к обеим частям уравнения, получится $a = b$. Таким образом, разность равна нулю, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Ответ: разность равна уменьшаемому, если вычитаемое равно нулю; разность равна нулю, если уменьшаемое равно вычитаемому.

в) произведение равно одному из множителей; нулю;

Пусть дано произведение двух множителей $a$ и $b$, которое равно $a \cdot b$.

Произведение равно одному из множителей. Это условие выполняется, если $a \cdot b = a$ или $a \cdot b = b$. Рассмотрим равенство $a \cdot b = a$. Перенесем все в одну сторону: $a \cdot b - a = 0$ и вынесем общий множитель: $a(b-1)=0$. Это равенство верно, если $a=0$ или $b-1=0$, то есть $b=1$. Аналогично для $a \cdot b = b$, получаем $b(a-1)=0$, что верно при $b=0$ или $a=1$. Объединяя все условия ($a=0$ или $b=1$ или $b=0$ или $a=1$), получаем, что произведение равно одному из множителей, если хотя бы один из множителей равен 0 или 1.

Произведение равно нулю. Это условие означает, что $a \cdot b = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: произведение равно одному из множителей, если хотя бы один из множителей равен 0 или 1; произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

г) частное равно делимому; нулю; единице.

Пусть дано частное от деления числа $a$ на число $b$, то есть $a / b$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель. Важное условие: делитель не может быть равен нулю, то есть $b \ne 0$.

Частное равно делимому. Условие: $a / b = a$. Если $a = 0$, то $0 / b = 0$ для любого $b \ne 0$, и условие выполняется. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$, получив $1/b = 1$, откуда следует, что $b=1$. Таким образом, частное равно делимому, если делитель равен 1, или если делимое равно 0 (при ненулевом делителе).

Частное равно нулю. Условие: $a / b = 0$ (при $b \ne 0$). Умножив обе части на $b$, получим $a = 0 \cdot b$, то есть $a=0$. Следовательно, частное равно нулю, когда делимое равно нулю, а делитель — любое ненулевое число.

Частное равно единице. Условие: $a / b = 1$ (при $b \ne 0$). Умножив обе части на $b$, получим $a = b$. Следовательно, частное равно единице, когда делимое равно делителю, и оба они не равны нулю.

Ответ: частное равно делимому, если делитель равен 1 или если делимое равно 0 (при $b \ne 0$); частное равно нулю, если делимое равно 0 (при $b \ne 0$); частное равно единице, если делимое и делитель равны и не равны 0.

П.7 Выполните деление с остатком:

а) 24 360 на 79;

б) 30 296 на 407.

а) Чтобы разделить 24360 на 79 с остатком, выполним деление столбиком.

1. Возьмем первые три цифры делимого, 243, и разделим их на 79. Подберем число, при умножении которого на 79 получится число, максимально близкое к 243, но не большее его. Это число 3, так как $3 \times 79 = 237$. Записываем 3 в частное.
Найдем разность: $243 - 237 = 6$.

2. Сносим следующую цифру делимого, 6, к полученной разности. Получаем число 66. Так как 66 меньше 79, в частное записываем 0.

3. Сносим последнюю цифру делимого, 0, к числу 66. Получаем 660. Разделим 660 на 79. Подберем число, при умножении которого на 79 получится число, максимально близкое к 660. Это число 8, так как $8 \times 79 = 632$. Записываем 8 в частное.
Найдем остаток: $660 - 632 = 28$.

Цифры в делимом закончились. Получили неполное частное 308 и остаток 28. Остаток (28) меньше делителя (79), значит, деление выполнено верно.
Проверка: $308 \times 79 + 28 = 24332 + 28 = 24360$.
Ответ: 24360 : 79 = 308 (ост. 28).

б) Чтобы разделить 30296 на 407 с остатком, выполним деление столбиком.

1. Возьмем первые четыре цифры делимого, 3029, и разделим их на 407. Подберем число, при умножении которого на 407 получится число, максимально близкое к 3029. Это число 7, так как $7 \times 407 = 2849$. Записываем 7 в частное.
Найдем разность: $3029 - 2849 = 180$.

2. Сносим следующую цифру делимого, 6, к полученной разности. Получаем число 1806. Разделим 1806 на 407. Подберем число, при умножении которого на 407 получится число, максимально близкое к 1806. Это число 4, так как $4 \times 407 = 1628$. Записываем 4 в частное.
Найдем остаток: $1806 - 1628 = 178$.

