Страница 165, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.47 Две точки X и У расположены на отрезке АВ так, что точка X лежит между точками В и У. Найдите длину отрезка АВ, если УХ = 3 см, YB = 11 см, АХ = 7 см.

П.47

Для решения задачи в первую очередь необходимо определить взаимное расположение точек на прямой. По условию, точки X и Y лежат на отрезке AB, а точка X находится между точками B и Y. Это означает, что порядок этих трех точек на прямой — Y, X, B.

Длина отрезка YB, который состоит из отрезков YX и XB, является суммой их длин. Это можно записать в виде формулы: $YB = YX + XB$.

Используя известные из условия значения $YB = 11$ см и $YX = 3$ см, мы можем вычислить длину отрезка XB:

$XB = YB - YX = 11 - 3 = 8$ см.

Поскольку все точки лежат на отрезке AB, а точка Y лежит между A и X (так как $AX = 7$ см, а $YX=3$ см), их полная последовательность на прямой будет A, Y, X, B. Таким образом, длина всего отрезка AB равна сумме длин отрезков AX и XB.

$AB = AX + XB$.

Подставив известную длину $AX = 7$ см и вычисленную нами длину $XB = 8$ см, найдем искомую длину отрезка AB:

$AB = 7 \text{ см} + 8 \text{ см} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

П.48 Стороны шестиугольника MNOPRK равны: MN = 2,3 см, NO = 3,1 см, ОР = 3,2 см, PR = 3 см, RK = 2,8 см, КМ = 2,6 см. Найдите периметр этого шестиугольника.

П. 48

$\mathrm{MN} = 2,3\text{ см}$

$\mathrm{NO} = 3,1\text{ см}$

$\mathrm{OP} = 3,2\text{ см}$

$\mathrm{PR} = 3\text{ см}$

$\mathrm{RK} = 2,8\text{ см}$

$\mathrm{KM} = 2,6\text{ см}$

$P_{\mathrm{MNOPRK}} - ?$

$\mathrm{MN} + \mathrm{NO} + \mathrm{OP} + \mathrm{PR} + \mathrm{RK} + \mathrm{KM} = 2,3 + 3,1 + 3,2 + 3 + 2,8 + 2,6 = 17\left(\text{см}\right)$

Ответ: $17\text{ см}$

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр шестиугольника $MNOPRK$, нужно сложить длины всех его шести сторон.

Даны длины сторон шестиугольника:

• $MN = 2,3$ см
• $NO = 3,1$ см
• $OP = 3,2$ см
• $PR = 3$ см
• $RK = 2,8$ см
• $KM = 2,6$ см

Периметр $P$ равен сумме этих длин:

$P = MN + NO + OP + PR + RK + KM$

Подставим числовые значения в формулу:

$P = 2,3 + 3,1 + 3,2 + 3 + 2,8 + 2,6$

Выполним сложение. Для удобства можно сгруппировать слагаемые:

$P = (2,3 + 3,1) + (3,2 + 2,8) + (3 + 2,6)$

$P = 5,4 + 6,0 + 5,6$

$P = 11,4 + 5,6$

$P = 17$

Периметр шестиугольника равен $17$ см.

Ответ: $17$ см.

П.49 Вычислите.

а) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — сложение: $2,16 + 0,34 = 2,5$

2) Второе действие — умножение: $2,5 \cdot 4 = 10$

3) Третье действие — сложение: $10 + 0,5 = 10,5$

4) Четвертое действие — деление: $10,5 : 0,4 = \frac{10,5}{0,4} = \frac{105}{4} = 26,25$

Ответ: 26,25

б) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — вычитание: $4,3 - 1,9 = 2,4$

2) Второе действие — деление: $2,4 : 0,8 = \frac{2,4}{0,8} = \frac{24}{8} = 3$

3) Третье действие — сложение: $3 + 1,4 = 4,4$

4) Четвертое действие — умножение: $4,4 \cdot 3 = 13,2$

Ответ: 13,2

в) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $0,002 \cdot 20 = 0,04$

2) Второе действие — сложение: $0,04 + 0,06 = 0,1$

3) Третье действие — деление: $0,1 : 0,01 = \frac{0,1}{0,01} = \frac{10}{1} = 10$

