Страница 169, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

П.103 Для сбора денег больным детям было организовано 4 благотворительных концерта. Сколько денег собрали устроители, если в зале 32 ряда по 28 мест и все места были заняты, а билет стоил а р.?

Для того чтобы определить общую сумму денег, собранную устроителями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти общее количество мест в зале. Для этого умножим количество рядов на количество мест в каждом ряду.

$32 \text{ (ряда)} \times 28 \text{ (мест)} = 896 \text{ (мест)}$

2. Поскольку все места были заняты, количество проданных билетов на один концерт равно общему количеству мест в зале. Теперь можно рассчитать выручку с одного концерта, умножив количество билетов на цену одного билета.

$896 \times a = 896a \text{ (р.)}$

3. Всего было проведено 4 концерта. Чтобы найти итоговую сумму, нужно выручку с одного концерта умножить на количество концертов.

$896a \times 4 = 3584a \text{ (р.)}$

Ответ: устроители собрали $3584a$ р.

П.104 Сколько штук бруса с размерами 6 м, 0,2 м и 0,1 м нужно купить покупателю, если ему требуется 1 м³ древесины? Ответ округлите до целых.

Чтобы найти необходимое количество бруса, сначала вычислим объем одного бруса. Брус представляет собой прямоугольный параллелепипед, объем которого ($V$) находится по формуле произведения его длины ($l$), ширины ($w$) и высоты ($h$).

$V = l \cdot w \cdot h$

Подставим данные из условия задачи:

$V_{бруса} = 6 \text{ м} \cdot 0,2 \text{ м} \cdot 0,1 \text{ м} = 0,12 \text{ м}^3$

Далее, чтобы определить, сколько штук бруса потребуется для получения 1 м? древесины, разделим требуемый объем на объем одного бруса:

$N = \frac{V_{требуемый}}{V_{бруса}} = \frac{1 \text{ м}^3}{0,12 \text{ м}^3} \approx 8,333...$

Так как брус продается только целыми штуками, а покупателю необходимо получить не менее 1 м? древесины, полученное значение следует округлить в большую сторону до ближайшего целого числа. Если приобрести 8 штук бруса, то их суммарный объем составит $8 \cdot 0,12 = 0,96 \text{ м}^3$, что недостаточно. Поэтому покупателю необходимо приобрести 9 штук бруса.

Проверка: $9 \cdot 0,12 = 1,08 \text{ м}^3$, что больше или равно 1 м?.

Ответ: 9

П.105 Составьте выражение для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда, если его высота 18 см, ширина m см, а длина на 15 см больше ширины.

Для того чтобы составить выражение для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда, необходимо воспользоваться формулой объёма и данными из условия задачи.

Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины ($l$), ширины ($w$) и высоты ($h$):
$V = l \cdot w \cdot h$

Согласно условию задачи, определим каждое из измерений:
Высота: $h = 18$ см.
Ширина: $w = m$ см.
Длина на 15 см больше ширины, следовательно: $l = m + 15$ см.

Теперь подставим значения измерений в формулу объёма:
$V = (m + 15) \cdot m \cdot 18$

В математических выражениях принято записывать числовой множитель на первом месте. Перегруппируем множители для получения стандартного вида выражения:
$V = 18m(m + 15)$

Это и есть искомое выражение для нахождения объёма.

Ответ: $18m(m + 15)$.

П.106 Проведите отрезок АВ длиной 6 см. Постройте две точки, удалённые от его концов на 5 см.

Для решения этой геометрической задачи на построение нам понадобятся циркуль и линейка. Идея состоит в том, чтобы использовать определение окружности как множества точек, равноудаленных от центра.

