Страница 170, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Запишите дроби 317, 117, 1217, 1017, 217, 517, 917 в порядке:

а) возрастания;

б) убывания.

а) возрастания;

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, их нужно сравнить. Все данные дроби ($\frac{3}{17}$, $\frac{1}{17}$, $\frac{12}{17}$, $\frac{10}{17}$, $\frac{2}{17}$, $\frac{5}{17}$, $\frac{9}{17}$) имеют одинаковый знаменатель — 17.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей является та дробь, у которой больше числитель, и меньшей — та, у которой числитель меньше.

Сначала сравним числители данных дробей: 3, 1, 12, 10, 2, 5, 9.

Расположим эти числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему): $1 < 2 < 3 < 5 < 9 < 10 < 12$.

Теперь запишем дроби в соответствующем порядке: $\frac{1}{17}, \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, \frac{9}{17}, \frac{10}{17}, \frac{12}{17}$.

Ответ: $\frac{1}{17}, \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{5}{17}, \frac{9}{17}, \frac{10}{17}, \frac{12}{17}$.

б) убывания.

Чтобы расположить дроби в порядке убывания, нужно также сравнить их числители, так как знаменатели у всех дробей одинаковы.

Расположим числители (3, 1, 12, 10, 2, 5, 9) в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $12 > 10 > 9 > 5 > 3 > 2 > 1$.

Соответственно, дроби в порядке убывания будут записаны так: $\frac{12}{17}, \frac{10}{17}, \frac{9}{17}, \frac{5}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}, \frac{1}{17}$.

Ответ: $\frac{12}{17}, \frac{10}{17}, \frac{9}{17}, \frac{5}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}, \frac{1}{17}$.

2 Представьте в виде неправильной дроби числа:

a) $4\frac{5}{13} = \frac{4 · 13 + 5}{13} = \frac{52 + 5}{13} = \frac{57}{13}$

б) $2\frac{3}{25} = \frac{2 · 25 + 3}{25} = \frac{50 + 3}{25} = \frac{53}{25}$

в) $5\frac{1}{17} = \frac{5 · 17 + 1}{17} = \frac{85 + 1}{17} = \frac{86}{17}$

г) $8\frac{4}{125} = \frac{8 · 125 + 4}{125} = \frac{1000 + 4}{125} = \frac{1004}{125}$

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо целую часть умножить на знаменатель дробной части, а затем к полученному результату прибавить числитель дробной части. Это значение станет числителем новой, неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Общая формула преобразования смешанного числа $A \frac{b}{c}$ в неправильную дробь: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а)

Для числа $4 \frac{5}{13}$ целая часть равна 4, числитель – 5, а знаменатель – 13.

Выполним преобразование по формуле:

$4 \frac{5}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 5}{13} = \frac{52 + 5}{13} = \frac{57}{13}$

Ответ: $\frac{57}{13}$

б)

Для числа $2 \frac{3}{25}$ целая часть равна 2, числитель – 3, а знаменатель – 25.

Выполним преобразование по формуле:

$2 \frac{3}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 3}{25} = \frac{50 + 3}{25} = \frac{53}{25}$

Ответ: $\frac{53}{25}$

в)

Для числа $5 \frac{1}{17}$ целая часть равна 5, числитель – 1, а знаменатель – 17.

Выполним преобразование по формуле:

$5 \frac{1}{17} = \frac{5 \cdot 17 + 1}{17} = \frac{85 + 1}{17} = \frac{86}{17}$

Ответ: $\frac{86}{17}$

г)

Для числа $8 \frac{4}{125}$ целая часть равна 8, числитель – 4, а знаменатель – 125.

Выполним преобразование по формуле:

$8 \frac{4}{125} = \frac{8 \cdot 125 + 4}{125} = \frac{1000 + 4}{125} = \frac{1004}{125}$

Ответ: $\frac{1004}{125}$

3 Запишите:

а) все правильные дроби со знаменателем 4;

б) все неправильные дроби с числителем 5;

в) две дроби, большие 35, но меньшие 45.

а) все правильные дроби со знаменателем 4;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (верхнее число) меньше знаменателя (нижнее число). Так как знаменатель равен 4, числитель должен быть натуральным числом, которое меньше 4.