4) Четвертое действие — деление: $10 : 20 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

г) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $25 \cdot 0,4 = 10$

2) Второе действие — деление: $10 : 0,2 = \frac{10}{0,2} = \frac{100}{2} = 50$

3) Третье действие — вычитание: $50 - 25 = 25$

4) Четвертое действие — умножение: $25 \cdot 0,5 = 12,5$

Ответ: 12,5

д) Решим пример по действиям, выполняя операции последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — сложение: $80,2 + 0,6 = 80,8$

2) Второе действие — деление: $80,8 : 0,8 = \frac{80,8}{0,8} = \frac{808}{8} = 101$

3) Третье действие — вычитание: $101 - 0,6 = 100,4$

4) Четвертое действие — умножение: $100,4 \cdot 5 = 502$

Ответ: 502

П.50 На уроке физкультуры надо было пробежать дистанцию 60 м. Максим и Алёша стартовали одновременно. Максим бежал со скоростью 6 м/с, а Алёша — 5,8 м/с. На каком расстоянии от финиша будет Алёша, когда Максим пробежит всю дистанцию?

П.50

M 6м/с

A 5.8м/с

60м

1) $60 : 6 = 10$(с) пробежал дистанцию Максим

2) $5.8 \cdot 10 = 58$(м) за 10с пробежал Алёша

3) $60 - 58 = 2$(м) от финиша

Ответ: 2м

Для того чтобы найти, на каком расстоянии от финиша будет Алёша, когда Максим пересечёт финишную черту, нужно выполнить следующие действия.

1. Найти время, за которое Максим пробежит всю дистанцию.
Дистанция $S = 60$ м, скорость Максима $v_М = 6$ м/с. Время движения $t$ можно найти по формуле $t = S/v$.
$t = \frac{60 \text{ м}}{6 \text{ м/с}} = 10$ с.
Таким образом, Максим финиширует через 10 секунд.

2. Найти расстояние, которое пробежит Алёша за это же время.
Поскольку мальчики стартовали одновременно, Алёша также бежал 10 секунд. Скорость Алёши $v_А = 5,8$ м/с. Расстояние $S_А$, которое он пробежал, находим по формуле $S = v \cdot t$.
$S_А = 5,8 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 58$ м.

3. Найти расстояние от Алёши до финиша.
В момент, когда Максим финишировал, Алёша пробежал 58 метров. Чтобы найти, сколько ему осталось до финиша, нужно из всей дистанции вычесть то расстояние, которое он уже преодолел.
$S_{ост} = S - S_А = 60 \text{ м} - 58 \text{ м} = 2$ м.

Ответ: Алёша будет на расстоянии 2 м от финиша.

П.51 Пешеход вышел из деревни и отправился к остановке со скоростью 0,08 км/мин. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист и через 10 мин догнал пешехода. С какой скоростью двигался велосипедист?

Для решения задачи нам нужно найти расстояние, которое прошел пешеход до того, как его догнал велосипедист. В момент встречи они оба преодолели одинаковое расстояние от точки старта. Зная это расстояние и время движения велосипедиста, мы сможем найти его скорость.

1. Найдем общее время, которое пешеход был в пути до момента встречи.

Пешеход шел 15 минут до выезда велосипедиста, а затем еще 10 минут, пока велосипедист его догонял. Таким образом, общее время движения пешехода составляет:

$t_{пешехода} = 15 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 25 \text{ мин}$

2. Найдем расстояние, которое прошел пешеход за это время.

Скорость пешехода по условию составляет $v_{пешехода} = 0,08 \text{ км/мин}$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Подставим значения для пешехода:

$S = 0,08 \frac{\text{км}}{\text{мин}} \cdot 25 \text{ мин} = 2 \text{ км}$

Следовательно, в момент встречи они находились на расстоянии 2 км от деревни.

3. Найдем скорость велосипедиста.

Велосипедист проехал то же самое расстояние (2 км), но затратил на это 10 минут. Чтобы найти его скорость, нужно разделить расстояние на время его движения:

$v_{велосипедиста} = \frac{S}{t_{велосипедиста}} = \frac{2 \text{ км}}{10 \text{ мин}} = 0,2 \text{ км/мин}$

Ответ: 0,2 км/мин.

