Страница 160, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

В.15 Какие свойства (законы) сложения и умножения вы знаете? Сформулируйте их.

Основными свойствами (законами) сложения и умножения являются:

Переместительное свойство сложения (коммутативность)

Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых их сумма не изменяется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a + b = b + a$

Ответ: Результат сложения не зависит от порядка слагаемых, что выражается формулой $a + b = b + a$.

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность)

Это свойство означает, что при сложении трех или более чисел их можно группировать в любом порядке, результат от этого не изменится. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ответ: Порядок группировки слагаемых не влияет на их сумму, что выражается формулой $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Переместительное свойство умножения (коммутативность)

Это свойство гласит, что от перемены мест множителей их произведение не изменяется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ: Результат умножения не зависит от порядка множителей, что выражается формулой $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность)

Это свойство означает, что при умножении трех или более чисел их можно группировать в любом порядке, результат от этого не изменится. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Ответ: Порядок группировки множителей не влияет на их произведение, что выражается формулой $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивность)

Это свойство связывает операции умножения и сложения. Чтобы умножить число на сумму двух других чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ответ: Умножение на сумму можно "распределить" на каждое слагаемое, что выражается формулой $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Также существуют важные свойства, связанные с особыми числами — нулем и единицей:

Свойство сложения с нулем

Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Ноль называют нейтральным элементом по сложению.

$a + 0 = 0 + a = a$

Ответ: Сумма любого числа и нуля равна этому же числу: $a + 0 = a$.

Свойство умножения на единицу

Умножение любого числа на единицу не изменяет это число. Единицу называют нейтральным элементом по умножению.

$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

Ответ: Произведение любого числа и единицы равно этому же числу: $a \cdot 1 = a$.

Свойство умножения на ноль

Умножение любого числа на ноль в результате всегда даёт ноль.

$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Ответ: Произведение любого числа и нуля всегда равно нулю: $a \cdot 0 = 0$.

В.16 Какое свойство называют распределительным законом умножения относительно сложения; вычитания?

Распределительным законом (или свойством) умножения называют правило, которое связывает операции умножения и сложения (или вычитания). Этот закон позволяет "распределить" операцию умножения на каждый член в скобках. Рассмотрим его для сложения и вычитания.

Распределительный закон умножения относительно сложения

Словесная формулировка: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В виде формулы это записывается так:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Это свойство также верно, если множитель стоит после скобок:
$(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Пример:
Проверим равенство на числах. Пусть $a = 5, b = 3, c = 4$.
Левая часть: $5 \cdot (3 + 4) = 5 \cdot 7 = 35$.
Правая часть: $5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 15 + 20 = 35$.
Результаты совпадают, значит, свойство выполняется.

Ответ: Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что произведение числа и суммы двух других чисел равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Распределительный закон умножения относительно вычитания

Словесная формулировка: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

В виде формулы это записывается так:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Это свойство также верно, если множитель стоит после скобок:
$(b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a$

Пример:
Проверим равенство на числах. Пусть $a = 6, b = 10, c = 4$.
Левая часть: $6 \cdot (10 - 4) = 6 \cdot 6 = 36$.
Правая часть: $6 \cdot 10 - 6 \cdot 4 = 60 - 24 = 36$.
Результаты совпадают, что подтверждает верность свойства.

Ответ: Распределительный закон умножения относительно вычитания гласит, что произведение числа и разности двух других чисел равно разности произведений этого числа на уменьшаемое и на вычитаемое: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

В.17 Какое число называют чётным; нечётным?

Чётным

Чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело). Это означает, что число можно разделить на две равные целые части.
Общая формула для любого чётного числа n выглядит так: $n = 2k$ где k — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), то есть $k$ может быть ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Примеры чётных чисел: -10, -4, 0, 2, 8, 126.
Простой признак для определения чётности натурального числа — его последняя цифра. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то оно является чётным.

Ответ: Чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка.

Нечётным

Нечётным называют целое число, которое не делится на 2 без остатка. При делении на 2 такое число всегда даёт в остатке 1.
Общая формула для любого нечётного числа n выглядит так: $n = 2k + 1$ где k — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), то есть $k$ может быть ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Примеры нечётных чисел: -11, -3, 1, 5, 19, 127.
Простой признак для определения нечётности натурального числа — его последняя цифра. Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7 или 9, то оно является нечётным.

Ответ: Нечётным называют целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1.

В.18 Какое число называют делителем данного числа?

Какое число называют делителем данного числа?

Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число $b$, на которое число $a$ делится без остатка (или, как говорят, нацело).

Это значит, что если мы разделим число $a$ на его делитель $b$, то в результате получится целое число $c$, а остаток от деления будет равен нулю. Это можно выразить следующей формулой:
$a = b \cdot c$

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Делители числа 12.
Чтобы найти все делители числа 12, нужно проверить, на какие натуральные числа оно делится без остатка.
$12 : 1 = 12$
$12 : 2 = 6$
$12 : 3 = 4$
$12 : 4 = 3$
$12 : 6 = 2$
$12 : 12 = 1$
Таким образом, делителями числа 12 являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 5, например, не является делителем 12, так как $12 : 5 = 2.4$ (деление с остатком).

Пример 2: Делители простого числа 7.
Простое число — это число, у которого есть только два делителя: 1 и само это число.
Делителями числа 7 являются только 1 и 7.

Основные свойства делителей:
- Число 1 является делителем любого натурального числа.
- Любое натуральное число является делителем самого себя.

Ответ: Делителем данного числа называют число, на которое данное число делится без остатка.

В.19 Что такое кратное натурального числа?

Кратным натурального числа `$a$` называется любое натуральное число `$b$`, которое делится на `$a$` без остатка.

Это означает, что существует такое натуральное число `$k$` (то есть $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$), что выполняется следующее равенство:
`$b = a \cdot k$`
Например, число 18 является кратным числа 6, потому что существует натуральное число 3, такое что `$18 = 6 \cdot 3$`. А вот число 20 не является кратным числа 6, так как нет такого натурального числа `$k$`, для которого `$20 = 6 \cdot k$`.

Чтобы найти все кратные для какого-либо числа, нужно последовательно умножать это число на все натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности.
Например, ряд кратных для числа 8 выглядит так:
`$8 \cdot 1 = 8$`
`$8 \cdot 2 = 16$`
`$8 \cdot 3 = 24$`
`$8 \cdot 4 = 32$`
`...`
Таким образом, числа 8, 16, 24, 32 и так далее являются кратными числу 8.

Ключевые свойства кратных:
1. Любое натуральное число `$a$` является своим наименьшим кратным, так как `$a = a \cdot 1$`.
2. Множество кратных любого натурального числа является бесконечным.
3. Наибольшего кратного для натурального числа не существует.

Ответ: Кратное натурального числа `a` — это натуральное число, которое делится на `a` нацело (без остатка).

В.20 Признаки делимости на какие числа вы знаете? Сформулируйте их.