Возможные значения для числителя: 1, 2, 3.

Таким образом, искомые дроби:

$\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$.

б) все неправильные дроби с числителем 5;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Так как числитель равен 5, знаменатель должен быть натуральным числом, которое меньше или равно 5.

Возможные значения для знаменателя: 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, искомые дроби:

$\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}$

Ответ: $\frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5}$.

в) две дроби, большие $\frac{3}{5}$, но меньшие $\frac{4}{5}$.

Чтобы найти дроби, расположенные между $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$, приведем их к общему знаменателю, который будет больше исходного. Для этого умножим числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же число. Например, умножим на 3:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$

Теперь нам нужно найти дроби, которые находятся между $\frac{9}{15}$ и $\frac{12}{15}$. С одинаковыми знаменателями это сделать просто: нужно выбрать числители, которые больше 9, но меньше 12. Такими числителями являются 10 и 11.

Следовательно, две дроби, удовлетворяющие условию, это $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$.

Проверим: $\frac{9}{15} < \frac{10}{15} < \frac{12}{15}$ и $\frac{9}{15} < \frac{11}{15} < \frac{12}{15}$. Это верно. Значит, и исходное неравенство $\frac{3}{5} < \frac{10}{15} < \frac{4}{5}$ и $\frac{3}{5} < \frac{11}{15} < \frac{4}{5}$ тоже верно.

Ответ: $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$.

4 Выполните деление с остатком:

а) 34 851 на 56;

б) 85 302 на 13.

а) Чтобы разделить 34 851 на 56 с остатком, выполним деление в столбик.
1. Начнем деление с первых цифр делимого, которые образуют число большее или равное 56. Это число 348. Делим 348 на 56. Подбираем число, которое при умножении на 56 даст результат, наиболее близкий к 348, но не превышающий его. $56 \times 6 = 336$. Записываем 6 в частное. Находим остаток: $348 - 336 = 12$.
2. Сносим следующую цифру делимого (5) к остатку. Получаем число 125. Делим 125 на 56. $56 \times 2 = 112$. Записываем 2 в частное. Находим остаток: $125 - 112 = 13$.
3. Сносим последнюю цифру делимого (1) к остатку. Получаем число 131. Делим 131 на 56. $56 \times 2 = 112$. Записываем 2 в частное. Находим остаток: $131 - 112 = 19$.
Деление закончено. Неполное частное равно 622, а остаток 19. Остаток (19) меньше делителя (56), значит, деление выполнено верно.
Проверим: $622 \times 56 + 19 = 34832 + 19 = 34851$.
Ответ: $34851 : 56 = 622$ (ост. 19).

б) Чтобы разделить 85 302 на 13 с остатком, выполним деление в столбик.
1. Начнем деление с числа 85. Делим 85 на 13. $13 \times 6 = 78$. Записываем 6 в частное. Находим остаток: $85 - 78 = 7$.
2. Сносим следующую цифру (3). Получаем 73. Делим 73 на 13. $13 \times 5 = 65$. Записываем 5 в частное. Находим остаток: $73 - 65 = 8$.
3. Сносим следующую цифру (0). Получаем 80. Делим 80 на 13. $13 \times 6 = 78$. Записываем 6 в частное. Находим остаток: $80 - 78 = 2$.
4. Сносим последнюю цифру (2). Получаем 22. Делим 22 на 13. $13 \times 1 = 13$. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $22 - 13 = 9$.
Деление закончено. Неполное частное равно 6561, а остаток 9. Остаток (9) меньше делителя (13), значит, деление выполнено верно.
Проверим: $6561 \times 13 + 9 = 85293 + 9 = 85302$.
Ответ: $85302 : 13 = 6561$ (ост. 9).

5 Из натуральных чисел, больших 5, но меньших 23, выпишите:

а) чётные;

б) нечётные;

в) кратные числа 3;

г) кратные числа 10;

д) кратные числа 9;

е) кратные числа 5 и нечётные.

Для решения задачи сначала определим множество натуральных чисел, которые больше 5, но меньше 23. Это числа от 6 до 22 включительно: $S = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22\}$.