П.52 От двух станций, расстояние между которыми 312,5 км, одновременно навстречу друг другу вышли товарный и пассажирский поезда и встретились через 2,5 ч. С какой скоростью двигались поезда, если скорость пассажирского поезда была в 1,5 раза больше скорости товарного поезда?

17.52

$X\text{км/ч}$$t = \mathrm{2,5}\text{ч}$$\mathrm{1,5}X\text{км/ч}$

Т П

$\mathrm{312,5}\text{км}$

Пусть$X\text{км/ч}$- скорость товарного поезда, тогда$\mathrm{1,5}X\text{км/ч}$- скорость пассажирского поезда. Зная, что поезда встретились через 2,5 ч и прошли расстояние 312,5 км, составим и решим уравнение, где$(X + \mathrm{1,5}X)\text{км/ч}$- скорость сближения поездов

1)$(X + \mathrm{1,5}X)·\mathrm{2,5} = \mathrm{312,5}$

$(1 + \mathrm{1,5})X·\mathrm{2,5} = \mathrm{312,5}$

$\mathrm{2,5}X = \mathrm{312,5} : \mathrm{2,5}$

$\mathrm{2,5}X = 125$$\begin{array}{cc}\hfill 3125& 25\hfill \\ \hfill - 25& \overline{125}\hfill \\ \hfill \text{——}& \\ \hfill 62& \\ \hfill - 50& \\ \hfill \text{——}& \\ \hfill 125& \\ \hfill - 125& \\ \hfill \text{———}& \\ \hfill 0& \end{array}$

$X = 125 : \mathrm{2,5}$

$X = 1250 : 25$$\begin{array}{cc}\hfill 1250& 25\hfill \\ \hfill - 125& \overline{50}\hfill \\ \hfill \text{———}& \\ \hfill 0& \end{array}$

$X = 50$

$50\text{км/ч}$- скорость товарного поезда

2)$50·\mathrm{1,5} = 75\text{(км/ч)}$- скорость пассажирского поезда

Ответ:$50\text{км/ч}$;$75\text{км/ч}$

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость товарного поезда равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость пассажирского поезда в 1,5 раза больше, следовательно, она составляет $1,5x$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + 1,5x = 2,5x$ км/ч.

Расстояние, которое проходят поезда до встречи, можно найти по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время. В данном случае $S = 312,5$ км, а $t = 2,5$ ч. Подставим известные значения в формулу, используя скорость сближения:

$(x + 1,5x) \cdot 2,5 = 312,5$

Решим полученное уравнение:

$2,5x \cdot 2,5 = 312,5$

$6,25x = 312,5$

$x = \frac{312,5}{6,25}$

$x = \frac{31250}{625}$

$x = 50$

Таким образом, скорость товарного поезда составляет 50 км/ч.

Теперь найдем скорость пассажирского поезда:

$1,5 \cdot x = 1,5 \cdot 50 = 75$ км/ч.

Ответ: скорость товарного поезда — 50 км/ч, скорость пассажирского поезда — 75 км/ч.

П.53 Из посёлка Горки в посёлок Дубки вышел турист. Через 2 ч после его выхода навстречу ему из посёлка Дубки выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 ч после выезда велосипедиста они встретились. Найдите скорость туриста, если расстояние между посёлками равно 56 км.

Для решения задачи найдем, какое расстояние проехал велосипедист и какое время был в пути турист до момента встречи.

1. Вычислим общее время, которое турист находился в пути.
Согласно условию, турист вышел на 2 часа раньше велосипедиста. Встреча произошла через 3 часа после выезда велосипедиста. Следовательно, общее время движения туриста до встречи составляет:
$t_{туриста} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Вычислим расстояние, которое проехал велосипедист.
Скорость велосипедиста известна и равна $12 \text{ км/ч}$, время его движения до встречи — $3 \text{ ч}$. Расстояние, которое он преодолел, равно:
$S_{велосипедиста} = v_{велосипедиста} \times t_{велосипедиста} = 12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$