Признаки делимости — это правила, которые позволяют быстро определить, делится ли одно число на другое без остатка, не выполняя при этом саму операцию деления. Вот основные из них:

Признак делимости на 2
Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра — четная (0, 2, 4, 6, 8). Такие числа называются четными.
Например, число 13576 оканчивается на 6 (четная цифра), поэтому оно делится на 2. Число 24681 оканчивается на 1 (нечетная цифра), поэтому оно не делится на 2.
Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 без остатка, если сумма всех его цифр делится на 3.
Например, проверим число 489. Найдем сумму его цифр: $4 + 8 + 9 = 21$. Так как 21 делится на 3, то и число 489 делится на 3. ($489 : 3 = 163$)
Другой пример: число 1342. Сумма цифр: $1 + 3 + 4 + 2 = 10$. 10 не делится на 3, значит, и 1342 не делится на 3.
Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 без остатка, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Также на 4 делятся все числа, оканчивающиеся на два нуля (00).
Например, число 57832. Две последние цифры образуют число 32. Так как 32 делится на 4 ($32 : 4 = 8$), то и 57832 делится на 4.
Число 12345. Две последние цифры образуют число 45. 45 не делится на 4, значит, и 12345 не делится на 4.
Ответ: Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра 0 или 5.
Например, числа 120, 345, 1000 делятся на 5. Числа 551, 108 не делятся на 5.
Ответ: Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6
Число делится на 6 без остатка, если оно одновременно делится и на 2, и на 3. То есть, оно должно быть четным, и сумма его цифр должна делиться на 3.
Например, число 738. Оно четное (оканчивается на 8). Сумма его цифр $7 + 3 + 8 = 18$. 18 делится на 3. Следовательно, 738 делится на 6 ($738 : 6 = 123$).
Число 524. Оно четное, но сумма его цифр $5 + 2 + 4 = 11$ не делится на 3, поэтому 524 не делится на 6.
Ответ: Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

Признак делимости на 8
Число делится на 8 без остатка, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Также на 8 делятся все числа, оканчивающиеся на три нуля (000).
Например, рассмотрим число 12512. Три последние цифры образуют число 512. Так как $512 : 8 = 64$, то и 12512 делится на 8.
Рассмотрим число 76543. Три последние цифры образуют число 543. 543 не делится на 8 без остатка, значит, и 76543 не делится на 8.
Ответ: Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.
Например, для числа 648 сумма цифр равна $6 + 4 + 8 = 18$. 18 делится на 9, значит, и 648 делится на 9 ($648 : 9 = 72$).
Для числа 911 сумма цифр равна $9 + 1 + 1 = 11$. 11 не делится на 9, значит, и 911 не делится на 9.
Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0.
Например, 120, 2500, 3450 делятся на 10. Число 101 не делится на 10.
Ответ: Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 без остатка, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах (считая справа налево), и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 (включая 0).
Например, число 15246. Сумма цифр на нечетных местах (первая, третья, пятая): $6 + 2 + 1 = 9$. Сумма цифр на четных местах (вторая, четвертая): $4 + 5 = 9$. Разность сумм: $9 - 9 = 0$. 0 делится на 11, значит, и 15246 делится на 11 ($15246 : 11 = 1386$).
Ответ: Число делится на 11, если разность суммы цифр на нечетных позициях и суммы цифр на четных позициях делится на 11.

Признак делимости на 25
Число делится на 25 без остатка, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25. То есть число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.
Например, числа 1300, 5225, 9850, 4675 делятся на 25. Число 3465 не делится на 25, так как 65 не делится на 25.
Ответ: Число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.

В.21 Что значит разделить с остатком одно число на другое?

Разделить с остатком натуральное число a (делимое) на натуральное число b (делитель) — это значит найти такие два целых неотрицательных числа q (неполное частное) и r (остаток), для которых выполняются два условия:
1. Равенство: $a = b \cdot q + r$.
2. Неравенство для остатка: $0 \le r < b$.

Простыми словами, это значит, что мы представляем делимое a в виде суммы. Первое слагаемое — это максимально возможное число, кратное делителю b, но не превышающее a. Второе слагаемое — это то, что "осталось", и этот остаток r всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя b. Если бы остаток был равен или больше делителя, это означало бы, что деление выполнено не до конца, так как делитель можно было бы "вместить" еще раз, увеличив частное q.

Пример.
Разделим число 23 на 5 с остатком.
Здесь делимое $a = 23$, делитель $b = 5$.
- Находим, сколько полных раз число 5 содержится в 23. Это 4 раза ($5 \cdot 4 = 20$). Значит, неполное частное $q = 4$.
- Находим остаток: $r = 23 - (5 \cdot 4) = 23 - 20 = 3$.
- Проверяем, выполняется ли ключевое условие для остатка: $0 \le 3 < 5$. Условие выполнено.
Таким образом, мы представили число 23 в виде: $23 = 5 \cdot 4 + 3$.

Ответ: Разделить число a на число b с остатком — это значит найти такие числа q (неполное частное) и r (остаток), для которых выполняется равенство $a = b \cdot q + r$, причём остаток r должен удовлетворять условию $0 \le r < b$.

В.22 Как найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток?

Чтобы найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток, необходимо воспользоваться основным правилом деления с остатком. Это правило можно выразить словесно и в виде математической формулы.

Словесное правило: чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

Это правило можно записать в виде формулы. Для этого введем обозначения:

• $a$ — делимое (искомое число);
• $b$ — делитель;
• $q$ — неполное частное;
• $r$ — остаток.

Формула для нахождения делимого ($a$) выглядит следующим образом:

$a = b \cdot q + r$

Важно помнить, что остаток ($r$) всегда должен быть меньше делителя ($b$) и не может быть отрицательным, то есть должно выполняться условие: $0 \le r < b$.

Пример:

Найти делимое, если делитель равен 8, неполное частное — 15, а остаток — 3.

Воспользуемся формулой $a = b \cdot q + r$:

1. Сначала умножим делитель на неполное частное:
$8 \cdot 15 = 120$

2. Затем к полученному произведению прибавим остаток:
$120 + 3 = 123$

Таким образом, искомое делимое равно 123. Можно выполнить проверку: $123 \div 8 = 15$ (ост. 3).

Ответ: Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

В.23 Что такое обыкновенная дробь? Что выражает её знаменатель; числитель?

Что такое обыкновенная дробь?

Обыкновенная дробь — это форма записи числа, которая представляет собой одну или несколько равных частей целого. Дробь записывается с помощью двух чисел, разделенных горизонтальной или косой чертой. Формат записи: $\frac{m}{n}$ или $m/n$.

Число, написанное над чертой (или слева от нее), называется числителем. Число под чертой (или справа от нее) называется знаменателем. Дробная черта, по сути, является знаком деления. Поэтому дробь $\frac{m}{n}$ также представляет собой результат деления числа $m$ на число $n$. В обыкновенных дробях числитель ($m$) — это целое число, а знаменатель ($n$) — натуральное число (то есть целое положительное).

Например, если пирог разрезать на 8 равных кусков и взять 5 из них, то эта часть пирога будет выражаться дробью $\frac{5}{8}$.

Ответ: Обыкновенная дробь — это запись числа в виде $\frac{m}{n}$ (или $m/n$), где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Дробь обозначает часть от целого или результат деления числа $m$ на число $n$.

Что выражает её знаменатель, числитель?

В обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$ и числитель, и знаменатель имеют свое определенное значение.

Знаменатель (число $n$, стоящее под дробной чертой) показывает, на сколько равных частей было разделено целое. Он отвечает на вопрос «На сколько всего частей разделили?». Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Например, в дроби $\frac{7}{10}$ знаменатель 10 означает, что целое было разделено на 10 равных долей.

Числитель (число $m$, стоящее над дробной чертой) показывает, сколько таких равных частей было взято. Он отвечает на вопрос «Сколько частей взяли?». В той же дроби $\frac{7}{10}$ числитель 7 означает, что мы взяли 7 из 10 равных долей.

Таким образом, если представить себе торт, разрезанный на куски, то знаменатель — это общее количество кусков, а числитель — количество кусков, которые лежат у вас на тарелке.

