Номер 5, страница 159, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Глава 2. Дробные числа. Вопросы и задачи на повторение. Вопросы - номер 5, страница 159.

Условие.

В.5 Как сравнить:

а) трёхзначное и четырёхзначное натуральные числа;

б) два семизначных числа, первое из которых начинается цифрой 8, а второе — цифрой 3;

в) обыкновенные дроби с разными знаменателями;

г) десятичные дроби с одинаковыми целыми частями?

Решение 1.

Как сравнить:

а) трёхзначное и четырёхзначное натуральные числа;

б) два семизначных числа, первое из которых начинается цифрой 8, а второе – цифрой 3;

в) обыкновенные дроби с разными знаменателями;

г) десятичные дроби с одинаковыми целыми частями?

а) В записи числа разное количество цифр. Значит, любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного числа.

б) В записи чисел одинаковое число цифр. Значит, больше то число, которое начинается цифрой 8.

в) Чтобы сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

1) привести дроби к общему знаменателю;
2) сравнить полученные дроби.

г) Чтобы сравнить две десятичные дроби с одинаковыми целыми частями, надо:

1 уравнять, если нужно, дробные части, приписав к одной из них справа нули;
2) отбросив запятую, сравнить полученные натуральные числа.

Решение 2.

а) При сравнении двух натуральных чисел большим является то, в котором больше цифр (разрядов). Трёхзначное число состоит из трёх цифр, а четырёхзначное — из четырёх. Поскольку количество разрядов у четырёхзначного числа больше, чем у трёхзначного ($4 > 3$), любое четырёхзначное натуральное число всегда будет больше любого трёхзначного.

Например, самое большое трёхзначное число — 999, а самое маленькое четырёхзначное — 1000. Очевидно, что $999 < 1000$.

Ответ: Четырёхзначное число всегда больше трёхзначного, так как в нём больше разрядов.

б) Если натуральные числа имеют одинаковое количество цифр (в данном случае — по семь), их сравнивают поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда. Большим будет то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

В задаче сравниваются два семизначных числа. Первое начинается с цифры 8, а второе — с цифры 3. Сравнение начинается с самого старшего разряда (разряда миллионов). Поскольку $8 > 3$, первое число больше второго, независимо от всех последующих цифр.

Ответ: Число, начинающееся с цифры 8, больше числа, начинающегося с цифры 3, так как при поразрядном сравнении его цифра в старшем разряде больше.

в) Чтобы сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, их следует привести к общему знаменателю. Алгоритм сравнения следующий:

1. Найти общий знаменатель для данных дробей. Чаще всего в качестве общего знаменателя используют наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей.

2. Для каждой дроби вычислить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате получатся дроби, равные исходным, но с одинаковым знаменателем.

4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Например, сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$. Общий знаменатель — НОК(5, 7) = 35.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$

Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{35} < \frac{15}{35}$, а значит, $\frac{2}{5} < \frac{3}{7}$.

Ответ: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю и затем сравнить числители; больше та дробь, у которой числитель окажется больше.

г) Если у десятичных дробей одинаковые целые части, то для их сравнения нужно сравнивать их дробные части поразрядно, двигаясь слева направо (сначала десятые, затем сотые, тысячные и т.д.), пока не встретится первая пара неодинаковых цифр.

1. Сравниваем цифры в разряде десятых. Если они не равны, то больше та дробь, у которой эта цифра больше.

2. Если цифры в разряде десятых равны, переходим к сравнению цифр в разряде сотых. Если они не равны, то больше та дробь, у которой эта цифра больше.

3. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено различие.

Для упрощения можно уравнять количество цифр после запятой, дописав нули в конце дробной части у одной из дробей. Это не изменит её значение. После этого можно сравнить дробные части как обычные натуральные числа.

Например, сравним числа 23,47 и 23,465. Целые части (23) равны. Сравниваем дробные части:

- Цифры в разряде десятых равны: 4 = 4.

- Цифры в разряде сотых не равны: $7 > 6$.

Следовательно, $23,47 > 23,465$.

Другой способ: уравняем число знаков после запятой, получив 23,470 и 23,465. Теперь сравним дробные части: $470 > 465$. Значит, $23,470 > 23,465$.

Ответ: Десятичные дроби с одинаковыми целыми частями сравнивают поразрядно после запятой (слева направо); больше та дробь, у которой первая из неодинаковых цифр в дробной части больше.

Решение 3.

Решение 4.