Пошаговый алгоритм построения выглядит следующим образом:

1. С помощью линейки проводим отрезок $AB$, длина которого составляет 6 см.
2. Берем циркуль и с помощью линейки устанавливаем его раствор (радиус) равным 5 см.
3. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и чертим окружность (или достаточно большую дугу). Любая точка на этой окружности будет удалена от точки $A$ ровно на 5 см.
4. Не изменяя установленный на циркуле радиус, переносим острие циркуля в точку $B$ и чертим вторую окружность (или дугу) так, чтобы она пересекла первую. Любая точка на этой второй окружности будет удалена от точки $B$ ровно на 5 см.
5. В результате пересечения двух окружностей (или дуг) мы получим две точки. Обозначим их $C$ и $D$.

Эти точки $C$ и $D$ и являются искомыми. Для точки $C$ по построению выполняется условие $AC = 5$ см и $BC = 5$ см. Аналогично для точки $D$ выполняется условие $AD = 5$ см и $BD = 5$ см. Таким образом, обе точки $C$ и $D$ удалены от концов отрезка $AB$ на заданное расстояние в 5 см.

Ответ: Искомые две точки — это точки пересечения двух окружностей радиусом 5 см, центры которых находятся в концах отрезка $AB$ (точках $A$ и $B$).

П.107 Развивай внимание, а) Постарайтесь записать по порядку все числа, пропущенные в таблице (рис. 11) за 2 мин. Если вы записали 12—15 чисел, то внимание у вас развито хорошо. Если меньше 10, то нужно тренироваться, б) Сколько раз встречается пара чисел 4 и 9 в таблице (рис. 12)?

П.107

а) числа, пропущенные в таблице

5, 6, 8, 10, 14, 16, 17, 20, 22,

23, 28, 29, 34, 36, 37, 39

б) числа, пропущенные в таблице

3, 4, 7, 10, 13, 15, 22, 24, 27, 28,

30, 33, 34, 35, 38

в) В таблице 19 раз встречается число 9 и 11 раз встречается число 4. Значит, пара чисел 4 и 9 встречается 11 раз.

Ответ: 11 раз

а) Задание состоит в том, чтобы найти и записать по порядку все числа, пропущенные в «таблице (рис. 11)». На рисунке 11 представлены две таблицы («а» и «б»). Условие говорит о таблице в единственном числе, а также дает ориентир по количеству найденных чисел (12–15) для оценки уровня внимания. Если искать числа, отсутствующие одновременно в обеих таблицах (в диапазоне от 1 до 40), их окажется всего четыре (10, 22, 28, 34), что не соответствует ориентиру. Следовательно, задачу нужно решать для одной из таблиц. Так как сам пункт вопроса обозначен буквой «а», будем рассматривать таблицу «а».

Проанализировав числа в таблице «а», мы находим все числа от 1 до 40, которые в ней отсутствуют. Всего таких чисел 16, что соответствует критерию хорошего внимания, упомянутому в задании. Пропущенные числа в порядке возрастания: 5, 6, 8, 10, 14, 16, 17, 20, 22, 23, 28, 29, 34, 36, 37, 39.

Ответ: 5, 6, 8, 10, 14, 16, 17, 20, 22, 23, 28, 29, 34, 36, 37, 39.

б) Чтобы определить, сколько раз встречается пара чисел 4 и 9 в таблице на рисунке 12, необходимо найти все пары этих чисел, расположенных в соседних ячейках. Соседними считаются ячейки, примыкающие друг к другу по горизонтали, вертикали или по диагонали.

При систематическом анализе таблицы было найдено 7 горизонтальных пар, 3 вертикальные пары и 5 диагональных пар. Общее количество пар является их суммой: $7 \text{ (горизонтальных)} + 3 \text{ (вертикальных)} + 5 \text{ (диагональных)} = 15$.

Ответ: 15.

П.108 Развивай память. Посмотрите на картинку 1 мин (рис. 13), закройте её и нарисуйте эти отрезки так же.

П. 108

Задание не требует решения.

Выполняется самостоятельно.

а

Задача состоит в том, чтобы запомнить и воспроизвести узор из розовых отрезков на клетчатом поле. Для проверки или помощи в воспроизведении можно использовать словесное описание расположения отрезков. Представим поле как сетку узлов (точек) размером $12 \times 4$. Пронумеруем столбцы слева направо от 1 до 12, а ряды узлов — сверху вниз от 1 до 4.