Ответ: Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель показывает, сколько таких частей было взято.

В.24 Какая дробь называется правильной; неправильной?

Правильной называется обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой). Если представить дробь в виде $ \frac{a}{b} $, то для правильной дроби должно выполняться условие $ a < b $. Значение правильной дроби всегда меньше 1.
Примеры правильных дробей: $ \frac{2}{5} $, $ \frac{1}{100} $, $ \frac{7}{8} $.
Ответ:

Неправильной называется обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для дроби вида $ \frac{a}{b} $ это означает, что выполняется условие $ a \ge b $. Значение неправильной дроби всегда больше или равно 1. Неправильную дробь можно представить в виде смешанного или целого числа.
Примеры неправильных дробей: $ \frac{5}{3} $, $ \frac{12}{12} $, $ \frac{20}{7} $.
Ответ:

В.25 Как сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями?

В.25 Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители. Правило очень простое: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и, соответственно, меньше та, у которой числитель меньше.

Это можно записать в общем виде. Пусть даны две дроби $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $, где $c$ — их общий знаменатель ($c \ne 0$).

• Если числитель $ a > b $, то и дробь $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $.
• Если числитель $ a < b $, то и дробь $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $.
• Если числители равны, то есть $ a = b $, то и дроби равны: $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $.

Пример.

Сравним дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{7}{8} $.

1. Проверяем знаменатели. Они одинаковы и равны 8. Это значит, что некое целое (например, пицца) было разделено на 8 равных долей.

2. Сравниваем числители. Числитель первой дроби — 3, второй — 7. Сравниваем эти числа: $ 3 < 7 $.

3. Делаем вывод. Поскольку числитель 3 меньше числителя 7, то и первая дробь меньше второй. Записываем результат: $ \frac{3}{8} < \frac{7}{8} $. Это логично: 3 куска пиццы — это меньше, чем 7 таких же кусков.

Ответ: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

В.26 Как найти целую и дробную части неправильной дроби? Что такое смешанная дробь (смешанное число)?

Как найти целую и дробную части неправильной дроби?
Чтобы найти целую и дробную части неправильной дроби, ее нужно преобразовать в смешанное число. Для этого необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком.

Алгоритм действий следующий:
1. Разделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель.
2. Полученное неполное частное (результат целочисленного деления) будет целой частью.
3. Остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель дробной части останется тем же, что и у исходной дроби.

Пример:
Выделим целую и дробную части из неправильной дроби $ \frac{23}{4} $.
1. Делим 23 на 4 с остатком:
$ 23 \div 4 = 5 $ (остаток $ 3 $)
2. Целая часть равна неполному частному, то есть 5.
3. Дробная часть имеет числитель, равный остатку (3), и знаменатель, равный исходному (4). То есть дробная часть — это $ \frac{3}{4} $.
В результате мы получаем смешанное число $ 5\frac{3}{4} $, где 5 — целая часть, а $ \frac{3}{4} $ — дробная.
Ответ: Чтобы найти целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель; неполное частное будет целой частью. Чтобы найти дробную часть, нужно остаток от этого деления сделать числителем новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Что такое смешанная дробь (смешанное число)?
Смешанная дробь, также известная как смешанное число, — это число, которое содержит в себе две части: целую часть (натуральное число или ноль) и дробную часть (правильную дробь). Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Смешанное число является краткой формой записи суммы его целой и дробной частей. Между целой и дробной частью подразумевается знак сложения.

Например:
Смешанное число $ 7\frac{1}{3} $ (читается как "семь целых одна третья") состоит из:
- целой части: $ 7 $
- дробной части: $ \frac{1}{3} $
Эта запись эквивалентна сумме $ 7 + \frac{1}{3} $.
Любую неправильную дробь, в которой числитель не делится нацело на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа. Например, смешанное число $ 7\frac{1}{3} $ является результатом выделения целой части из неправильной дроби $ \frac{22}{3} $.
Ответ: Смешанная дробь (смешанное число) — это число, состоящее из целой части (натуральное число) и дробной части (правильная дробь).

В.27 Как найти сумму и разность двух дробей?

Чтобы найти сумму или разность двух дробей, необходимо определить, одинаковые у них знаменатели или разные. Алгоритм действий для этих двух случаев будет отличаться.

Сумма двух дробей

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Формула в общем виде: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

Например: $ \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8} $

2. Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю.

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет их общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
5. Если возможно, сократить полученную дробь.

Например, найдем сумму дробей $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{4} $.
1. НОК знаменателей 6 и 4 равно 12. Это будет общий знаменатель.
2. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 12 \div 6 = 2 $.
3. Дополнительный множитель для второй дроби: $ 12 \div 4 = 3 $.
4. Умножаем и складываем:
$ \frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12} $

Ответ: Чтобы найти сумму двух дробей, их приводят к общему знаменателю, после чего складывают числители, а знаменатель оставляют без изменений.

Разность двух дробей

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть одну дробь из другой с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

Формула в общем виде: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

Например: $ \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9} $

2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями выполняется так же, как и сложение, только на последнем этапе числители вычитаются.

1. Привести дроби к общему знаменателю (найти НОК знаменателей).
2. Найти дополнительные множители для каждой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
5. Если возможно, сократить результат.

Например, найдем разность дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{5} $.
1. Общий знаменатель: НОК(3, 5) = 15.
2. Дополнительный множитель для первой дроби: $ 15 \div 3 = 5 $.
3. Дополнительный множитель для второй дроби: $ 15 \div 5 = 3 $.
4. Умножаем и вычитаем:
$ \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15} $

Ответ: Чтобы найти разность двух дробей, их приводят к общему знаменателю, после чего из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а общий знаменатель оставляют без изменений.

В.28 Как найти произведение и частное двух дробей?

Произведение

Чтобы найти произведение (результат умножения) двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели между собой. Результатом будет новая дробь, где числитель — это произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей.

Формула для умножения двух дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ выглядит следующим образом:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример 1:

Найдем произведение дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{7}$.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

Пример 2 (с сокращением):

Часто перед тем, как перемножать числа, можно сократить дробь. Это значит, что можно разделить любой числитель и любой знаменатель на их общий делитель.

Найдем произведение дробей $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{8}$.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8}$

Здесь можно сократить 4 и 8 на 4, а также 3 и 9 на 3:

$\frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей исходных дробей.

Частное

Чтобы найти частное (результат деления) двух дробей, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратная дробь (или "перевернутая") получается, когда числитель и знаменатель меняются местами.

Формула для деления дроби $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$ выглядит так:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример 1:

Разделим дробь $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{7}$.

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$

Пример 2 (с сокращением):

Разделим дробь $\frac{8}{15}$ на $\frac{4}{5}$.

$\frac{8}{15} \div \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4}$

Как и при умножении, здесь можно выполнить сокращение. Сократим 8 и 4 на 4, а 15 и 5 на 5:

$\frac{\cancel{8}^2}{\cancel{15}^3} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}^1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

В.29 Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение дроби не изменится.

В виде формулы для дроби $\frac{a}{b}$ (где $b \neq 0$) и любого числа $c \neq 0$ это записывается так:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (при условии, что $a$ и $b$ делятся на $c$ без остатка)

Например:

• Умножение: $ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $. Дроби $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{6}{21} $ равны.
• Деление (сокращение): $ \frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} $. Дроби $ \frac{15}{25} $ и $ \frac{3}{5} $ равны.

