Номер 111, страница 169, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Задачи. Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 111, страница 169.

П.111 Развивай мышление. На поездах, курсирующих по Московским центральным диаметрам, можно провозить предметы бесплатно, если сумма их трёх измерений не превышает 180 см. При каких трёх измерениях коробки её объём будет наибольшим?

Обозначим три измерения коробки (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, сумма этих измерений не должна превышать 180 см, то есть $a + b + c \le 180$. Объём коробки $V$ вычисляется как произведение её измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Чтобы найти максимальный объём, необходимо использовать максимально допустимую сумму измерений. Таким образом, мы решаем задачу нахождения максимума функции $V(a, b, c) = abc$ при условии $a + b + c = 180$, где $a, b, c$ — положительные числа.

Эту задачу можно решить с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для трёх положительных чисел оно гласит, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа равны: $a = b = c$.

Подставим в неравенство наши условия: сумму $a + b + c = 180$ и объём $V = abc$. $\frac{180}{3} \ge \sqrt[3]{V}$ $60 \ge \sqrt[3]{V}$

Из этого неравенства следует, что максимальное значение объёма $V$ достигается при условии равенства. Это происходит, когда $a = b = c$. Возведя обе части в куб, находим максимальный объём: $V_{max} = 60^3 = 216000$ см³.

Теперь найдём сами измерения, при которых достигается этот максимум. Так как $a = b = c$, подставим это в уравнение для суммы: $a + a + a = 180$ $3a = 180$ $a = 60$ см.

Следовательно, для получения наибольшего объёма все три измерения коробки должны быть равны 60 см. Это означает, что коробка должна иметь форму куба.

Ответ: наибольший объём будет у коробки с измерениями 60 см, 60 см и 60 см.