Горизонтальные отрезки (соединяют узлы в одном ряду):
- В первом (верхнем) ряду: между узлами столбцов 3 и 4, 6 и 7, 8 и 9, 10 и 11.
- Во втором ряду: между узлами столбцов 1 и 2, 5 и 6, 8 и 9.
- В третьем ряду: между узлами столбцов 2 и 3, 6 и 7, 9 и 10.
- В четвертом (нижнем) ряду: между узлами столбцов 4 и 5, 7 и 8, 10 и 11.

Вертикальные отрезки (соединяют узлы в одном столбце):
- В столбце 1: между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 2: между 1-м и 2-м рядами, а также между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 4: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 5: между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 7: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 8: между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 10: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 11: между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 12: между 2-м и 3-м рядами.

Ответ: Правильно нарисованный узор "а" должен содержать 13 горизонтальных и 12 вертикальных отрезков, расположенных в точности так, как указано в описании выше.

б

Аналогично первому узору, для воспроизведения второго (зеленые отрезки) на сетке $12 \times 4$ узлов, необходимо запомнить и нарисовать следующее расположение отрезков.

Горизонтальные отрезки (соединяют узлы в одном ряду):
- В первом (верхнем) ряду: между узлами столбцов 1 и 2, 4 и 5, 6 и 7, 9 и 10, 11 и 12.
- Во втором ряду: между узлами столбцов 2 и 3, 5 и 6, 7 и 8.
- В третьем ряду: между узлами столбцов 1 и 2, 3 и 4, 7 и 8, 9 и 10.
- В четвертом (нижнем) ряду: между узлами столбцов 3 и 4, 5 и 6, 8 и 9, 11 и 12.

Вертикальные отрезки (соединяют узлы в одном столбце):
- В столбце 2: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 4: между 1-м и 2-м рядами.
- В столбце 6: между 1-м и 2-м рядами.
- В столбце 8: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 9: между 3-м и 4-м рядами.
- В столбце 11: между 2-м и 3-м рядами.
- В столбце 12: между 3-м и 4-м рядами.

Ответ: Правильно нарисованный узор "б" должен содержать 16 горизонтальных и 7 вертикальных отрезков, расположенных в точности так, как указано в описании выше.

П.109 Развивай воображение. Расставьте мысленно в 16 клетках квадрата числа по порядку так: в первой строке от 1 до 4, во второй — от 5 до 8 и т. д. Вообразите этот квадрат и подсчитайте сумму чисел:

а) в первом столбце;

б) в третьем столбце;

в) по диагоналям квадрата.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырёхугольника, называют диагональю.

Для решения задачи необходимо мысленно составить квадрат размером 4x4 клетки и заполнить его числами от 1 до 16 в порядке возрастания, двигаясь слева направо по строкам.

Первая строка будет содержать числа: 1, 2, 3, 4.
Вторая строка: 5, 6, 7, 8.
Третья строка: 9, 10, 11, 12.
Четвертая строка: 13, 14, 15, 16.

В виде таблицы этот квадрат выглядит следующим образом:

$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix} $

Теперь, основываясь на этой таблице, подсчитаем требуемые суммы.

а) в первом столбце

Первый столбец содержит числа 1, 5, 9, 13. Найдем их сумму:
$1 + 5 + 9 + 13 = 28$
Ответ: 28

б) в третьем столбце

Третий столбец содержит числа 3, 7, 11, 15. Найдем их сумму:
$3 + 7 + 11 + 15 = 36$
Ответ: 36

в) по диагоналям квадрата

В квадрате две диагонали. Посчитаем сумму чисел для каждой из них.
Первая диагональ (главная, из левого верхнего угла в правый нижний) состоит из чисел 1, 6, 11, 16. Их сумма:
$1 + 6 + 11 + 16 = 34$
Вторая диагональ (побочная, из правого верхнего угла в левый нижний) состоит из чисел 4, 7, 10, 13. Их сумма:
$4 + 7 + 10 + 13 = 34$
Сумма чисел на каждой из диагоналей равна 34.
Ответ: 34 и 34

П.110 Развивай воображение. Куб, окрашенный в синий цвет, разрезали на 64 равных маленьких кубика. Сколько среди них кубиков, у которых окрашено:

а) три грани;

б) две грани;

в) одна грань?