а) чётные;
Чётные числа — это натуральные числа, которые делятся на 2 без остатка. Из заданного диапазона чисел (от 6 до 22) выберем все чётные. Это числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8.
Подходящие числа: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
Ответ: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.

б) нечётные;
Нечётные числа — это натуральные числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Из заданного диапазона чисел (от 6 до 22) выберем все нечётные. Это числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7, 9.
Подходящие числа: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21.
Ответ: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21.

в) кратные числа 3;
Числа, кратные 3, — это числа, которые делятся на 3 без остатка. Выберем такие числа из нашего множества $S$.
$6 \div 3 = 2$
$9 \div 3 = 3$
$12 \div 3 = 4$
$15 \div 3 = 5$
$18 \div 3 = 6$
$21 \div 3 = 7$
Таким образом, искомые числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21.
Ответ: 6, 9, 12, 15, 18, 21.

г) кратные числа 10;
Числа, кратные 10, — это числа, которые делятся на 10 без остатка. Такие числа всегда оканчиваются на 0. В нашем диапазоне это:
10, 20.
Ответ: 10, 20.

д) кратные числа 9;
Числа, кратные 9, — это числа, которые делятся на 9 без остатка. В нашем диапазоне это:
$9 \div 9 = 1$
$18 \div 9 = 2$
Следующее число, кратное 9, это 27, оно выходит за рамки нашего диапазона.
Искомые числа: 9, 18.
Ответ: 9, 18.

е) кратные числа 5 и нечётные.
Сначала найдем все числа в диапазоне от 6 до 22, кратные 5. Это числа, оканчивающиеся на 0 или 5: 10, 15, 20.
Теперь из этого списка выберем только нечётные числа.
Число 10 — чётное, так как $10 \div 2 = 5$.
Число 15 — нечётное, так как при делении на 2 дает остаток 1.
Число 20 — чётное, так как $20 \div 2 = 10$.
Следовательно, подходит только одно число — 15.
Ответ: 15.

6 Какие точки на рисунке 14:

а) лежат в круге;

б) не лежат в круге;

в) лежат на окружности;

г) не лежат на окружности;

д) лежат на диаметре АВ?

а) Круг представляет собой часть плоскости, которая включает в себя как границу (окружность), так и всю область внутри нее. Следовательно, в круге лежат все точки, расположенные внутри и на его границе. На рисунке это точки A, B, C, D, E, O.
Ответ: A, B, C, D, E, O.

б) Не лежат в круге те точки, которые находятся за его пределами. На рисунке 14 видно, что точка F расположена вне круга.
Ответ: F.

в) Окружность — это линия, которая является границей круга. Точки лежат на окружности, если они находятся непосредственно на этой линии. На рисунке это точки A, B и D.
Ответ: A, B, D.

г) Не лежат на окружности все точки, которые не принадлежат этой линии, то есть находятся либо внутри круга, либо снаружи. Внутри круга, но не на окружности, находятся точки C, E, O. Снаружи круга находится точка F.
Ответ: C, E, O, F.

д) Диаметр AB — это отрезок, который соединяет две точки на окружности (A и B) и проходит через ее центр (O). На этом отрезке лежат его концы (A и B), центр (O) и точка C, которая расположена между центром и точкой B.
Ответ: A, B, C, O.

7 В вагоне поезда 54 места для пассажиров, 56 мест заняты.

а) Какая часть свободных мест в вагоне?

б) Сколько свободных мест осталось?

а) Какая часть свободных мест в вагоне?

Примем все места в вагоне за единицу (1). По условию задачи, занято $\frac{5}{6}$ всех мест. Чтобы найти, какая часть мест свободна, необходимо из целого (1) вычесть долю занятых мест.

Выполним вычисление:

$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

Таким образом, свободные места составляют $\frac{1}{6}$ часть всех мест в вагоне.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Сколько свободных мест осталось?

В вагоне всего 54 места. Из предыдущего пункта мы знаем, что доля свободных мест составляет $\frac{1}{6}$. Чтобы найти количество свободных мест, нужно общее количество мест умножить на эту долю.

Выполним вычисление:

$54 \cdot \frac{1}{6} = \frac{54}{6} = 9$ (мест)

Следовательно, в вагоне осталось 9 свободных мест.

Ответ: 9.