Номер 29, страница 160, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Вопросы. Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 29, страница 160.

В.29 Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная её дробь. Основное свойство дроби применяется при сокращении дробей, приведению дробей к общему знаменателю.

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение дроби не изменится.

В виде формулы для дроби $\frac{a}{b}$ (где $b \neq 0$) и любого числа $c \neq 0$ это записывается так:

$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $

$ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (при условии, что $a$ и $b$ делятся на $c$ без остатка)

Например:

• Умножение: $ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21} $. Дроби $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{6}{21} $ равны.
• Деление (сокращение): $ \frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} $. Дроби $ \frac{15}{25} $ и $ \frac{3}{5} $ равны.

Ответ: Основное свойство дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная данной.

Применение основного свойства дроби

Основное свойство дроби является фундаментальным и постоянно используется при выполнении действий с дробями. Две главные области его применения — это сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

1. Сокращение дробей

   Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель (отличный от 1). Обычно дробь сокращают до тех пор, пока числитель и знаменатель не станут взаимно простыми числами (такая дробь называется несократимой). Эта операция основана на делении в основном свойстве дроби.

   Пример: Сократить дробь $ \frac{36}{48} $. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 36 и 48 равен 12.
   $ \frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4} $.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

   Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения. Она заключается в нахождении нового, общего для всех дробей знаменателя (обычно наименьшего общего кратного) и умножении числителя и знаменателя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Эта операция основана на умножении в основном свойстве дроби.

   Пример: Сложить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{4}{9} $.
   Находим наименьший общий знаменатель — НОК(6, 9) = 18.
   Приводим дроби к знаменателю 18, находя для каждой дополнительный множитель:
   $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} $ (дополнительный множитель $18 \div 6 = 3$).
   $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18} $ (дополнительный множитель $18 \div 9 = 2$).
   Теперь можно выполнить сложение: $ \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15+8}{18} = \frac{23}{18} $.

Ответ: Основное свойство дроби применяется для сокращения дробей и для приведения их к общему знаменателю, что необходимо для выполнения операций сложения, вычитания и сравнения дробей.