Для решения задачи сначала определим, из скольких маленьких кубиков состоит ребро большого куба. Поскольку большой куб разрезали на 64 равных маленьких кубика, то ребро большого куба состоит из $\sqrt[3]{64} = 4$ маленьких кубиков. Таким образом, мы имеем дело с кубом, состоящим из $4 \times 4 \times 4$ маленьких кубиков.

а) три грани; Кубики, у которых окрашено три грани, могут находиться только в вершинах (углах) большого куба. У любого куба 8 вершин, независимо от его размера. Следовательно, количество кубиков с тремя окрашенными гранями равно 8.
Ответ: 8 кубиков.

б) две грани; Кубики с двумя окрашенными гранями расположены на ребрах большого куба, но не в вершинах. У куба 12 ребер. На каждом ребре большого куба уложено 4 маленьких кубика. Два из них являются угловыми (у них окрашено 3 грани), а остальные, которые находятся между ними, имеют по две окрашенные грани. Количество таких кубиков на одном ребре равно $4 - 2 = 2$. Так как у куба 12 ребер, общее число кубиков с двумя окрашенными гранями составляет $12 \times (4-2) = 12 \times 2 = 24$.
Ответ: 24 кубика.

в) одна грань? Кубики с одной окрашенной гранью — это те, что расположены в центре каждой из шести граней большого куба. Каждая грань большого куба представляет собой квадрат со стороной в 4 маленьких кубика (всего $4 \times 4 = 16$ кубиков на поверхности грани). Кубики, имеющие только одну окрашенную грань, образуют на каждой грани внутренний квадрат со стороной $(4-2)$ кубика. Таким образом, на каждой грани находится $(4-2) \times (4-2) = 2 \times 2 = 4$ кубика с одной окрашенной стороной. Поскольку у куба 6 граней, общее количество таких кубиков равно $6 \times 4 = 24$.
Ответ: 24 кубика.

П.111 Развивай мышление. На поездах, курсирующих по Московским центральным диаметрам, можно провозить предметы бесплатно, если сумма их трёх измерений не превышает 180 см. При каких трёх измерениях коробки её объём будет наибольшим?

Обозначим три измерения коробки (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, сумма этих измерений не должна превышать 180 см, то есть $a + b + c \le 180$. Объём коробки $V$ вычисляется как произведение её измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Чтобы найти максимальный объём, необходимо использовать максимально допустимую сумму измерений. Таким образом, мы решаем задачу нахождения максимума функции $V(a, b, c) = abc$ при условии $a + b + c = 180$, где $a, b, c$ — положительные числа.

Эту задачу можно решить с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для трёх положительных чисел оно гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа равны: $a = b = c$.

Подставим в неравенство наши условия: сумму $a + b + c = 180$ и объём $V = abc$. $\frac{180}{3} \ge \sqrt[3]{V}$ $60 \ge \sqrt[3]{V}$

Из этого неравенства следует, что максимальное значение объёма $V$ достигается при условии равенства. Это происходит, когда $a = b = c$. Возведя обе части в куб, находим максимальный объём: $V_{max} = 60^3 = 216000$ см³.

Теперь найдём сами измерения, при которых достигается этот максимум. Так как $a = b = c$, подставим это в уравнение для суммы: $a + a + a = 180$ $3a = 180$ $a = 60$ см.

Следовательно, для получения наибольшего объёма все три измерения коробки должны быть равны 60 см. Это означает, что коробка должна иметь форму куба.

Ответ: наибольший объём будет у коробки с измерениями 60 см, 60 см и 60 см.