Цифры в делимом закончились. Получили неполное частное 74 и остаток 178. Остаток (178) меньше делителя (407), значит, деление выполнено верно.
Проверка: $74 \times 407 + 178 = 30118 + 178 = 30296$.
Ответ: 30296 : 407 = 74 (ост. 178).

П.8 Найдите число n, если при делении этого числа на 21 получили частное 9 и остаток 7.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу деления с остатком. Эта формула устанавливает связь между делимым (число, которое делят), делителем (число, на которое делят), неполным частным (результат целочисленного деления) и остатком.

Общая формула деления с остатком выглядит следующим образом:
$a = b \cdot q + r$
где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. При этом остаток $r$ всегда должен быть меньше делителя $b$ ($0 \le r < b$).

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:
- Делимое, которое нам нужно найти: $a = n$.
- Делитель: $b = 21$.
- Частное: $q = 9$.
- Остаток: $r = 7$.
Условие, что остаток меньше делителя ($7 < 21$), выполняется.

Теперь подставим известные значения в формулу, чтобы вычислить $n$:
$n = 21 \cdot 9 + 7$

Выполним вычисления по порядку: сначала умножение, затем сложение.
1. Находим произведение делителя и частного: $21 \times 9 = 189$.
2. К полученному произведению прибавляем остаток: $189 + 7 = 196$.

Таким образом, искомое число $n$ равно 196.

Для уверенности можно выполнить проверку: разделим 196 на 21.
$196 \div 21$. Целая часть от деления равна 9, так как $21 \times 9 = 189$.
Найдём остаток: $196 - 189 = 7$.
Получили частное 9 и остаток 7, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 196

П.9 Из натуральных чисел, расположенных между числами 11 и 43, выпишите те числа, которые:

а) кратны числу 2;

б) кратны числу 3;

в) кратны числу 6;

г) кратны числу 9;

д) кратны числу 5;

е) кратны числу 11;

ж) нечётные;

з) нечётные, кратные числа 7.

П.9

а) Числа, которые кратны числу 2, делятся на 2 без остатка. Они должны быть чётными:
12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30,
32, 34, 36, 38, 40, 42.

б) Числа, которые кратны числу 3, делятся на 3 без остатка. По признаку делимости на 3, сумма цифр числа должна делятся на 3, тогда и всё число делится на 3.
12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42.

в) Числа, которые кратны числу 6, делятся на 6 без остатка. Они должны делятся и на 2, и на 3 одновременно, т.е. они должны быть чётными и сумма их цифр должна делятся на 3.
12; 18; 24; 30; 36; 42.

г) Числа, которые кратны числу 9, должны делятся на 9 без остатка. По признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делятся на 9, тогда и всё число будет делятся на 9.
18; 27; 36.

д) Числа, которые кратны числу 5, должны делятся на 5 без остатка. По признаку делимости на 5, эти числа должны заканчиваться на 0 или на 5.
15; 20; 25; 30; 35; 40.

е) Числа, которые кратны числу 11, должны делятся на 11 без остатка
22; 33

ж) Нечётное число заканчиваются на
1; 3; 5; 7 и 9.
13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33;
35; 37; 39; 41

з) Это нечётное число, которые должны делятся на 7 без остатка
21; 35

В задаче требуется найти натуральные числа, расположенные между 11 и 43, которые удовлетворяют определённым условиям. Это означает, что мы рассматриваем целые числа $n$, для которых выполняется неравенство $11 < n < 43$. Таким образом, мы будем работать с множеством чисел: {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42}.

а) кратны числу 2;

Числа, кратные 2, называются чётными. Нам необходимо выписать все чётные числа из указанного диапазона. Первое чётное число после 11 — это 12. Последнее чётное число перед 43 — это 42. Перечислим все чётные числа от 12 до 42:

12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42.

Ответ: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42.

б) кратны числу 3;

Найдём все числа от 12 до 42, которые делятся на 3 без остатка. Первое такое число — $3 \times 4 = 12$. Последнее — $3 \times 14 = 42$. Выпишем все числа, кратные 3, в этом интервале:

12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42.

Ответ: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42.

в) кратны числу 6;

Числа, кратные 6, должны делиться и на 2, и на 3. Мы можем найти их, выбрав чётные числа из списка кратных 3 (из пункта б). Или можно найти кратные 6 напрямую. Первое число, кратное 6, в нашем диапазоне — $6 \times 2 = 12$. Последнее — $6 \times 7 = 42$. Перечислим их:

12, 18, 24, 30, 36, 42.

