Страница 171, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Выполните действия:

а) $1\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} - 2\frac{1}{3}$

Так как знаменатели у всех дробей одинаковы (равны 3), мы можем выполнить действия отдельно для целых и для дробных частей.

Действия с целыми частями: $1 + 3 - 2 = 2$.

Действия с дробными частями: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2+1-1}{3} = \frac{2}{3}$.

Сложим полученные результаты: $2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: $2\frac{2}{3}$.

б) $2\frac{1}{6} + 3\frac{2}{3} + 4\frac{5}{6}$

Для выполнения сложения приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 это 6.

Преобразуем дробь $3\frac{2}{3}$ в дробь со знаменателем 6: $3\frac{2}{3} = 3\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 3\frac{4}{6}$.

Теперь сложим смешанные числа: $2\frac{1}{6} + 3\frac{4}{6} + 4\frac{5}{6}$.

Складываем целые части: $2 + 3 + 4 = 9$.

Складываем дробные части: $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1+4+5}{6} = \frac{10}{6}$.

Получили результат $9\frac{10}{6}$. Так как дробная часть $\frac{10}{6}$ — неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $\frac{10}{6} = 1\frac{4}{6}$.

Сократим дробную часть полученного числа: $1\frac{4}{6} = 1\frac{2}{3}$.

Добавим эту часть к целой: $9 + 1\frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$.

Ответ: $10\frac{2}{3}$.

в) $7\frac{5}{12} - 1\frac{5}{6} + 3\frac{1}{24}$

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю для 12, 6 и 24, который равен 24.

Преобразуем дроби: $7\frac{5}{12} = 7\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 7\frac{10}{24}$ и $1\frac{5}{6} = 1\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = 1\frac{20}{24}$.

Исходное выражение принимает вид: $7\frac{10}{24} - 1\frac{20}{24} + 3\frac{1}{24}$.

Сгруппируем и вычислим отдельно целые и дробные части.

Целые части: $7 - 1 + 3 = 9$.

Дробные части: $\frac{10}{24} - \frac{20}{24} + \frac{1}{24} = \frac{10 - 20 + 1}{24} = \frac{-9}{24}$.

Объединим результаты: $9 + (-\frac{9}{24}) = 9 - \frac{9}{24}$.

Выполним вычитание: $9 - \frac{9}{24} = 8\frac{24}{24} - \frac{9}{24} = 8\frac{15}{24}$.

Сократим дробную часть $\frac{15}{24}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель 3: $\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$.

Ответ: $8\frac{5}{8}$.

г) $9\frac{7}{18} - 6\frac{2}{36} + 11\frac{2}{9}$

Вначале упростим дробь во втором числе: $6\frac{2}{36} = 6\frac{2 \div 2}{36 \div 2} = 6\frac{1}{18}$.

Выражение примет вид: $9\frac{7}{18} - 6\frac{1}{18} + 11\frac{2}{9}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю 18. Для этого преобразуем последнее число: $11\frac{2}{9} = 11\frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 11\frac{4}{18}$.

Теперь выражение выглядит так: $9\frac{7}{18} - 6\frac{1}{18} + 11\frac{4}{18}$.

Выполним действия отдельно с целыми и дробными частями.

Целые части: $9 - 6 + 11 = 3 + 11 = 14$.

Дробные части: $\frac{7}{18} - \frac{1}{18} + \frac{4}{18} = \frac{7 - 1 + 4}{18} = \frac{10}{18}$.

Объединим результаты: $14\frac{10}{18}$.

Сократим дробную часть $\frac{10}{18}$ на 2: $\frac{10 \div 2}{18 \div 2} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $14\frac{5}{9}$.

2 Запишите в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:

а) Чтобы представить десятичную дробь 4,6 в виде смешанного числа, нужно выделить целую и дробную части. Целая часть равна 4. Дробная часть 0,6 соответствует дроби $\frac{6}{10}$, так как последняя цифра стоит в разряде десятых. Теперь сократим дробную часть, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$4,6 = 4\frac{6}{10} = 4\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = 4\frac{3}{5}$.

Ответ: $4\frac{3}{5}$.

б) В десятичной дроби 56,01 целая часть равна 56. Дробная часть 0,01 соответствует дроби $\frac{1}{100}$, так как последняя цифра стоит в разряде сотых. Эта дробь является несократимой, поскольку ее числитель равен 1.

$56,01 = 56\frac{1}{100}$.

Ответ: $56\frac{1}{100}$.

в) Целая часть числа 108,056 равна 108. Дробная часть 0,056 записывается как $\frac{56}{1000}$, так как последняя цифра стоит в разряде тысячных. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 56 и 1000 равен 8.

$108,056 = 108\frac{56}{1000} = 108\frac{56 \div 8}{1000 \div 8} = 108\frac{7}{125}$.

Ответ: $108\frac{7}{125}$.

г) Целая часть числа 19,45 равна 19. Дробная часть 0,45 записывается как $\frac{45}{100}$, так как последняя цифра стоит в разряде сотых. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5.

$19,45 = 19\frac{45}{100} = 19\frac{45 \div 5}{100 \div 5} = 19\frac{9}{20}$.

Ответ: $19\frac{9}{20}$.

д) Десятичная дробь 0,000006 не имеет целой части. Дробная часть содержит 6 знаков после запятой, поэтому ее можно записать как обыкновенную дробь со знаменателем 1 000 000: $\frac{6}{1000000}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$0,000006 = \frac{6}{1000000} = \frac{6 \div 2}{1000000 \div 2} = \frac{3}{500000}$.

Ответ: $\frac{3}{500000}$.