Ответ: Основное свойство дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная данной.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство дроби является фундаментальным и постоянно используется при выполнении действий с дробями. Две главные области его применения — это сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

1. Сокращение дробей

   Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель (отличный от 1). Обычно дробь сокращают до тех пор, пока числитель и знаменатель не станут взаимно простыми числами (такая дробь называется несократимой). Эта операция основана на делении в основном свойстве дроби.

   Пример: Сократить дробь $ \frac{36}{48} $. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 36 и 48 равен 12.
   $ \frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4} $.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

   Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения. Она заключается в нахождении нового, общего для всех дробей знаменателя (обычно наименьшего общего кратного) и умножении числителя и знаменателя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Эта операция основана на умножении в основном свойстве дроби.

   Пример: Сложить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{4}{9} $.
   Находим наименьший общий знаменатель — НОК(6, 9) = 18.
   Приводим дроби к знаменателю 18, находя для каждой дополнительный множитель:
   $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} $ (дополнительный множитель $18 \div 6 = 3$).
   $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18} $ (дополнительный множитель $18 \div 9 = 2$).
   Теперь можно выполнить сложение: $ \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15+8}{18} = \frac{23}{18} $.

Ответ: Основное свойство дроби применяется для сокращения дробей и для приведения их к общему знаменателю, что необходимо для выполнения операций сложения, вычитания и сравнения дробей.

В.30 Какая дробь называется десятичной?

В.30

Десятичной дробью (или просто десятичной дробью) называют обыкновенную дробь, знаменатель которой является степенью числа 10. Такими знаменателями могут быть числа 10, 100, 1000, 10000 и так далее, то есть числа вида $10^n$, где $n$ — натуральное число.

Особенность десятичных дробей заключается в их специальной форме записи. Они записываются в одну строку, без использования дробной черты. Целая часть числа отделяется от дробной части с помощью запятой. Количество цифр после запятой (в дробной части) должно быть равно количеству нулей в знаменателе исходной обыкновенной дроби.

Например:

• Обыкновенная дробь $ \frac{7}{10} $ записывается как десятичная дробь 0,7. (Знаменатель 10 имеет один ноль, поэтому после запятой одна цифра).
• Дробь $ \frac{23}{100} $ записывается как 0,23. (Знаменатель 100 имеет два нуля, поэтому после запятой две цифры).
• Смешанное число $ 4\frac{5}{1000} $ записывается как 4,005. (Знаменатель 1000 имеет три нуля. Поскольку числитель "5" — это одна цифра, для получения трёх цифр в дробной части перед ним дописываются два нуля).

Таким образом, десятичная дробь — это не новый вид числа, а удобная позиционная форма записи для определённого класса обыкновенных дробей.

Ответ: Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменатель которой представляет собой степень числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.).

В.31 Изменится ли десятичная дробь, если к ней приписать справа нули?

Нет, значение десятичной дроби не изменится, если к ней справа приписать один или несколько нулей. Это является прямым следствием основного свойства обыкновенной дроби.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число (кроме 1), то получится равная ей дробь. Приписывание нуля справа в десятичной дроби как раз и соответствует такому умножению.

Рассмотрим это на конкретном примере. Возьмем десятичную дробь $0,8$. В виде обыкновенной дроби она записывается так:

$0,8 = \frac{8}{10}$

Теперь припишем к этой десятичной дроби справа один нуль. Получится дробь $0,80$. Запишем её в виде обыкновенной дроби:

$0,80 = \frac{80}{100}$

Сравним дроби $\frac{8}{10}$ и $\frac{80}{100}$. Мы видим, что вторая дробь получена из первой умножением и числителя, и знаменателя на 10:

$\frac{8 \times 10}{10 \times 10} = \frac{80}{100}$

Так как обыкновенные дроби равны, то равны и соответствующие им десятичные записи. Таким образом:

$0,8 = 0,80$

Аналогично можно показать, что $0,8 = 0,80 = 0,800 = 0,8000$ и так далее. Приписывание нулей справа в дробной части не меняет величину числа.

Ответ: Нет, значение десятичной дроби не изменится.

В.32 Как сравнивают десятичные дроби?

Для сравнения двух десятичных дробей их сравнивают поразрядно слева направо. Процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Сравнение целых частей

В первую очередь необходимо сравнить целые части дробей — это числа, стоящие слева от десятичной запятой. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целые части отличаются, сравнение на этом заканчивается.

Пример: Сравним дроби $15.7$ и $12.999$.

Целая часть первой дроби равна $15$, а второй — $12$. Так как $15 > 12$, то и вся дробь $15.7 > 12.999$. Дробная часть в этом случае не имеет значения.

2. Сравнение дробных частей (если целые части равны)

Если целые части у дробей оказались равны, то переходят к поразрядному сравнению их дробных частей, двигаясь слева направо (сначала сравнивают десятые доли, потом сотые, затем тысячные и так далее).

Сравнение продолжается до первого разряда, в котором цифры окажутся различными. Большей будет та дробь, у которой цифра в этом разряде больше.

Чтобы упростить сравнение, полезно уравнять количество знаков после запятой, дописав нули справа к дроби с меньшим количеством десятичных знаков. Это не меняет её значение (например, $4.5 = 4.50 = 4.500$).

Пример А: Сравним $25.68$ и $25.631$.

1. Целые части равны: $25 = 25$.
2. Переходим к дробной части. Сравниваем разряд десятых: $6 = 6$.
3. Сравниваем разряд сотых: $8 > 3$.

Поскольку в разряде сотых цифра $8$ больше цифры $3$, делаем вывод, что $25.68 > 25.631$.

Пример Б: Сравним $0.9$ и $0.901$.

1. Целые части равны: $0 = 0$.
2. Уравняем количество знаков после запятой. У дроби $0.9$ один знак, а у $0.901$ — три. Допишем два нуля к первой дроби, чтобы в обеих стало по три знака: $0.900$.
3. Теперь сравним $0.900$ и $0.901$.
4. Десятые равны ($9=9$), сотые равны ($0=0$), а в разряде тысячных $0 < 1$.

Следовательно, $0.9 < 0.901$.

Упрощенный способ

Можно использовать и более простой для запоминания алгоритм:

1. Уравнять у дробей количество знаков после запятой, дописав нули справа.
2. Мысленно отбросить запятые.
3. Сравнить получившиеся целые числа. Большей будет та дробь, которой соответствовало большее число.

Пример: Сравним $12.3$ и $12.285$.

1. Уравниваем знаки: $12.3$ превращается в $12.300$.
2. Отбрасываем запятые: получаем числа $12300$ и $12285$.
3. Сравниваем числа: $12300 > 12285$.

Значит, $12.3 > 12.285$.

Ответ: Чтобы сравнить две десятичные дроби, сначала сравнивают их целые части: больше та дробь, у которой больше целая часть. Если целые части равны, сравнивают дробные части поразрядно слева направо (десятые, сотые и т.д.) до первого несовпадения: больше та дробь, у которой соответствующая цифра больше. Для удобства можно предварительно уравнять число знаков после запятой, дописав нули справа.

В.33 Как складывают и как вычитают десятичные дроби?

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются поразрядно, так же как и для натуральных чисел. Основное правило — записывать дроби друг под другом так, чтобы запятая находилась строго под запятой.

Как складывают десятичные дроби

Чтобы сложить десятичные дроби, необходимо следовать алгоритму:

1. Уравнять количество знаков (цифр) после запятой у всех слагаемых. Если у какой-то дроби знаков меньше, нужно дописать справа нули.
2. Записать дроби в столбик так, чтобы запятые располагались одна под другой. Целые части окажутся слева от запятой, а дробные — справа.
3. Выполнить сложение так, как складывают натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
4. В полученном результате (сумме) поставить запятую под запятыми слагаемых.