3. Найдем расстояние, которое прошел турист.
Турист и велосипедист двигались навстречу друг другу. Общее расстояние между поселками равно $56 \text{ км}$. Это расстояние складывается из пути, пройденного туристом, и пути, пройденного велосипедистом. Чтобы найти расстояние, которое прошел турист, вычтем из общего расстояния путь велосипедиста:
$S_{туриста} = S_{общее} - S_{велосипедиста} = 56 \text{ км} - 36 \text{ км} = 20 \text{ км}$

4. Найдем скорость туриста.
Теперь известно, что турист за $5 \text{ часов}$ прошел $20 \text{ км}$. Чтобы найти его скорость, разделим пройденное им расстояние на время в пути:
$v_{туриста} = \frac{S_{туриста}}{t_{туриста}} = \frac{20 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$

Ответ: 4 км/ч.

П.54 Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два всадника, и через 1,2 ч расстояние между ними было 4 км. С какой скоростью двигались всадники, если известно, что скорость одного из них на 3,2 км/ч меньше скорости другого?

Пусть $x$ км/ч — скорость более медленного всадника. Тогда, согласно условию, скорость второго, более быстрого всадника, составляет $(x + 3.2)$ км/ч.

Всадники движутся навстречу друг другу. Скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их индивидуальных скоростей:$v_{сбл} = x + (x + 3.2) = 2x + 3.2$ км/ч.

Изначально расстояние между ними было 40 км. Через 1,2 часа оно сократилось до 4 км. Это означает, что за 1,2 часа всадники вместе проехали расстояние, равное разнице между начальным и конечным расстояниями:$S_{пройд} = 40 - 4 = 36$ км.

Пройденное расстояние также можно вычислить по формуле $S = v \times t$, где $v$ — это скорость сближения, а $t$ — время в пути. Используя эти данные, мы можем составить уравнение:$S_{пройд} = v_{сбл} \times t$$36 = (2x + 3.2) \times 1.2$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$. Для начала разделим обе части уравнения на 1,2:$2x + 3.2 = \frac{36}{1.2}$

Для удобства вычисления преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10:$2x + 3.2 = \frac{360}{12}$$2x + 3.2 = 30$

Далее, вычтем 3,2 из обеих частей уравнения:$2x = 30 - 3.2$$2x = 26.8$

Наконец, найдем $x$, разделив 26,8 на 2:$x = \frac{26.8}{2}$$x = 13.4$

Мы нашли скорость медленного всадника: 13,4 км/ч.Теперь найдем скорость быстрого всадника:$x + 3.2 = 13.4 + 3.2 = 16.6$ км/ч.

Ответ: скорость одного всадника 13,4 км/ч, а скорость другого — 16,6 км/ч.

П.55 Из города в противоположных направлениях выехали два автобуса — один со скоростью 56 км/ч, а другой со скоростью 64 км/ч. Первый выехал на час раньше второго. Через сколько времени после выезда первого автобуса расстояние между ними будет равно 296 км?

Для решения задачи обозначим искомое время, прошедшее с момента выезда первого автобуса, через переменную $t$ (в часах).

Дано:

• Скорость первого автобуса: $v_1 = 56$ км/ч.
• Скорость второго автобуса: $v_2 = 64$ км/ч.
• Первый автобус выехал на 1 час раньше второго.
• Итоговое расстояние между автобусами: $S_{общ} = 296$ км.

Время в пути первого автобуса равно $t$ часов. Так как второй автобус выехал на час позже, его время в пути будет $(t - 1)$ часов.

Расстояние, которое проехал каждый автобус, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$ (расстояние = скорость ? время):

• Расстояние, которое проехал первый автобус: $S_1 = v_1 \cdot t = 56t$ км.
• Расстояние, которое проехал второй автобус: $S_2 = v_2 \cdot (t - 1) = 64(t - 1)$ км.

Поскольку автобусы движутся в противоположных направлениях от одной и той же точки, расстояние между ними равно сумме расстояний, пройденных каждым из них:

$S_{общ} = S_1 + S_2$

Подставим известные значения и выражения в уравнение:

$296 = 56t + 64(t - 1)$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$296 = 56t + 64t - 64$

2. Сложим слагаемые, содержащие $t$:

$296 = 120t - 64$

3. Перенесем свободный член (-64) в левую часть уравнения, поменяв его знак:

$296 + 64 = 120t$

$360 = 120t$

4. Найдем $t$, разделив обе части на 120:

$t = \frac{360}{120}$

$t = 3$

Таким образом, с момента выезда первого автобуса пройдет 3 часа.