е) Целая часть числа 601,43021 равна 601. Дробная часть 0,43021 содержит 5 знаков после запятой, что соответствует дроби $\frac{43021}{100000}$. Проверим, можно ли сократить эту дробь. Простые делители знаменателя 100 000 - это 2 и 5. Числитель 43021 не делится ни на 2 (так как он нечетный), ни на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5). Следовательно, эта дробь несократимая.

$601,43021 = 601\frac{43021}{100000}$.

Ответ: $601\frac{43021}{100000}$.

3 Найдите значение выражения:

а) $(54,037 + 307,003) : 2 – 84,045$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем деление, а после — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках:

$54,037 + 307,003 = 361,04$

2. Результат разделим на 2:

$361,04 : 2 = 180,52$

3. Из полученного значения вычтем 84,045:

$180,52 - 84,045 = 180,520 - 84,045 = 96,475$

Ответ: $96,475$.

б) $985,738 + 5,0025 : 5 – 981,7384$

В этом выражении, согласно порядку действий, сначала выполняется деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним деление:

$5,0025 : 5 = 1,0005$

2. Теперь выполним сложение:

$985,738 + 1,0005 = 985,7380 + 1,0005 = 986,7385$

3. Выполним вычитание:

$986,7385 - 981,7384 = 5,0001$

Ответ: $5,0001$.

4 По формуле периметра прямоугольника P = 2 • (a + b) найдите:

а) Р, если а = 15,5, b = 21,5;

б) а, если Р = 40, b = 16,23;

в) b, если Р = 48, а = 1114.

а) По условию даны стороны прямоугольника $a = 15,5$ и $b = 21,5$. Для нахождения периметра $P$ подставим эти значения в формулу $P = 2 \cdot (a + b)$.
1. Сначала найдем сумму сторон в скобках:
$a + b = 15,5 + 21,5 = 37$
2. Затем умножим полученную сумму на 2:
$P = 2 \cdot 37 = 74$
Ответ: $P = 74$.

б) По условию даны периметр $P = 40$ и одна из сторон $b = 16,23$. Нам нужно найти сторону $a$.
1. Выразим из формулы $P = 2 \cdot (a + b)$ неизвестную сторону $a$. Для этого сначала разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = \frac{P}{2}$
2. Теперь выразим $a$:
$a = \frac{P}{2} - b$
3. Подставим известные значения $P$ и $b$ в полученную формулу:
$a = \frac{40}{2} - 16,23$
4. Выполним вычисления:
$a = 20 - 16,23 = 3,77$
Ответ: $a = 3,77$.

в) По условию даны периметр $P = 48$ и сторона $a = 11 \frac{1}{4}$. Нам нужно найти сторону $b$.
1. Аналогично предыдущему пункту, выразим сторону $b$ из формулы периметра:
$b = \frac{P}{2} - a$
2. Преобразуем смешанную дробь $11 \frac{1}{4}$ в десятичную для удобства вычислений:
$a = 11 \frac{1}{4} = 11,25$
3. Подставим известные значения $P$ и $a$ в формулу:
$b = \frac{48}{2} - 11,25$
4. Выполним вычисления:
$b = 24 - 11,25 = 12,75$
Ответ: $b = 12,75$.

5 Длина кабинета 6,3 м, ширина — 5,7 м. Найдите высоту кабинета, если его объём равен 107,73 м³.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда, так как кабинет имеет такую форму. Формула объёма:$V = l \cdot w \cdot h$,где $V$ — это объём, $l$ — длина, $w$ — ширина, а $h$ — высота.

В условии задачи даны следующие значения:

• Длина ($l$) = 6,3 м
• Ширина ($w$) = 5,7 м
• Объём ($V$) = 107,73 м?

Чтобы найти высоту ($h$), нам нужно преобразовать формулу объёма:$h = \frac{V}{l \cdot w}$

1. Сначала вычислим площадь основания кабинета, умножив длину на ширину:$S_{основания} = l \cdot w = 6.3 \text{ м} \cdot 5.7 \text{ м} = 35.91 \text{ м}^2$

2. Теперь, зная объём и площадь основания, мы можем найти высоту, разделив объём на площадь основания:$h = \frac{V}{S_{основания}} = \frac{107.73 \text{ м}^3}{35.91 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$

Ответ: высота кабинета равна 3 м.

6 В первый день заасфальтировали 429 км дороги, во второй — на 329 км больше.

а) Сколько километров дороги заасфальтировали во второй день?

б) Сколько километров дороги заасфальтировали за два дня?

а) Сколько километров дороги заасфальтировали во второй день?

Согласно условию, в первый день заасфальтировали $ \frac{4}{29} $ км дороги, а во второй день — на $ \frac{3}{29} $ км больше. Чтобы найти, сколько километров дороги заасфальтировали во второй день, нужно к длине участка, сделанного в первый день, прибавить $ \frac{3}{29} $ км. Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем их числители:

$ \frac{4}{29} + \frac{3}{29} = \frac{4+3}{29} = \frac{7}{29} $ (км).

Ответ: во второй день заасфальтировали $ \frac{7}{29} $ км дороги.

б) Сколько километров дороги заасфальтировали за два дня?

Чтобы найти общее расстояние, заасфальтированное за два дня, нужно сложить расстояние, которое заасфальтировали в первый день, и расстояние, которое заасфальтировали во второй день (найденное в пункте а).

Суммируем длины участков за первый и второй дни:

$ \frac{4}{29} + \frac{7}{29} = \frac{4+7}{29} = \frac{11}{29} $ (км).

Ответ: за два дня заасфальтировали $ \frac{11}{29} $ км дороги.