Ответ: 12, 18, 24, 30, 36, 42.

г) кратны числу 9;

Найдём все числа от 12 до 42, которые делятся на 9. Первое такое число — $9 \times 2 = 18$. Следующие — $9 \times 3 = 27$ и $9 \times 4 = 36$. Число $9 \times 5 = 45$ уже выходит за рамки диапазона.

18, 27, 36.

Ответ: 18, 27, 36.

д) кратны числу 5;

Числа, кратные 5, оканчиваются на 0 или 5. Найдём такие числа в интервале от 12 до 42. Первое — 15. Далее, прибавляя 5, получим:

15, 20, 25, 30, 35, 40.

Ответ: 15, 20, 25, 30, 35, 40.

е) кратны числу 11;

Найдём все числа от 12 до 42, которые делятся на 11. Первое такое число — $11 \times 2 = 22$. Следующее — $11 \times 3 = 33$. Следующее, $11 \times 4 = 44$, уже больше 42.

22, 33.

Ответ: 22, 33.

ж) нечётные;

Нечётные числа — это те, которые при делении на 2 дают остаток 1. Перечислим все нечётные числа в диапазоне от 12 до 42. Первое такое число — 13, последнее — 41.

13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41.

Ответ: 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41.

з) нечётные, кратные числа 7.

Для решения этой задачи нужно выполнить два условия: число должно быть нечётным и делиться на 7. Сначала выпишем все числа, кратные 7, из диапазона от 12 до 42. Это $7 \times 2 = 14$, $7 \times 3 = 21$, $7 \times 4 = 28$, $7 \times 5 = 35$, $7 \times 6 = 42$. Получаем ряд: 14, 21, 28, 35, 42. Теперь из этого списка выберем нечётные числа. Это 21 и 35.

Ответ: 21, 35.

П.10 Запишите все делители чисел 12; 30; 32; 48.

Делитель числа — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, будем для каждого числа находить пары чисел, произведение которых равно этому числу.

Делители числа 12

Найдём все пары множителей, которые в произведении дают 12:
$1 \cdot 12 = 12$
$2 \cdot 6 = 12$
$3 \cdot 4 = 12$
Следующий множитель — 4, но он уже есть в паре (3, 4), значит, мы нашли все делители. Запишем их в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Делители числа 30

Найдём все пары множителей, которые в произведении дают 30:
$1 \cdot 30 = 30$
$2 \cdot 15 = 30$
$3 \cdot 10 = 30$
Число 30 на 4 без остатка не делится.
$5 \cdot 6 = 30$
Следующий множитель — 6, который уже есть в паре (5, 6). Перебор закончен. Запишем все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Делители числа 32

Найдём все пары множителей, которые в произведении дают 32:
$1 \cdot 32 = 32$
$2 \cdot 16 = 32$
Число 32 на 3 без остатка не делится.
$4 \cdot 8 = 32$
Числа 5, 6, 7 не являются делителями 32.
Следующий множитель — 8, который уже есть в паре (4, 8). Перебор закончен. Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Делители числа 48

Найдём все пары множителей, которые в произведении дают 48:
$1 \cdot 48 = 48$
$2 \cdot 24 = 48$
$3 \cdot 16 = 48$
$4 \cdot 12 = 48$
Число 48 на 5 без остатка не делится.
$6 \cdot 8 = 48$
Число 48 на 7 без остатка не делится.
Следующий множитель — 8, который уже есть в паре (6, 8). Перебор закончен. Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

П.11 Какие из чисел 3878, 84 675, 218 736, 237 895, 101 364, 2 964 960 делятся нацело на:

а) 3; б) 9; в) 5; г) 15?

П. 11

а) Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

84 675 $(8 + 4 + 6 + 7 + 5 = 30)$

$30 : 3 = 10$

218 736 $(2 + 1 + 8 + 7 + 3 + 6 = 27)$

$27 : 3 = 9$

101 364 $(1 + 0 + 1 + 3 + 6 + 4 = 15)$

$15 : 3 = 5$

2 964 960 $(2 + 9 + 6 + 4 + 9 + 6 + 0 = 36)$

$36 : 3 = 12$

б) Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

218 736 $(2 + 1 + 8 + 7 + 3 + 6 = 27)$

$27 : 9 = 3$

2 964 960 $(2 + 9 + 6 + 4 + 9 + 6 + 0 = 36)$

$36 : 9 = 4$

в) Если число оканчивается на 0 и 5, то оно делится на 5.