Проверим решение:
За 3 часа первый автобус проедет: $S_1 = 56 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 168$ км.
Второй автобус будет в пути $3 - 1 = 2$ часа и проедет: $S_2 = 64 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 128$ км.
Суммарное расстояние между ними составит: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 168 \text{ км} + 128 \text{ км} = 296$ км.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: через 3 часа после выезда первого автобуса расстояние между ними будет равно 296 км.

П.56 Катамаран 2,5 ч шёл вниз по реке, а затем повернул назад и двигался ещё 3,6 ч. Какое расстояние прошёл катамаран за это время, если его собственная скорость 14,5 км/ч, а скорость течения 2,8 км/ч?

Для того чтобы найти общее расстояние, пройденное катамараном, необходимо вычислить расстояние, которое он прошел вниз по реке, и расстояние, которое он прошел, двигаясь назад (против течения), а затем сложить эти два значения.

1. Вычисление скорости и расстояния по течению.

Когда катамаран движется вниз по реке (по течению), его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения.

Скорость по течению: $v_{по\;теч.} = v_{собств.} + v_{теч.}$

$v_{по\;теч.} = 14,5 \text{ км/ч} + 2,8 \text{ км/ч} = 17,3 \text{ км/ч}$

Теперь найдем расстояние, пройденное по течению за 2,5 часа:

$S_{по\;теч.} = v_{по\;теч.} \times t_{по\;теч.}$

$S_{по\;теч.} = 17,3 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 43,25 \text{ км}$

2. Вычисление скорости и расстояния против течения.

Когда катамаран движется назад (против течения), его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения.

Скорость против течения: $v_{против\;теч.} = v_{собств.} - v_{теч.}$

$v_{против\;теч.} = 14,5 \text{ км/ч} - 2,8 \text{ км/ч} = 11,7 \text{ км/ч}$

Теперь найдем расстояние, пройденное против течения за 3,6 часа:

$S_{против\;теч.} = v_{против\;теч.} \times t_{против\;теч.}$

$S_{против\;теч.} = 11,7 \text{ км/ч} \times 3,6 \text{ ч} = 42,12 \text{ км}$

3. Вычисление общего расстояния.

Общее расстояние - это сумма расстояний, пройденных по течению и против течения.

$S_{общ.} = S_{по\;теч.} + S_{против\;теч.}$

$S_{общ.} = 43,25 \text{ км} + 42,12 \text{ км} = 85,37 \text{ км}$

Ответ: 85,37 км.

П.57 Моторная лодка прошла по течению реки 126 км за 7 ч. Сколько времени ей потребовалось на обратный путь, если скорость течения 2 км/ч, а собственная скорость лодки постоянна?

Нахождение скорости лодки по течению реки

Сначала определим скорость моторной лодки по течению. Для этого разделим расстояние, которое она прошла, на время в пути.
Скорость по течению ($v_{по\;теч.}$) вычисляется по формуле: $v = S / t$, где $S = 126$ км, а $t = 7$ ч.
$v_{по\;теч.} = 126 / 7 = 18$ км/ч.

Определение собственной скорости лодки

Скорость по течению складывается из собственной скорости лодки ($v_{собств.}$) и скорости течения ($v_{теч.}$):
$v_{по\;теч.} = v_{собств.} + v_{теч.}$
Зная скорость по течению (18 км/ч) и скорость течения (2 км/ч), мы можем найти собственную скорость лодки:
$v_{собств.} = v_{по\;теч.} - v_{теч.} = 18 - 2 = 16$ км/ч.

Вычисление скорости лодки против течения

На обратном пути лодка движется против течения. Ее скорость в этом случае равна разности собственной скорости и скорости течения:
$v_{против\;теч.} = v_{собств.} - v_{теч.} = 16 - 2 = 14$ км/ч.