Пример 1: Сложить дроби $42,57$ и $3,2$.

1. Уравниваем количество знаков после запятой: $3,2$ превращается в $3,20$.

2. Записываем в столбик и складываем:

 42,57+ 3,20------- 45,77 

Пример 2: Сложить целое число $18$ и десятичную дробь $5,643$.

1. Представляем целое число $18$ как десятичную дробь $18,000$.

2. Записываем в столбик и складываем:

 18,000+ 5,643-------- 23,643 

Ответ: Чтобы сложить десятичные дроби, их нужно записать друг под другом так, чтобы запятая была под запятой, при необходимости уравнять количество знаков после запятой, добавив нули, и выполнить сложение как с натуральными числами, поставив в ответе запятую под запятыми.

Как вычитают десятичные дроби

Правила вычитания десятичных дробей очень похожи на правила сложения:

1. Уравнять количество знаков после запятой у уменьшаемого и вычитаемого, дописав нули справа, если это необходимо.
2. Записать вычитаемое под уменьшаемым в столбик так, чтобы запятые находились одна под другой.
3. Выполнить вычитание поразрядно, как с натуральными числами.
4. В полученной разности поставить запятую под запятыми исходных чисел.

Пример 1: Найти разность чисел $25,4$ и $8,135$.

1. Уравниваем количество знаков после запятой у уменьшаемого: $25,4$ превращается в $25,400$.

2. Записываем в столбик и вычитаем:

 25,400- 8,135-------- 17,265 

Пример 2: Вычесть из целого числа $40$ дробь $12,71$.

1. Представляем $40$ как десятичную дробь $40,00$.

2. Записываем в столбик и вычитаем:

 40,00- 12,71------- 27,29 

Ответ: Чтобы вычесть одну десятичную дробь из другой, их нужно записать в столбик (запятая под запятой), уравнять число знаков после запятой, дописав нули, и выполнить вычитание как с натуральными числами, поставив в результате запятую под запятыми.

В.34 Как умножают десятичные дроби?

Чтобы умножить две десятичные дроби, необходимо следовать простому алгоритму.

Правило умножения десятичных дробей

1. Мысленно уберите из дробей запятые и перемножьте получившиеся целые числа. Этот шаг удобнее всего выполнять "в столбик".

2. Подсчитайте общее количество цифр, стоящих после запятой в обоих исходных множителях (в первой и второй дроби).

3. В результате, полученном в первом шаге, отделите запятой справа столько же цифр, сколько вы насчитали во втором шаге. Если в произведении оказалось меньше цифр, чем нужно отделить, добавьте недостающее количество нулей слева от числа.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1:

Умножим $5,2$ на $3,14$.

1. Перемножаем числа $52$ и $314$, игнорируя запятые:

   $52 \times 314 = 16328$

2. Считаем знаки после запятой. В числе $5,2$ — одна цифра после запятой. В числе $3,14$ — две цифры. Суммарно: $1 + 2 = 3$ цифры.

3. В результате $16328$ отделяем справа 3 цифры: $16,328$.

Результат: $5,2 \times 3,14 = 16,328$.

Пример 2:

Умножим $0,25$ на $0,03$.

1. Перемножаем числа $25$ и $3$:

   $25 \times 3 = 75$

2. Считаем знаки после запятой. В числе $0,25$ — две цифры. В числе $0,03$ — две цифры. Суммарно: $2 + 2 = 4$ цифры.

3. В результате $75$ нужно отделить 4 цифры. Так как у нас всего две цифры, нужно добавить два нуля слева: $0075$. Теперь отделяем 4 знака запятой и добавляем ноль в целую часть: $0,0075$.

Результат: $0,25 \times 0,03 = 0,0075$.

Ответ: Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно: 1) умножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые; 2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если в произведении не хватает цифр, слева дописывают нули.

В.35 Как разделить число на десятичную дробь?

Чтобы разделить число (делимое) на десятичную дробь (делитель), нужно выполнить следующие шаги:

1. В делителе (десятичной дроби) перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их стоит после запятой, чтобы превратить его в целое число.

2. В делимом (числе, которое мы делим) перенести запятую вправо на столько же знаков, на сколько мы перенесли ее в делителе. Если в делимом не хватает знаков, нужно дописать справа нули. Если делимое — целое число, мысленно ставим после него запятую и добавляем нужное количество нулей.

3. Выполнить деление полученных чисел в столбик, как обычное деление на целое число.

Этот метод работает, потому что мы умножаем и делимое, и делитель на одно и то же число ($10, 100, 1000$ и т.д.), что не изменяет результат деления (согласно основному свойству частного).

Пример 1: Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Разделим $12.88$ на $0.4$.

1. В делителе $0.4$ один знак после запятой. Переносим запятую на 1 знак вправо, получаем число $4$.

2. В делимом $12.88$ также переносим запятую на 1 знак вправо, получаем $128.8$.

3. Теперь делим $128.8$ на $4$. Это можно сделать в столбик. $12 \div 4 = 3$. $8 \div 4 = 2$. Ставим запятую. $8 \div 4 = 2$. Получаем $32.2$.

Таким образом, $12.88 \div 0.4 = 32.2$.

Ответ: $32.2$

Пример 2: Деление целого числа на десятичную дробь

Разделим $189$ на $1.8$.

1. В делителе $1.8$ один знак после запятой. Переносим запятую вправо, получаем $18$.

2. В делимом $189$ (которое можно представить как $189.0$) переносим запятую на один знак вправо, получаем $1890$.

3. Теперь делим $1890$ на $18$. $18 \div 18 = 1$. $9$ на $18$ не делится, пишем $0$ в частном. Сносим следующий $0$, получаем $90$. $90 \div 18 = 5$. Получаем $105$.

Таким образом, $189 \div 1.8 = 105$.

Ответ: $105$

Пример 3: Деление на дробь с несколькими знаками после запятой

Разделим $0.468$ на $0.012$.

1. В делителе $0.012$ три знака после запятой. Переносим запятую на 3 знака вправо, получаем число $12$.

2. В делимом $0.468$ также переносим запятую на 3 знака вправо, получаем $468$.

3. Теперь делим $468$ на $12$. $46 \div 12 = 3$ (остаток $10$). Сносим $8$, получаем $108$. $108 \div 12 = 9$. Получаем $39$.

Таким образом, $0.468 \div 0.012 = 39$.

Ответ: $39$

В.36 Что значит округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда? Какие правила округления вы знаете? Приведите примеры округления:

а) натурального числа до миллиона;

б) десятичной дроби до тысячных.

Округлить натуральное число или десятичную дробь до данного разряда — это значит заменить это число на его приближённое значение, которое оканчивается нулями (в целой части) или имеет меньшее количество знаков после запятой (в дробной части). Округлённое значение должно быть наиболее близким к исходному числу из всех возможных с требуемой точностью.

Для округления числа до определённого разряда применяется следующее правило. Сначала находят цифру в том разряде, до которого производится округление. Затем смотрят на следующую за ней справа цифру. Если эта следующая цифра — 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде не меняют. Если же следующая цифра — 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу. Все цифры, стоящие правее округляемого разряда, в целой части числа заменяются нулями, а в дробной части — отбрасываются.