84 675; 237 895; 2964 960

г) Если число делится на 3 и 5, то оно делится на 15.

84 675; 2964 960.

Чтобы определить, какие из данных чисел делятся на 3, 9, 5 и 15, воспользуемся соответствующими признаками делимости.

а) Делимость на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое число:

3878: сумма цифр $3+8+7+8 = 26$. 26 не делится на 3 без остатка.

84675: сумма цифр $8+4+6+7+5 = 30$. $30 \div 3 = 10$. Число делится на 3.

218736: сумма цифр $2+1+8+7+3+6 = 27$. $27 \div 3 = 9$. Число делится на 3.

237895: сумма цифр $2+3+7+8+9+5 = 34$. 34 не делится на 3 без остатка.

101364: сумма цифр $1+0+1+3+6+4 = 15$. $15 \div 3 = 5$. Число делится на 3.

2964960: сумма цифр $2+9+6+4+9+6+0 = 36$. $36 \div 3 = 12$. Число делится на 3.

Ответ: 84675, 218736, 101364, 2964960.

б) Делимость на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Воспользуемся суммами, вычисленными в предыдущем пункте:

3878: сумма цифр равна 26. 26 не делится на 9 без остатка.

84675: сумма цифр равна 30. 30 не делится на 9 без остатка.

218736: сумма цифр равна 27. $27 \div 9 = 3$. Число делится на 9.

237895: сумма цифр равна 34. 34 не делится на 9 без остатка.

101364: сумма цифр равна 15. 15 не делится на 9 без остатка.

2964960: сумма цифр равна 36. $36 \div 9 = 4$. Число делится на 9.

Ответ: 218736, 2964960.

в) Делимость на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Проверим каждое число:

3878: последняя цифра 8. Не делится на 5.

84675: последняя цифра 5. Делится на 5.

218736: последняя цифра 6. Не делится на 5.

237895: последняя цифра 5. Делится на 5.

101364: последняя цифра 4. Не делится на 5.

2964960: последняя цифра 0. Делится на 5.

Ответ: 84675, 237895, 2964960.

г) Делимость на 15

Число делится на 15, если оно делится одновременно и на 3, и на 5 (поскольку $15 = 3 \times 5$, а числа 3 и 5 взаимно простые). Используем результаты из пунктов а) и в):

Нужно найти числа, которые присутствуют в ответах для делимости на 3 и на 5.

Числа, делящиеся на 3: 84675, 218736, 101364, 2964960.

Числа, делящиеся на 5: 84675, 237895, 2964960.

Выберем общие для этих двух списков числа:

84675: делится и на 3, и на 5. Следовательно, делится на 15.

2964960: делится и на 3, и на 5. Следовательно, делится на 15.

Остальные числа не подходят: 218736 и 101364 делятся на 3, но не на 5; 237895 делится на 5, но не на 3.

Ответ: 84675, 2964960.

П.12 Запишите в виде неправильной дроби число:

а) Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$5\frac{11}{17} = \frac{5 \times 17 + 11}{17} = \frac{85 + 11}{17} = \frac{96}{17}$
Ответ: $\frac{96}{17}$

б) Применяем то же правило для числа $305\frac{13}{16}$. Умножаем целую часть (305) на знаменатель (16) и прибавляем числитель (13).
$305\frac{13}{16} = \frac{305 \times 16 + 13}{16}$
Выполним вычисления: $305 \times 16 = 4880$.
Теперь прибавим числитель: $4880 + 13 = 4893$.
Получаем неправильную дробь: $\frac{4893}{16}$.
Ответ: $\frac{4893}{16}$

в) Преобразуем смешанное число $6\frac{16}{17}$ в неправильную дробь.
$6\frac{16}{17} = \frac{6 \times 17 + 16}{17} = \frac{102 + 16}{17} = \frac{118}{17}$
Ответ: $\frac{118}{17}$

г) Преобразуем смешанное число $602\frac{7}{12}$ в неправильную дробь.
$602\frac{7}{12} = \frac{602 \times 12 + 7}{12}$
Выполним вычисления: $602 \times 12 = 7224$.
Теперь прибавим числитель: $7224 + 7 = 7231$.
Получаем неправильную дробь: $\frac{7231}{12}$.
Ответ: $\frac{7231}{12}$