Расчет времени на обратный путь

Теперь, зная скорость лодки против течения и расстояние (которое не изменилось и равно 126 км), мы можем рассчитать время, которое потребуется на обратный путь ($t_{обратно}$):
$t_{обратно} = S / v_{против\;теч.} = 126 / 14 = 9$ ч.

Ответ: на обратный путь лодке потребовалось 9 часов.

П.58 Выразите:

а) в дециметрах: 8 см; 17 мм; 41 см; 244 мм; 3 м 4 см; 5 мм; 3 см; 9 мм;

б) в квадратных дециметрах: 5 см²; 13 см²; 136 см²; 500 мм²; 36 мм²;

в) в часах: 23 мин; 4 мин; 72 мин; 1 ч 36 мин; 2 ч 2 мин;

г) в килограммах: 5 г; 26 г; 360 г; 2380 г.

а) $1м = 10дм;1м = 100см$
$1дм = 10см;1см = \frac{1}{10}дм$
$1дм = 100мм;1мм = \frac{1}{100}дм$
$8см = 8 · \frac{1}{10}дм = \frac{8}{10}дм = 0,8дм$
$17мм = 17 · \frac{1}{100}дм = \frac{17}{100}дм = 0,17дм$
$41см = 41 · \frac{1}{10}дм = \frac{41}{10}дм = 4,1дм$
$244мм = 244 · \frac{1}{100}дм = \frac{244}{100}дм = 2,44дм$
$3м4см = 3м + 4см =$
$= 300см + 4см = 304см = 304 · \frac{1}{10}дм = \frac{304}{10}дм = 30,4дм$
$5мм = 5 · \frac{1}{100}дм = \frac{5}{100}дм = \frac{05}{100}дм = 0,05дм$
$3см = 3 · \frac{1}{10}дм = \frac{3}{10}дм = \frac{03}{10}дм = 0,3дм$
$9мм = 9 · \frac{1}{100}дм = \frac{9}{100}дм = \frac{09}{100}дм =$
$= 0,09дм$

б) $1дм = 10см;1дм{}^2 = 100см{}^2;1см{}^2 = \frac{1}{100}дм{}^2$
$1дм = 100мм;1дм{}^2 = 10\text{000}мм{}^2$
$1мм{}^2 = \frac{1}{10000}дм{}^2$
$5см{}^2 = 5 · \frac{1}{100}дм{}^2 = \frac{5}{100}дм{}^2 = 05100дм{}^2 = 0,05дм{}^2$
$13см{}^2 = 13 · \frac{1}{100}дм{}^2 = \frac{13}{100}дм{}^2 = 0,13дм{}^2$
$136см{}^2 = 136 · \frac{1}{100}дм{}^2 = \frac{136}{100}дм{}^2 = 1,36дм{}^2$
$500мм{}^2 = 500 · \frac{1}{10000}дм{}^2 = \frac{500}{10000}дм{}^2 =$
$= \frac{5 · 100}{100 · 100}дм{}^2 = \frac{5}{100}дм{}^2 = \frac{05}{100}дм{}^2 = 0,05дм{}^2$
$36мм{}^2 = 36 · \frac{1}{10000}дм{}^2 = \frac{36}{10000}дм{}^2 =$
$= \frac{0036}{10000}дм{}^2 = 0,0036дм{}^2$

в) $1ч = 60мин;1мин = \frac{1}{60}ч$
$23мин = 23 · \frac{1}{60}ч = \frac{23}{60}ч$
$4мин = 4 · \frac{1}{60}ч = \frac{4}{4 · 15}ч = \frac{1}{15}ч$
$72мин = 72 · \frac{1}{60}ч = \frac{72}{60}ч = \frac{12 · 6}{12 · 5}ч = \frac{6}{5}ч =$
$= 1\frac{1}{5}ч = 1ч + \frac{1}{5}ч = 1ч + \frac{1 · 2}{5 · 2}ч = 1ч + \frac{2}{10}ч = 1,2ч$
$1ч36мин = 1ч + 36мин = 1ч + \frac{36}{60}ч =$
$= 1ч + \frac{6 · 6}{6 · 10}ч = 1ч + \frac{6}{10}ч = 1ч + 0,6ч = 1,6ч$
$2ч1мин = 2ч + 1мин = 2ч + \frac{2}{60}ч = 2ч +$
$+ \frac{2 · 1}{2 · 30}ч = 2ч + \frac{1}{30}ч = 2\frac{1}{30}ч$