а) натурального числа до миллиона;

Чтобы округлить натуральное число до разряда миллионов, необходимо посмотреть на цифру в разряде сотен тысяч. Если она меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3 или 4), то цифру в разряде миллионов оставляем без изменений. Если же она равна 5 или больше (то есть 5, 6, 7, 8 или 9), то цифру в разряде миллионов увеличиваем на 1. Все цифры после разряда миллионов (в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч, сотен, десятков и единиц) заменяются нулями.
Например, округлим число $18\;750\;000$ до миллионов. В разряде сотен тысяч стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде миллионов (8) на единицу: $8+1=9$. Получаем $19\;000\;000$.
Другой пример, округлим число $5\;299\;140$ до миллионов. В разряде сотен тысяч стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде миллионов (5) оставляем без изменений. Получаем $5\;000\;000$.
Ответ: Например, $18\;750\;000 \approx 19\;000\;000$; $5\;299\;140 \approx 5\;000\;000$.

б) десятичной дроби до тысячных.

Чтобы округлить десятичную дробь до разряда тысячных (третий знак после запятой), необходимо посмотреть на цифру в разряде десятитысячных (четвёртый знак после запятой). Если она меньше 5, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений. Если же она равна 5 или больше, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1. Все цифры, стоящие правее разряда тысячных, отбрасываются.
Например, округлим число $3.14159$ до тысячных. В разряде десятитысячных стоит цифра 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде тысячных (1) на единицу: $1+1=2$. Получаем $3.142$.
Другой пример, округлим число $2.71828$ до тысячных. В разряде десятитысячных стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде тысячных (8) оставляем без изменений. Получаем $2.718$.
Ответ: Например, $3.14159 \approx 3.142$; $2.71828 \approx 2.718$.

В.37 Что значит сравнить два отрезка? Какие отрезки называют равными?

Что значит сравнить два отрезка?

Сравнить два отрезка — это значит установить, равны ли они, или определить, какой из них длиннее, а какой короче. Существует два основных способа сравнения отрезков:

1. Метод наложения. Этот метод является фундаментальным в геометрии. Чтобы сравнить два отрезка, например, $AB$ и $CD$, их мысленно накладывают друг на друга так, чтобы один из концов, например, точка $A$, совпал с точкой $C$, а сами отрезки пошли вдоль одной прямой в одном направлении. После этого возможны три исхода:
   • Если второй конец первого отрезка (точка $B$) совпадает со вторым концом второго отрезка (точкой $D$), то отрезки $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$).
   • Если точка $B$ оказывается между точками $C$ и $D$, то отрезок $AB$ короче отрезка $CD$ ($AB < CD$).
   • Если отрезок $CD$ полностью помещается внутри отрезка $AB$ (то есть точка $D$ оказывается между точками $A$ и $B$), то отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$ ($AB > CD$).
2. Метод измерения. Этот метод используется на практике. Длину каждого отрезка измеряют с помощью выбранной единицы измерения (например, сантиметра, метра). Полученные числовые значения (длины отрезков) сравнивают между собой как числа. Если длина отрезка $AB$ равна $l_1$, а длина отрезка $CD$ равна $l_2$, то:
   • отрезки равны, если их длины равны: $l_1 = l_2$;
   • отрезок $AB$ короче отрезка $CD$, если его длина меньше: $l_1 < l_2$;
   • отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$, если его длина больше: $l_1 > l_2$.

Таким образом, сравнение отрезков сводится к сравнению их длин.

Ответ: Сравнить два отрезка — это определить, равны ли их длины, или какая из длин больше.

Какие отрезки называют равными?

Равными называют отрезки, которые имеют одинаковую длину.

В геометрии два отрезка считаются равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что если взять один отрезок и переместить его в пространстве как твердое тело (то есть без изгибов и растяжений), то он может полностью совпасть с другим отрезком. Если концы отрезка $AB$ можно совместить с концами отрезка $CD$, то эти отрезки равны. Равенство отрезков записывается так: $AB = CD$.

На практике равенство отрезков устанавливается путем измерения их длин. Если, например, при измерении линейкой выясняется, что длина отрезка $AB$ равна $5$ см и длина отрезка $CD$ также равна $5$ см, то делают вывод, что отрезки $AB$ и $CD$ равны.

Ответ: Равными называют отрезки, которые имеют одинаковую длину.

В.38 С помощью какого инструмента можно найти длину отрезка? В каких единицах измеряется эта величина?

С помощью какого инструмента можно найти длину отрезка?

Длину отрезка можно найти с помощью измерительных инструментов. Самым простым и распространенным инструментом для измерения длины отрезка на бумаге или для небольших предметов является линейка. На линейку нанесена шкала с делениями, которые соответствуют единицам длины (например, миллиметрам и сантиметрам).

Для измерения более длинных отрезков или расстояний используют и другие инструменты, такие как:

• Измерительная рулетка — для строительных работ или измерения больших объектов.
• Штангенциркуль — для высокоточных измерений небольших деталей.
• Лазерный дальномер — для измерения больших расстояний, например, размеров комнат или земельных участков.

Ответ: Длину отрезка можно найти с помощью линейки, измерительной рулетки, штангенциркуля и других измерительных приборов.

В каких единицах измеряется эта величина?

Длина — это физическая величина, которая измеряется в единицах длины. В Международной системе единиц (СИ) основной единицей длины является метр (м).

На практике также широко используются производные от метра единицы:

• Километр (км): $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
• Дециметр (дм): $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
• Сантиметр (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
• Миллиметр (мм): $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, или $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$

Выбор единицы измерения зависит от размера измеряемого отрезка. Например, длину карандаша удобно измерять в сантиметрах, а расстояние между городами — в километрах.

Ответ: Длина измеряется в метрах, километрах, сантиметрах, миллиметрах и других единицах длины.

В.39 Сколько прямых проходит через две точки?

Этот вопрос является одним из фундаментальных в евклидовой геометрии. Ответ на него даёт одна из основных аксиом, которую называют аксиомой прямой.

Аксиома гласит: через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

Это означает, что для любых двух различных точек, назовём их $A$ и $B$, всегда можно найти прямую, которая их соединяет, и эта прямая будет уникальной.

Попытка провести вторую, отличную от первой, прямую через те же самые точки $A$ и $B$ обречена на провал. Две разные прямые могут пересечься максимум в одной точке. Если у них появляются две общие точки, они по определению становятся одной и той же прямой.

Таким образом, положение прямой на плоскости или в пространстве однозначно определяется заданием двух её точек.

Важно подчеркнуть, что речь идёт именно о двух различных (несовпадающих) точках. Если бы точки совпадали (т.е. мы бы имели дело с одной точкой), то через неё можно было бы провести бесконечное множество прямых.

Ответ: Через две точки проходит только одна прямая.

В.40 Какую фигуру называют углом?

В геометрии углом называют фигуру, которая состоит из точки, называемой вершиной угла, и двух различных лучей, выходящих из этой точки. Эти лучи называют сторонами угла.

Таким образом, чтобы задать угол, необходимо указать его вершину (например, точка $O$) и две стороны, которые являются лучами, начинающимися в этой вершине (например, лучи $OA$ и $OB$). Такой угол обозначается как $\angle AOB$ или $\angle BOA$. Буква, обозначающая вершину, всегда пишется в середине. Иногда, если из контекста понятно, о каком угле идет речь, его могут обозначать одной буквой вершины — $\angle O$.

Стороны угла делят плоскость, в которой он лежит, на две части. Каждую из этих частей также называют плоским углом. Обычно под углом подразумевают меньшую из этих двух частей, которую называют внутренней областью угла.