г) $1кг = 1000г;1г = \frac{1}{1000}кг$
$5г = \frac{5}{1000}кг = \frac{005}{1000}кг = 0,005кг$
$26г = \frac{26}{1000}кг = \frac{026}{1000}кг = 0,026кг$
$360г = \frac{360}{1000}кг = 0,360кг = 0,36кг$
$2380г = \frac{2380}{1000}кг = \frac{238 · 10}{100 · 10}кг =$
$= \frac{238}{100}кг = 2,38кг$

а) в дециметрах
Для перевода в дециметры (дм) воспользуемся соотношениями: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ (значит, $1 \text{ см} = 0.1 \text{ дм}$), $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$ (значит, $1 \text{ мм} = 0.01 \text{ дм}$) и $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
$8 \text{ см} = 8 \times 0.1 \text{ дм} = 0.8 \text{ дм}$
$17 \text{ мм} = 17 \times 0.01 \text{ дм} = 0.17 \text{ дм}$
$41 \text{ см} = 41 \times 0.1 \text{ дм} = 4.1 \text{ дм}$
$244 \text{ мм} = 244 \times 0.01 \text{ дм} = 2.44 \text{ дм}$
$3 \text{ м} \ 4 \text{ см} = (3 \times 10) \text{ дм} + (4 \times 0.1) \text{ дм} = 30 \text{ дм} + 0.4 \text{ дм} = 30.4 \text{ дм}$
$5 \text{ мм} = 5 \times 0.01 \text{ дм} = 0.05 \text{ дм}$
$3 \text{ см} \ 9 \text{ мм} = (3 \times 0.1) \text{ дм} + (9 \times 0.01) \text{ дм} = 0.3 \text{ дм} + 0.09 \text{ дм} = 0.39 \text{ дм}$
Ответ: $0.8 \text{ дм}; 0.17 \text{ дм}; 4.1 \text{ дм}; 2.44 \text{ дм}; 30.4 \text{ дм}; 0.05 \text{ дм}; 0.39 \text{ дм}.$

б) в квадратных дециметрах
Для перевода в квадратные дециметры (дм?) воспользуемся соотношениями: $1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$ (значит, $1 \text{ см}^2 = 0.01 \text{ дм}^2$) и $1 \text{ дм}^2 = (100 \text{ мм})^2 = 10000 \text{ мм}^2$ (значит, $1 \text{ мм}^2 = 0.0001 \text{ дм}^2$).
$5 \text{ см}^2 = 5 \times 0.01 \text{ дм}^2 = 0.05 \text{ дм}^2$
$13 \text{ см}^2 = 13 \times 0.01 \text{ дм}^2 = 0.13 \text{ дм}^2$
$136 \text{ см}^2 = 136 \times 0.01 \text{ дм}^2 = 1.36 \text{ дм}^2$
$500 \text{ мм}^2 = 500 \times 0.0001 \text{ дм}^2 = 0.05 \text{ дм}^2$
$36 \text{ мм}^2 = 36 \times 0.0001 \text{ дм}^2 = 0.0036 \text{ дм}^2$
Ответ: $0.05 \text{ дм}^2; 0.13 \text{ дм}^2; 1.36 \text{ дм}^2; 0.05 \text{ дм}^2; 0.0036 \text{ дм}^2.$

в) в часах
Для перевода в часы (ч) воспользуемся соотношением: $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$, значит $1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$.
$23 \text{ мин} = \frac{23}{60} \text{ ч}$
$4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$
$72 \text{ мин} = \frac{72}{60} \text{ ч} = 1 \frac{12}{60} \text{ ч} = 1 \frac{1}{5} \text{ ч} = 1.2 \text{ ч}$
$1 \text{ ч} \ 36 \text{ мин} = 1 \text{ ч} + \frac{36}{60} \text{ ч} = 1 \text{ ч} + \frac{3}{5} \text{ ч} = 1.6 \text{ ч}$
$2 \text{ ч} \ 2 \text{ мин} = 2 \text{ ч} + \frac{2}{60} \text{ ч} = 2 \text{ ч} + \frac{1}{30} \text{ ч} = 2\frac{1}{30} \text{ ч}$
Ответ: $\frac{23}{60} \text{ ч}; \frac{1}{15} \text{ ч}; 1.2 \text{ ч}; 1.6 \text{ ч}; 2\frac{1}{30} \text{ ч}.$

г) в килограммах
Для перевода в килограммы (кг) воспользуемся соотношением: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, значит $1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$.
$5 \text{ г} = 5 \times 0.001 \text{ кг} = 0.005 \text{ кг}$
$26 \text{ г} = 26 \times 0.001 \text{ кг} = 0.026 \text{ кг}$
$360 \text{ г} = 360 \times 0.001 \text{ кг} = 0.36 \text{ кг}$
$2380 \text{ г} = 2380 \times 0.001 \text{ кг} = 2.38 \text{ кг}$
Ответ: $0.005 \text{ кг}; 0.026 \text{ кг}; 0.36 \text{ кг}; 2.38 \text{ кг}.$

П.59 Самая длинная ночь в Петербурге длится 1085 мин. Выразите в часах продолжительность этой ночи. Какова продолжительность самого короткого дня в этом городе?

1) 1 ч = 60 мин

− 1085 | 60
60 | 18
−−−−−
485
480
−−−−−
5

2) $24 - 18\frac{1}{12} = 24 - \left(18 + \frac{1}{12}\right) = 24 - 18 - \frac{1}{12} =$

Ответ: $18\frac{1}{12}ч$; $5\frac{11}{12}ч$

Выразите в часах продолжительность этой ночи

Чтобы выразить продолжительность ночи, данную в минутах, в часах, нужно разделить количество минут на 60, так как в одном часе содержится 60 минут ($1 \text{ час} = 60 \text{ мин}$).

Выполним деление с остатком для 1085 минут:

$1085 \div 60 = 18$ с остатком $5$.

Это означает, что 1085 минут — это 18 полных часов и 5 минут. Математически это можно записать так: $1085 = 18 \times 60 + 5$.

Ответ: продолжительность самой длинной ночи составляет 18 часов 5 минут.

Какова продолжительность самого короткого дня в этом городе?

Самый короткий день в году соответствует самой длинной ночи. Сумма продолжительности дня и ночи всегда составляет 24 часа (сутки). Чтобы найти длительность самого короткого дня, необходимо из общей продолжительности суток вычесть длительность самой длинной ночи.

Сначала переведем продолжительность суток в минуты:

$24 \text{ часа} \times 60 \text{ минут/час} = 1440 \text{ минут}$.

Теперь вычтем из этого значения продолжительность самой длинной ночи, которая равна 1085 минут:

$1440 \text{ минут} - 1085 \text{ минут} = 355 \text{ минут}$.

Чтобы выразить полученное значение в часах и минутах, разделим 355 на 60:

$355 \div 60 = 5$ с остатком $55$.

Следовательно, продолжительность самого короткого дня составляет 5 часов 55 минут.

Ответ: продолжительность самого короткого дня составляет 5 часов 55 минут.

П.60 Стороны прямоугольника равны 3,98 см и 4,5 см. Найдите его площадь. Выразите её в квадратных дециметрах.

Найдите его площадь.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$.

По условию задачи, стороны прямоугольника равны $a = 3,98$ см и $b = 4,5$ см.

Подставим эти значения в формулу: $S = 3,98 \text{ см} \cdot 4,5 \text{ см} = 17,91 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника равна $17,91 \text{ см}^2$.

Выразите её в квадратных дециметрах.

Для перевода площади из квадратных сантиметров в квадратные дециметры воспользуемся соотношением между этими единицами измерения.

Известно, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

Следовательно, один квадратный дециметр равен: $1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.

Чтобы перевести площадь из см? в дм?, необходимо разделить её значение на 100: $17,91 \text{ см}^2 = \frac{17,91}{100} \text{ дм}^2 = 0,1791 \text{ дм}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника равна $0,1791 \text{ дм}^2$.