Ответ: Углом называют геометрическую фигуру, которая образована двумя лучами (сторонами), выходящими из одной общей точки (вершины).

В.41 Назовите виды углов.

В геометрии углы классифицируют по различным признакам. Основная классификация производится по величине угла (его градусной мере), также углы различают по их взаимному расположению.

Классификация углов по их величине

• Нулевой угол — это угол, образованный двумя совпадающими лучами, выходящими из одной точки. Его величина равна $0^\circ$.
  Ответ: Нулевой угол.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. То есть, если $\alpha$ — острый угол, то $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
  Ответ: Острый угол.

• Прямой угол — это угол, равный половине развернутого угла. Его величина составляет ровно $90^\circ$. На чертежах такой угол часто обозначается маленьким квадратом в вершине.
  Ответ: Прямой угол.

• Тупой угол — это угол, который больше прямого, но меньше развернутого. Его величина находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
  Ответ: Тупой угол.

• Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Его величина равна $180^\circ$.
  Ответ: Развернутый угол.

• Рефлексный (или выпуклый) угол — это угол, который больше развернутого, но меньше полного. Его величина находится в пределах $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.
  Ответ: Рефлексный угол.

• Полный угол — это угол, который образуется при полном обороте луча вокруг своей вершины. Его величина равна $360^\circ$.
  Ответ: Полный угол.

Виды углов по взаимному расположению

• Смежные углы — это пара углов с общей вершиной и одной общей стороной, в то время как две другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.
  Ответ: Смежные углы.

• Вертикальные углы — это пара углов, образующихся при пересечении двух прямых. Стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы всегда равны друг другу.
  Ответ: Вертикальные углы.

При пересечении двух прямых третьей прямой (секущей) образуются следующие пары углов:

• Накрест лежащие углы — это два угла, которые лежат по разные стороны от секущей и между двумя другими прямыми. Если две прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.
  Ответ: Накрест лежащие углы.

• Односторонние углы — это два угла, которые лежат по одну сторону от секущей и между двумя другими прямыми. Если две прямые параллельны, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
  Ответ: Односторонние углы.

• Соответственные углы — это два угла, которые находятся в одинаковом положении при пересечениях (например, оба являются верхними правыми углами). Если две прямые параллельны, то соответственные углы равны.
  Ответ: Соответственные углы.

В.42 Какие многоугольники вы знаете?

Многоугольник — это замкнутая геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из конечного числа прямолинейных отрезков (сторон), соединенных последовательно. Многоугольники можно классифицировать по различным критериям.

Классификация по числу сторон

Это самый распространенный способ классификации. Название зависит от количества сторон, которому равно количество углов.

• Треугольник (3 стороны): простейший многоугольник.
  • По соотношению длин сторон: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разной длины).
  • По величине углов: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол прямой, т.е. равен $90^\circ$), тупоугольный (один угол тупой, т.е. больше $90^\circ$).
• Четырехугольник (4 стороны): к ним относятся:
  • Параллелограмм (четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами) и его частные случаи: прямоугольник, ромб, квадрат.
  • Трапеция (у которой только две противоположные стороны параллельны).
  • Дельтоид (у которого две пары равных смежных сторон).
• Пятиугольник (5 сторон)
• Шестиугольник (6 сторон)
• Семиугольник (7 сторон)
• Восьмиугольник (8 сторон)
• И так далее для любого количества сторон $n$: n-угольник.

Классификация по свойствам сторон и углов

• Правильные многоугольники: это выпуклые многоугольники, у которых все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник. Величина каждого внутреннего угла правильного n-угольника равна $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$.
• Неправильные многоугольники: многоугольники, которые не являются правильными. У них могут быть разные длины сторон и/или разные величины углов. Большинство встречающихся многоугольников (например, прямоугольник, не являющийся квадратом, трапеция, разносторонний треугольник) являются неправильными.

Классификация по форме (выпуклости)

• Выпуклые многоугольники: все внутренние углы такого многоугольника меньше $180^\circ$. Если провести прямую через любую из его сторон, весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой. Все правильные многоугольники и все треугольники являются выпуклыми.
• Невыпуклые (вогнутые) многоугольники: многоугольники, у которых есть хотя бы один внутренний угол больше $180^\circ$.
• Звездчатые многоугольники: частный случай невыпуклых многоугольников, стороны которых пересекаются друг с другом. Классический пример — пентаграмма (пятиконечная звезда).

Сумма внутренних углов любого простого (не самопересекающегося) n-угольника, как выпуклого, так и невыпуклого, вычисляется по формуле: $S = (n-2) \times 180^\circ$.

Ответ:
Известны следующие виды многоугольников, которые делятся на группы по разным признакам:
1. По количеству сторон: треугольники, четырехугольники (включая параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, трапеции), пятиугольники, шестиугольники и, в общем случае, n-угольники.
2. По равенству сторон и углов: правильные (у которых все стороны и все углы равны) и неправильные.
3. По форме: выпуклые (у которых все углы меньше $180^\circ$), невыпуклые или вогнутые (у которых есть углы больше $180^\circ$), а также звездчатые (самопересекающиеся).

В.43 Какие фигуры называют равновеликими?

Равновеликими называют геометрические фигуры, которые имеют одинаковую численную характеристику размера: площадь для плоских (двумерных) фигур или объём для пространственных (трёхмерных) фигур. При этом форма, размеры и другие свойства этих фигур могут быть абсолютно разными.

Пример для плоских фигур:
Рассмотрим квадрат со стороной $a = 4 \text{ см}$ и круг радиусом $r$. Эти фигуры будут равновеликими, если их площади равны.Площадь квадрата: $S_{квадрата} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.Площадь круга: $S_{круга} = \pi r^2$.Чтобы фигуры были равновеликими, должно выполняться условие $S_{квадрата} = S_{круга}$, то есть $16 = \pi r^2$. Отсюда можно найти радиус равновеликого круга: $r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} \approx 2.26 \text{ см}$.Таким образом, квадрат со стороной $4 \text{ см}$ и круг радиусом $\sqrt{\frac{16}{\pi}} \text{ см}$ являются равновеликими фигурами.

Пример для пространственных фигур:
Рассмотрим куб с ребром $a = 6 \text{ м}$ и прямоугольный параллелепипед с измерениями $l=4 \text{ м}$, $w=9 \text{ м}$, $h=6 \text{ м}$.Объём куба: $V_{куба} = a^3 = 6^3 = 216 \text{ м}^3$.Объём параллелепипеда: $V_{параллелепипеда} = l \cdot w \cdot h = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 216 \text{ м}^3$.Поскольку объёмы этих тел равны ($V_{куба} = V_{параллелепипеда}$), куб и прямоугольный параллелепипед в данном примере являются равновеликими.

Важно отметить, что равновеликие фигуры не обязательно равны (конгруэнтны). Равные фигуры всегда можно совместить наложением, и они всегда равновелики. Однако равновеликие фигуры, как показано в примерах, могут иметь совершенно разную форму, и совместить их наложением, как правило, невозможно.

Ответ: Равновеликими называют геометрические фигуры, имеющие равные площади (если фигуры плоские) или равные объёмы (если фигуры пространственные).

В.44 Что такое окружность? Что такое центр окружности; радиус окружности?

Что такое окружность?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, которая представляет собой множество всех точек, равноудалённых от одной данной точки. Эта точка называется центром окружности. Окружность является замкнутой кривой линией и делит плоскость на две части: внутреннюю область, ограниченную окружностью, и внешнюю. Важно отличать окружность (линию) от круга (плоскости внутри окружности, включая саму линию).

Ответ: Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от данной точки, называемой центром.

Что такое центр окружности?

Центр окружности — это точка на плоскости, которая служит точкой отсчета для построения окружности. Все точки, лежащие на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Если рисовать окружность с помощью циркуля, то ее центр — это точка, в которой находится неподвижная игла инструмента. Центр окружности обычно обозначают латинской буквой $O$.

Ответ: Центр окружности — это точка в плоскости, от которой равноудалены все точки окружности.

Что такое радиус окружности?

Понятие «радиус окружности» используется в двух смыслах. Во-первых, это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности. Во-вторых, радиусом называют длину этого отрезка. Это постоянное расстояние от центра до любой точки на окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой. Радиус принято обозначать буквами $r$ или $R$. Длина диаметра окружности всегда в два раза больше ее радиуса ($d = 2r$).

Ответ: Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, а также длина этого отрезка.

В.45 Что такое круг? Что такое сектор круга?

Что такое круг?

Круг — это геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное, от одной точки, называемой центром. Эта граница круга называется окружностью. Проще говоря, круг — это окружность вместе со всей своей внутренней областью.

Основные понятия, связанные с кругом:
Центр — точка $O$, равноудалённая от всех точек окружности.
Радиус ($R$) — отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Также радиусом называют и длину этого отрезка.
Диаметр ($D$) — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса: $D = 2R$.
Хорда — любой отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр является самой длинной хордой.

Площадь круга, то есть размер поверхности, которую он занимает, вычисляется по формуле: $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга, а $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.

Ответ: Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность.

Что такое сектор круга?

Круговой сектор (или просто сектор) — это часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами. Сектор круга можно представить как кусок круглого торта или пиццы.

Сектор определяется следующими элементами:
Радиус ($R$) — это радиус круга, частью которого является сектор.
Центральный угол ($\alpha$) — это угол между двумя радиусами, которые ограничивают сектор. Величина этого угла определяет, какую долю от всего круга составляет сектор.
Дуга — это часть окружности, которая является границей сектора.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле, которая зависит от центрального угла. Если угол $\alpha$ измеряется в градусах, то формула площади такова: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

Длина дуги сектора также зависит от центрального угла. При измерении угла $\alpha$ в градусах, длина дуги вычисляется так: $L_{дуги} = \frac{2 \pi R \alpha}{360} = \frac{\pi R \alpha}{180}$

Ответ: Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой между их концами.

В.46 Что такое периметр многоугольника? Каковы формулы периметра прямоугольника и периметра квадрата?

Что такое периметр многоугольника?

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Слово «периметр» происходит от греческих слов «пери» (вокруг) и «метрео» (измеряю). Чтобы найти периметр многоугольника, нужно измерить длину каждой его стороны и сложить полученные значения.

Если стороны многоугольника имеют длины $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по общей формуле:

$P = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

Ответ: Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Каковы формулы периметра прямоугольника и периметра квадрата?

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны. Обозначим его смежные стороны (длину и ширину) буквами $a$ и $b$. Поскольку у прямоугольника две стороны равны $a$ и две другие равны $b$, его периметр $P$ вычисляется как сумма длин всех четырех сторон:

$P = a + b + a + b$

Сгруппировав одинаковые слагаемые, получим:

$P = 2a + 2b$

Если вынести общий множитель 2 за скобки, формула примет вид:

$P = 2(a + b)$

Таким образом, периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.

Периметр квадрата

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все четыре стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата буквой $a$.

Периметр $P$ квадрата равен сумме длин его четырех равных сторон:

$P = a + a + a + a$

Заменив сложение одинаковых слагаемых умножением, получим простую формулу:

$P = 4a$

Следовательно, периметр квадрата равен длине его стороны, умноженной на 4.

Ответ: Формула периметра прямоугольника со сторонами $a$ и $b$: $P = 2(a+b)$. Формула периметра квадрата со стороной $a$: $P = 4a$.

В.47 Что такое куб; прямоугольный параллелепипед?

Куб

Куб (также называемый правильным гексаэдром) — это правильный многогранник, все шесть граней которого являются квадратами. Куб представляет собой частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Он является одним из пяти платоновых тел.

Ключевые свойства куба:

• Он имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Все 12 рёбер равны по длине. Если обозначить длину ребра как $a$, то все рёбра равны $a$.
• Все 6 граней являются равными квадратами с площадью $a^2$.
• Все двугранные углы (углы между смежными гранями) прямые и равны $90^\circ$.

Основные формулы для куба с ребром $a$:

• Объём: $V = a^3$
• Площадь полной поверхности: $S = 6a^2$
• Длина диагонали (отрезок, соединяющий две противоположные вершины): $d = a\sqrt{3}$

Ответ: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, а грани являются квадратами.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная геометрическая фигура (многогранник), у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником. Это означает, что все его двугранные углы — прямые.

Ключевые свойства прямоугольного параллелепипеда:

• Он имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Противоположные грани равны между собой и параллельны.
• Имеет три измерения: длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($c$). Это длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Основные формулы для прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$:

• Объём: $V = a \cdot b \cdot c$
• Площадь полной поверхности: $S = 2(ab + bc + ac)$
• Квадрат длины диагонали: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Ответ: Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, все грани которого являются прямоугольниками.

В.48 Как найти площадь прямоугольника и площадь квадрата; объём прямоугольного параллелепипеда и объём куба?

Площадь прямоугольника

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусов). Площадь прямоугольника — это пространство, которое он занимает на плоскости. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину. Если обозначить длину буквой $a$, а ширину — буквой $b$, то формула для вычисления площади $S$ будет следующей:

$S = a \cdot b$

Например, если длина прямоугольника равна 5 см, а ширина — 3 см, то его площадь будет $S = 5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины его смежных сторон (длину и ширину).

Площадь квадрата

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Поэтому для нахождения его площади можно использовать ту же формулу, что и для прямоугольника, но так как длина и ширина у квадрата одинаковы, то формула упрощается. Чтобы найти площадь квадрата, нужно возвести длину его стороны в квадрат (умножить саму на себя). Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то формула для вычисления площади $S$ будет такой:

$S = a \cdot a = a^2$

Например, если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь будет $S = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: Чтобы найти площадь квадрата, необходимо длину его стороны умножить саму на себя (возвести в квадрат).

Объём прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Объём — это мера пространства, занимаемого телом. Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту. Если обозначить длину буквой $a$, ширину — буквой $b$, а высоту — буквой $c$, то формула для вычисления объёма $V$ будет следующей:

$V = a \cdot b \cdot c$

Произведение длины и ширины $a \cdot b$ — это площадь основания параллелепипеда ($S_{осн}$). Поэтому объём можно также найти, умножив площадь основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot c$.

Например, если длина параллелепипеда 6 см, ширина 4 см, а высота 5 см, то его объём будет $V = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 120 \text{ см}^3$.

Ответ: Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо перемножить его длину, ширину и высоту.

Объём куба

Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Все его грани являются равными квадратами. Длину ребра куба обычно обозначают буквой $a$. Чтобы найти объём куба, нужно возвести длину его ребра в куб (умножить саму на себя три раза). Формула для вычисления объёма $V$ выглядит так:

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

Например, если длина ребра куба равна 3 см, то его объём будет $V = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 27 \text{ см}^3$.

Ответ: Чтобы найти объём куба, необходимо длину его ребра возвести в третью степень (в куб).